Математика. Дифференциальное исчисление. Ч.I. Функции одной независимой переменной. Учебное пособие

б)  по степеням (x + 2) функцию y = 7x;

в)  по степеням (x – 4) функцию y = cos(2x + 5); г)  по степеням (x – 3) функцию y = sh(4x – 3); д)  по степеням (x – 2) функцию y = ln(3 + 5x).

Пример  42. Вычислим значение sin20°.

Решение: Предварительно переведем угол 20° в радианы: 20° = p/9.

Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:

=0,348889−0,007078 +0,000043 =0,341854lim.

x→∞

Известно, что при x → 0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию x. Теперь видно, что при x, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, то есть sinx ≈ x.

Пример  43. Вычислить sin28°13′15″.

Решение: Для того чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:

61

Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла, sin28°13′15″ = 0,472869017612759812, видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Пример  44. Вычислить ln1,5.

Решение: Cначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.

ln1,5 = 0,405465108108164381; ln1,5 =ln(1+0,5) ≈

≈0,5− 0,52 2 + 0,53 3 − 0,54 4 + 0,55 5 − 0,56 6 + 0,57 7 =0,4058035.

Задача  11. Найти приближенное значение: 1)  arctg1,05;

2)  tg46°;

3)  415,8.

62

18.  ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА, КОШИ

1.  Теорема Ролля. Пусть y = f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b) и f(a) = f(b) = 0, тогда $ c (a,b): f′(c) = 0.

Доказательство.

Обозначим m =inff (x).

[a,b]

1.  Если m = M, то f(x) ≡ 0 и f′(x) ≡ 0. 2.  Если m ≠ M, то или M > 0 или m < 0.

Пусть M > 0 (по свойству непрерывной функции) $ c(a,b): f(c) = M, тогда

Замечание. Теорема Ролля верна, если f(a) = f(b) ≠ 0. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что

при выполнении условий теоремы на интервале (a,b) существует точка e, такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси 0x. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Теорема Ролля имеет несколько следствий.

1)  Если функция f(x) на отрезке [a,b] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = 0, то существует по крайней мере одна точка e, a < e < b, такая, что f′(e) = 0. То есть между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

2)  Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n – 1)-го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1)-го порядка равна нулю.

63

2.  Теорема Лагранжа. Пусть y = f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в (a,b), тогда $ точка c (a,b), так что

f′(c)= f (b)−f (a). b −a

Доказательство.

Пусть F(x)=f (x)−(x −a)(f ((b)−f ()a)), тогда F(x) дифферен- b −a

цируема на (a,b), неопределенная [a,b] и F(b) = f(a) по теореме Ролля $ c (a,b). F′(c) = 0, то есть

f′(c)− f (b)−f (a) =0 b −a

что и требовалось доказать.

3.  Теорема Коши. Пусть y = j(x) и y = f(x) непрерывны на [a,b] и дифференцируемы на (a,b) и j′(x) ≠ 0, тогда $ точка c(a,b) такая, что

f′(c) f (b)−f (a) j′(c) = j(b)−j(a).

Доказательство.

Пусть F(x)=f (x)−(y(b)−y(a))((f (a)−f (b))), тогда F(x) – не- y(b)−y(a)

прерывнаяна[a,b],дифференцируемана(a,b)иF(a)=F(b)=f(a)c (a,b), так что F′(c) = 0.

f′(c)−y′(c)(f ((a))−f ((b)))=0 y b y a

−

что и требовалось доказать.

64

19.  РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В ПРЕДЕЛЕ. ПРАВИЛА ЛОПИТАЛЯ

f (x)

1.  Пусть в y(x):

1)  f(a) = y(a) = 0 – неопределенность 00 ;

Теорема  1 (правила Лопиталя). Пусть f(x), y(x) удовлетворяют условию теоремы Коши на [a,b], f(a) = y(a) = 0 и

Доказательство.

Пусть x > a f(x) и y(x) удовлетворяет условия Коши на

Замечание  3. Теорема верна если a = ∞, так как

65

Теорема  2 (правила Лопиталя). Пусть в выколотой окрестности точки а функции f(x) и j(x) дифференцируемы, где f′(x) ≠ 0,

66

Замечание. Неопределенность типа (0×∞) сводится к

ции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д., пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы

Лопиталя.

x

Пример  52. Найти предел lim xe2 .

x→∞ x +ex

67

Решение:

Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какойлибо другой метод (замена переменных и др.).

Неопределенности вида «00»; «1∞»; «∞0» можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида y = [f(x)]g(x), f(x) > 0 вблизи точки а при х → а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x) lnf(x).

Пример  54. Найти предел limxx.

x→0 x>0

Решение:

Преобразуемфункциюподзнакомпределаy=xx,тоlny=xlnx.

68

7)  lim(xctg πx);

x→0

8)  lim(arcsinxctgx);

x→0

9)  lim(1−cosx)ctgx;

x→0

Покажем нахождение производных различных порядков от неявных функций на примере.

Пример  56. Пусть неявная функция у от х определяется

равенством x2 + y2 −1 =0. a2 b2

Решение:

Дифференцируем по x все члены этого равенства и помним, что y есть функция от x:

2ax2 + 2by2 dxdy =0,

из этого равенства находим dy = − b2x . Полученное равенство dx a2y

дифференцируем по x, учитывая также, что y есть функция от x:

70