Математика. Дифференциальное исчисление. Ч.I. Функции одной независимой переменной. Учебное пособие

21

6.  ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим непрерывную функцию y = f(x), заданную на некотором интервале, где x – независимая переменная, определенная на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждому y Y единственное значение x X, при котором f(x) = y. Тогда полученная функция x = j(y), определенная на множестве Y с областью значений X, называется обратной. Геометрически это означает, если функция такова, что всякая прямая, проведенная параллельно оси Ox, пересекает ее график только в одной точке, то есть что уравнение y = f(x) для каждого y (взятого из области значений функции y = f(x)) определяет единственное значение x (иными словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции), то говорят, что x есть некоторая функция от y: x = j(y), которая называется обратной по отношению к данной функции y = f(x). Очевидно, что для функции x = j(y) обратной является функция y = f(x). Поэтому обе функции называются взаимно обратными. Данная функция y = f(x) и ее обратная функция x = j(y) выражают одну и ту же связь между переменными x и y. Но в первом случае x рассматривается как независимая переменная, а y как функция, во втором случае – наоборот: y считается независимой переменной, а x – функцией. Традиционно независимую переменную обозначают через x, а функцию через y, поэтому функция, обратная к функции y = f(x), примет вид y = j(x).

Теорема  1. Если функция y = f(x) возрастает (убывает) на множестве X, а Y – область значений функции, то обратная функция x = f−1(y), y Y возрастает (убывает) на множестве Y.

Теорема  2. Точки M(a;b) и P(b;a) симметричны относительно прямой y = x.

Графики прямой и обратной функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных четвертей (углов). Например, для функций y = ax обратной будет функция x = logay (в традиционных обозначениях зависимой и независимой переменных y = logax), их графики изображены на рис.  2.

22

Рис.  2.  Симметричные графики прямой и обратной функций

Замечание. Часто обратную функцию обозначают f–1. Теорема  3 (об обратной функции). Если функция f(x) не-

прерывна и монотонна на заданном отрезке, то существует обратная функция также монотонная и непрерывная.

Теорема  4 (о производной обратной функции). Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной

данной функции, то есть xy′ = 1 . yx′

Доказательство. По условию функция y = f(x) дифференцируема и y′(x) = f′(x) ≠ 0. Пусть Dy ≠ 0 – приращение независимой переменной y, Dx – соответствующее приращение обратной

Переходя к пределу в этом равенстве при Dy → 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции Dx → 0,

xy′ = 1 , что и требовалось доказать. yx′

Доказанная формула имеет простой геометрический смысл. Если yx′ выражает тангенс угла наклона касательной к кривой y = f(x) к оси 0x, то xy′ – тангенс угла b наклона той же

касательной к оси 0y, причем a+b= 2π (если a и b – острые

23

углы) или a+b= 32π (если a и b – тупые углы). Для таких углов

что показано на рис.  3.

Рис.  3.  Тангенсы углов наклона касательной

24

7.  ПРОИЗВОДНЫЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.  y = arcsinx. По теореме

Аналогично выводятся производные обратных гиперболических (ареа) функций.

Задача  3. Найти производные функций: 1)  y = xarcsinx;

2)  y = (arcsinx)2;

25

3)  y =xarcsinx −1−x2 ;

6)  y = √xarctgx; 7)  y = xsinxarctgx;

9)  y = arctgx2;

10)  y =arctg2 x1 ;

11)  y = arccosarcsinxx;

12)  y =arcsin x2 .

Полученные результаты вывода производных элементарных функций сведены в таблицу в приложении.

26

8.  ПРОИЗВОДНЫЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ

Определение. Пусть независимая переменная x и зависимая y связаны функциональным соотношением j(x,y) = 0, тогда y(x) – неявно заданная функция.

Рассмотрим на примерах: 1)  x2 + y2 – 4 = 0;

2)  x + ysin(x + y) = 0;

3)  x3 + 2x2y +3xy2 + y3 – 1 = 0.

Решение:

1)  x2 +y2 (x)−4 ≡0 2x +2y y′(x)=0 y′(x)= − xy ; 2)  x2 +y(x)sin(x +y(x))≡0

2x +y′(x)sin(x +y)+ycos(x +y)(1+y′(x))≡0

( ) 2x +ycos(x +y)

y′ x = − sin(x +y)+ycos(x +y); 3)  x3 +2x2y(x)+3xy2 (x)+y3 (x)−1 ≡0,

3x2 +4xy +2x2y′(x)+3y2 +6xy y′(x)+3y2y′(x)≡0,

y′(x)(2x2 +6xy +3y2 )= −(3x2 +4xy +3y2 ),

y′(x)= −3x2 +4xy +3y2 . 2x2 +6xy +3y2

Задача  4. Найти производные функций: 1)  y3 + x3 – 3xy = 0;

2)  y4 – 6x2y2 + 9y4 – 5x2 + 15y2 – 100 = 0; 3)  xy – yx = 0;

4)  xsiny + ysinx = 0; 5)  ey – ex – 2xy – 1 = 0.

27

9.  ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

ветствует единственный y. Тогда функция y(x) задана параметрически.

Теорема. Пусть y(x) задана параметрически, j(t), y(t) дифференцируемы на (T1,T2) и j′(t) > 0, (j′(t) < 0), тогда

Определение. Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым.

На плоскости:

–  уравнение касательной к кривой: y −y0 =f′(x0 )(x −x0 ); –  уравнение нормали к кривой: y −y0 = − f′(1x0 )(x −x0 ).

28

29

10.  ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ЕГО СВОЙСТВА И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке x называется главная линейная часть приращения функции в этой точке. Обозначается dy или df(x).

Вычисление дифференциала. Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке x:

lim Dy =f′(x).

Dx→0 Dx

Тогда можно записать:

DDxy =f′(x)+a,

гдеa → 0 при Dх → 0.

Следовательно:

Dy =f′(x)Dx +aDx.

Величина aDx – бесконечно малая более высокого порядка, чем f′(x)Dx, то есть f′(x)Dx – главная часть приращения Dy.

Из определения следует, что dy = f′(x)Dx или dy = f′(x)Dx.

Можно также записать (доказать): f′(x)= dxdy .

Для независимой переменной dx = Dx, т.к. f(x0) ≡x, f′(x0) ≡1,

то f′(x0)dx = x′dx = 1Dx = Dx, f′(x0)dx = f′(x0)Dx.

Замечание. Дифференциал является функцией x0, а не dx.

Пример  15.

f (x)=sinx df (x)=d(sinx)=(sinx)′dx =cosxdx.

Пример  16.

f (x)=x2 +3x +1 d(x2 +3x +1)=(x2 +3x +1)dx =(2x +3)dx.

30