Математика. Дифференциальное исчисление. Ч.I. Функции одной независимой переменной. Учебное пособие

11.  СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛА

1.  d(cf (x))=cdf (x).

2.  d(f (x)+ g (x))=df (x)+dg (x).

3.  d(f (x)g (x))=f (x)dg (x)+df (x)g (x).

5.  Если y = f(u), а u = j(x) и y = f(j(x)) = F(x), то верна формула df = dF.

Так как dF = Fx′dx = f′(u)j′(x)dx = f′(u)du = df. Доказательства этих свойств следуют из свойства произво-

дных.

31

12.  ДИФФЕРЕНЦИАЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(x), x = g(t), то есть y – сложная функция, тогда dy = f′(x)g′(t)dt = f′(x)dx.

Из этого вытекает важное свойство, называемое инвариантностью записи (инвариантность – схожесть).

Инвариантная форма записи дифференциала. Форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли x независимой переменной или функцией какой-то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной (схожей) формой записи дифференциала.

Однако если x – независимая переменная, то dx = Dx, но если x зависит от t, то Dx ≠ dx.

Таким образом, форма записи dy = f′(x)Dx не является инвариантной.

Задача  6. Найти дифференциал функций: 1)  y = arctgx;

2)  s = et3;

3)  y4 – 6x2y2 + 9y4 – 5x2 + 15y2 – 100 = 0; 4)  y3 + x3 – 3xy = 0;

5)  xy – yx = 0;

6)  xsiny + ysinx = 0; 7)  ey – ex – 2xy – 1 = 0.

Геометрический смысл дифференциала показан на рис.  4.

Рис.  4.  Геометрический вывод дифференциала функции

32

Из треугольника DMKL (см. рис.  4): KL = dy = tgaDx = y′Dx. Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке (рис.  5).

f (x)

f (x + ∆x)

∆f (x)

df (x)

f (x) α

dx = ∆x

x

Рис.  5.  Геометрический смысл дифференциала функции

33

13.  ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую про-

изводную y′=f′(x)= dfdx(x). Назовем f′(x) производной первого

порядка функции.

Так как f′(x) – вообще говоря некоторая функция, то от нее можно найти производную функции f″(x), то есть получим

вторую производную функции f(x):

Производная от производной некоторой функции называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции. Производная от второй производной называется про­ изводной третьего порядка (или третьей производной) и т.д.: f(n)(x) = (f(n – 1)(x))′ или f(n) (x)= dxdnfn . Производная от (n – 1) – й производной называется производной n-го порядка (или n-й производной). Производные, начиная со второй, называются

производными высших порядков и обозначаются y′, y″, …, y(n). Пусть y = f(x) имеет n производных, тогда

df = f′(x0)dx;

d2f + d(df) = (df)x′dx = f″(x)(dx)2 = f(2)(x)dx2; d3 = d(d2f) = (d2f)x′dx = f(3)(x)(dx)3;

dnf = f(n)(x)dx.

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные до произвольной степени n, то есть получим рекуррент-

34

порядка является производной от производной (п – 1) порядка, то есть y(n) = (y(n – 1))′.

Пример  17.

f(x)=x3 +3x2 +2x +1 f(1) (x)=

=3x2 +6x +2 f(2) (x)=6x +6 f(3) =6.

Также по формуле d(n)y = f(n)(x)dxn может быть найден дифференциал n-го порядка, то есть пусть y = f(x) имеет n производных, тогда

df = f′(x0)dx;

d2f + d(df) = (df)x′dx = f″(x)(dx)2 = f(2)(x)dx2; d3 = d(d2f) = (d2f)x′dx = f(3)(x)(dx)3; ...;

dnf = f(n)(x)dx.

Пример  18.

f (x)=sinx df =cosxdx d2f =(−sinx)dx2d3f =(−cosx)dx3 d4y =sinxdx4.

Пример  19а. Найти производную п-го порядка от функции

y= ex.

Решение: y′ = ex; y″ = ex;

y″′ = ex; ...; y(n) = ex.

Пример  19б. Найти производную п-го порядка от функции y = e5x.

Решение: y′ = 5e5x; y″ = 52e5x;

y″′ = 53e5x; ...;

y(n) = 5ne5x.

35

Пример  20. Найти производную п-го порядка от функции y = ax, (a > 0).

Решение: y′ = axlna;

y″ = axln2a;

y″′ = axln3a; ...; y(n) = axlnna.

Пример  21. Найти производную п-го порядка от функции

y= xm.

Решение: y′ = mxm – 1;

y″ = m(m – 1)xm – 2;

y″′ = m(m – 1)(m – 2)xm – 3; ...;

1)  y(n) = m(m – 1)...(m – n + 1)xm – n, если m > n,

2)  y(n) = m(m – 1)...(m – n + 1)xm – m = m(m – 1)...(m – n + + 1)...1 = m!, если m = n,

3)  y(n) = (m! = const) = 0, если m < n.

Пример  22. Найти производную п-го порядка от функции f(x) = sinx.

Решение:

f′′(x)=(cosx)′ = −sinx =sin x + π2 ;

2

f′′′(x)=(−sinx)′ = −cosx =sin x + π3 ;

2

fIV (x)= (−cosx)′ = sinx = sin x + π4 ; ...;

2

f(n) (x)=sin x + 2πn .

Пример  23. Найти производную п-го порядка от функции f(x) = cosx.

Решение:

36

Пример  24. Найти производную п-го порядка от функции y = lnx.

Решение: y′= − x1 ; y′′= − x12 ; y′′′=1x32;

yIV = −1 x24 3; ...;

y(n) = (−1)n−1 (n −1)!.

xn

Пример  25. Найти производную п-го порядка от функции

y = logax (a > 0, a ≠ 1).

Решение: y′(x)= xln1 a;

37

y′′′(x)= ln1a − x12 ′ = − x3 1lna; ...;

y(n) = (−1)n−1 (n −1)!.

xn lna

Производные высших порядков имеют широкое применение в физике. Если функция S = f(t) описывает закон движения материальной точки по прямой линии, то первая производная f′(t) есть мгновенная скорость точки в момент времени t, а вторая производная равна скорости изменения скорости, то есть ускорению движущейся точки в этот момент, то есть V = f′(t), a = f″(t).

38

14.  ОБЩИЕ ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Если функции u = f(x) и v = g(x) дифференцируемы, то: 1)  (Cu(x))(n) = C(u(x))(n) = Cu(n)(x), где C – константа; 2)  (u(x) + v(x))(n) = u(n) ± v(n);

3)  (u(x)v(x))(n) =u(n)v +nu(n−1)v′+ n(n −1)u(n−2)v′′+...+

2

+ n(n −1) n −(k −1) u(n−k)v(k) +...+uv(n) k!

или

(u(x)v(x))(n) = ∑n Cnm (u(x))(n−m) (v(x))(m),

m=0

n N, где Cmn – число сочетаний из n элементов по m и вычис-

Это выражение (формула) называется формулой Лейбница для производных высших порядков.

Доказательство (3 свойства) проведем методом математической индукции. Введем для удобства записи обозначения: u(x) = u, v(x) = v.

1.  База индукции. При n = 1:

– левая часть доказываемого равенства равна (uv)′ = u′v + uv′;

– правая часть этого равенства

Следовательно, базис индукции истинен.

2.  Посылка индукции. Дано, что исходное равенство верно при n = k, то есть

(uv)(k) = ∑k Ckmu(k−m)v(m). m=0

39

Шагиндукции.Докажем,чтоэторавенствоверноприn=k+1:

(uv)(k+1) = ∑k+1 Cm+ u(k+1−m)v(m).

k 1

m=0

Действительно:

(производная линейной комбинации равна линейной комбинации производных (то есть производная суммы равна сумме производных для конечного числа функций))

= ∑k Ckm (u(k−m)v(m) )′ = m=0

(по правилу дифференцирования произведения двух функций имеем)

(в первой сумме выпишем отдельно первое слагаемое, а во второй сумме – последнее слагаемое)

(во второй сумме суммирование начнем с m = 1, тогда во втором слагаемом вместо m нужно взять m – 1), то есть имеем:

∑k−1 Ckmu(k−m)v(m+1) = ∑k Ckm−1u(k−(m−1))v(m−1+1) =

k

= ∑(Ckm +Ckm−1 )u(k+1−m)v(m) +Ck0u(k+1)v +Ckkuv(k+1) = m=1

(аналогично, как и при выводе бинома Ньютона, используем

40