Математика и информатика. Решение логико-познавательных задач. Учебное пособие для студентов вузов

7)ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɬɨɥɶɤɨ ɞɜɚ ɫɨɛɵɬɢɹ;

8)ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɞɜɚ ɫɨɛɵɬɢɹ;

9)ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɧɟ ɛɨɥɟɟ ɞɜɭɯ ɫɨɛɵɬɢɣ.

Ɋɟɲɟɧɢɟ

1)A B C (ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɬɨɥɶɤɨ ɋ);

2)A B C (ɩɪɨɢɡɨɲɥɢ ɬɨɥɶɤɨ Ⱥ ɢ ȼ);

3)A B C (ɩɪɨɢɡɨɲɥɢ ɜɫɟ ɬɪɢ ɫɨɛɵɬɢɹ);

4)A B C (ɧɢ ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ ɧɟ ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ);

5)A B C (ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ);

6)A B C A B C A B C (ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨ ɢɡ ɫɨɛɵɬɢɣ);

7)A B C A B C A B C (ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɬɨɥɶɤɨ ɞɜɚ ɫɨɛɵɬɢɹ);

8)A B B C A C (ɩɪɨɢɡɨɲɥɨ ɯɨɬɹ ɛɵ ɞɜɚ ɫɨɛɵɬɢɹ);

9)A B C (ɧɟ ɩɪɨɢɡɨɲɥɢ ɬɪɢ ɫɨɛɵɬɢɹ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ).

ɉɟɪɟɱɢɫɥɢɦ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɨɩɟɪɚɰɢɣ ɧɚɞ ɫɨɛɵɬɢɹɦɢ:

4)A: A ;

5)A A Ø;

6)A A ;

4.3. ǶȗȘȍȌȍȓȍȕȐȍ ȊȍȘȖȧȚȕȖșȚȐ șȖȉȣȚȐȧ

Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɪɚɡɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɦɨɠɧɨ ɫɪɚɜɧɢɜɚɬɶ ɩɨ ɫɬɟɩɟɧɢ ɢɯ ɜɨɡɦɨɠɧɨɝɨ ɩɨɹɜɥɟɧɢɹ.

ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɜ ɥɨɬɟɪɟɟ ɪɚɡɵɝɪɵɜɚɟɬɫɹ ɨɞɢɧ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɶ ɢ ɞɟɫɹɬɶ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɨɜ, ɬɨ ɜɵɢɝɪɚɬɶ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪ ɛɨɥɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ, ɱɟɦ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɶ; ɟɫɥɢ ɜ ɫɭɧɞɭɤɟ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ 5 ɡɨɥɨɬɵɯ ɢ 50 ɫɟɪɟɛɪɹɧɵɯ ɦɨɧɟɬ, ɬɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɧɚɭɝɚɞ ɫɟɪɟɛɪɹɧɭɸ ɦɨɧɟɬɭ ɛɨɥɟɟ ɜɨɡɦɨɠɧɨɟ ɫɨɛɵɬɢɟ, ɱɟɦ ɡɨɥɨɬɭɸ.

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ — ɷɬɨ ɱɢɫɥɟɧɧɚɹ ɦɟɪɚ ɨɛɴɟɤɬɢɜɧɨɣ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ.

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ P(A) (ɨɬ ɚɧɝɥ. probability — ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ).

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Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɣ ɦɟɬɨɞ ɩɨɞɫɱɟɬɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɟɫɥɢ ɩɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɡɚɞɚɱɢ:

•ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɨɞɧɨ ɢɫɩɵɬɚɧɢɟ;

•ɱɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɤɨɧɟɱɧɨ;

•ɜɫɟ ɢɫɯɨɞɵ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ;

•ɢɫɯɨɞɵ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ (ɜɡɚɢɦɧɨ ɢɫɤɥɸɱɚɸɬ ɞɪɭɝ ɞɪɭɝɚ, ɢ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɨɛɹɡɚ-

ɬɟɥɶɧɨ ɧɚɫɬɭɩɚɟɬ ɨɞɢɧ ɢɡ ɢɫɯɨɞɨɜ).

ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɪɚɜɧɚ:

P(A) mn ,

ɝɞɟ m — ɱɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚɫɬɭɩɥɟɧɢɸ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ; n — ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ.

Ɉɫɧɨɜɧɵɟ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ:

1)0 δ P(A) δ 1 ;

ɬɚɤ ɤɚɤ m = 0.

ɉɪɢɦɟɪ 20. ȼ ɥɨɬɟɪɟɟ ɢɡ ɨɞɢɧɧɚɞɰɚɬɢ ɛɢɥɟɬɨɜ ɜɵɢɝɪɵɜɚɸɬ ɬɨɥɶɤɨ ɬɪɢ. ɇɚɭɝɚɞ ɜɵɛɢɪɚɸɬ ɨɞɢɧ ɛɢɥɟɬ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɛɢɥɟɬ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɧɟɜɵɢɝɪɵɲɧɵɦ?

ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ — ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɵɛɢɪɚɸɬ ɥɨɬɟɪɟɣɧɵɣ ɛɢɥɟɬ. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ — ɥɨɬɟɪɟɣɧɵɣ ɛɢɥɟɬ ɧɟɜɵɢɝɪɵɲɧɵɣ.

ɉɪɢɦɟɪ 21. ɇɚ 100 ɤɚɪɬɨɱɤɚɯ ɧɚɩɢɫɚɧɵ ɱɢɫɥɚ ɨɬ 1 ɞɨ 100. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɧɚ ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɜɡɹɬɨɣ ɤɚɪɬɨɱɤɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬɫɹ ɰɢɮɪɚ 5.

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m 19 (ɤɚɪɬɨɱɤɢ ɫ ɱɢɫɥɚɦɢ 5, 15, 25, 35, 45, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 65, 75, 85, 95).

ɂɫɯɨɞɵ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ:

ɉɪɢɦɟɪ 22. ɉɪɢ ɧɚɛɨɪɟ ɬɟɥɟɮɨɧɧɨɝɨ ɧɨɦɟɪɚ ɚɛɨɧɟɧɬ ɡɚɛɵɥ ɩɨɫɥɟɞɧɸɸ ɰɢɮɪɭ ɢ ɧɚɛɪɚɥ ɟɟ ɧɚɭɝɚɞ, ɩɨɦɧɹ ɬɨɥɶɤɨ, ɱɬɨ ɷɬɚ ɰɢɮɪɚ ɧɟɱɟɬɧɚɹ. ɇɚɣɞɟɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɧɨɦɟɪ ɧɚɛɪɚɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ.

ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ — ɚɛɨɧɟɧɬ ɧɚɭɝɚɞ ɧɚɛɢɪɚɟɬ ɨɞɧɭ ɧɟɱɟɬɧɭɸ ɰɢɮɪɭ. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ — ɰɢɮɪɚ ɧɚɛɪɚɧɚ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ.

ɂɫɯɨɞɵ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ:

ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɵɦ ɩɨɞɫɱɟɬɨɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. ɉɪɢ ɩɨɞɫɱɟɬɟ ɱɢɫɥɚ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ n ɢ ɱɢɫɥɚ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ m ɱɚɫɬɨ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɚɜɢɥɚ ɢ ɮɨɪɦɭɥɵ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɢ ɩɪɢɜɟɞɟɦ ɧɢɠɟ.

Ʉɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɚ — ɪɚɡɞɟɥ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɢɡɭɱɚɸɬɫɹ ɜɨɩɪɨɫɵ ɨ ɬɨɦ, ɫɤɨɥɶɤɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ, ɩɨɞɱɢɧɟɧɧɵɯ ɬɟɦ ɢɥɢ ɢɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɢɡ ɡɚɞɚɧɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɨɜ.

Ʉɨɦɛɢɧɚɬɨɪɧɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɫɥɨɠɟɧɢɹ. ȿɫɥɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɨɛɴɟɤɬ Ⱥ ɦɨɠ-

ɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ m ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɚ ɞɪɭɝɨɣ ɨɛɴɟɤɬ ȼ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɬɨɜɵɛɨɪ «ɥɢɛɨȺ, ɥɢɛɨȼ» ɦɨɠɧɨɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬ m n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ.

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ɉɪɢɦɟɪ 23. ɇɚ ɬɚɪɟɥɤɟ ɥɟɠɚɬ 5 ɹɛɥɨɤ ɢ 4 ɚɩɟɥɶɫɢɧɚ. ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɨɞɢɧ ɩɥɨɞ?

ɉɨ ɭɫɥɨɜɢɸ ɩɪɢɦɟɪɚ ɹɛɥɨɤɨ (ɨɛɴɟɤɬ Ⱥ) ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɩɹɬɶɸ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ (m=5), ɚɩɟɥɶɫɢɧ (ɨɛɴɟɤɬ ȼ) — ɱɟɬɵɪɶɦɹ (n=4). Ɍɚɤ ɤɚɤ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɪɟɱɶ ɢɞɟɬ ɨ ɜɵɛɨɪɟ «ɥɢɛɨ ɹɛɥɨɤɨ, ɥɢɛɨ ɚɩɟɥɶɫɢɧ», ɬɨ ɟɝɨ, ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɫɥɨɠɟɧɢɹ, ɦɨɠɧɨɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ m n = 5 4 9 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ.

ɉɪɚɜɢɥɨ ɫɥɨɠɟɧɢɹ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɞɥɹ ɜɵɛɨɪɚ ɥɸɛɨɝɨ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɨɛɴɟɤɬɨɜ. ȼ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤ: ȿɫɥɢ ɜɵɛɨɪ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɨɛɴɟɤɬɨɜ Ⱥi (i = 1,2,..., k) ɦɨɠɧɨ ɜɵɩɨɥɧɢɬɶ ni ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɬɨ ɜɵɛɨɪ «ɥɢɛɨ Ⱥ1 , ɥɢɛɨ Ⱥ2 ,..., ɥɢɛɨ Ⱥk » ɦɨɠɧɨ ɨɫɭ-

k

ɳɟɫɬɜɢɬɶ N ƒni ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ.

i 1

ɉɪɢɦɟɪ 24. ɉɭɫɬɶ ɢɡ ɩɭɧɤɬɚ Ⱥ ɜ ɩɭɧɤɬ ȼ ɦɨɠɧɨ ɞɨɛɪɚɬɶɫɹ ɫɚɦɨɥɟɬɨɦ, ɩɨɟɡɞɨɦ ɢ ɚɜɬɨɛɭɫɨɦ, ɩɪɢɱɟɦ ɦɟɠɞɭ ɷɬɢɦɢ ɩɭɧɤɬɚɦɢ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ 2 ɚɜɢɚɦɚɪɲɪɭɬɚ, 1 ɠɟɥɟɡɧɨɞɨɪɨɠɧɵɣ ɢ 3 ɚɜɬɨɛɭɫɧɵɯ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɞɨɛɪɚɬɶɫɹ ɢɡ ɩɭɧɤɬɚ Ⱥ ɜ ɩɭɧɤɬ ȼ?

Ɍɚɤ ɤɚɤ ɦɟɠɞɭ ɩɭɧɤɬɚɦɢ Ⱥ ɢ ȼ ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ 2 ɚɜɢɚɦɚɪɲɪɭɬɚ, 1 ɠɟɥɟɡɧɨɞɨɪɨɠɧɵɣ ɢ 3 ɚɜɬɨɛɭɫɧɵɯ, ɬɨ ɨɛɳɟɟ ɱɢɫɥɨ ɦɚɪɲɪɭɬɨɜ ɛɭɞɟɬ ɪɚɜɧɨ 2+1+3 = 6, ɬ.ɟ. ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ 6 ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɞɨɛɪɚɬɶɫɹ ɢɡ ɩɭɧɤɬɚ Ⱥ ɜ ɩɭɧɤɬ ȼ.

Ʉɨɦɛɢɧɚɬɨɪɧɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ. ȿɫɥɢ ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɨɛɴɟɤɬ Ⱥ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ m ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɢ ɟɫɥɢ ɩɨɫɥɟ ɤɚɠɞɨɝɨ ɬɚɤɨɝɨ ɜɵɛɨɪɚ ɨɛɴɟɤɬ ȼ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɬɨ ɜɵɛɨɪ ɩɚɪɵ (Ⱥ, ȼ) ɜ ɭɤɚɡɚɧɧɨɦ ɩɨɪɹɞɤɟ ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ m n ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ.

ɉɪɢɦɟɪ 25. ȼ ɩɨɱɬɨɜɨɦ ɨɬɞɟɥɟɧɢɢ ɩɪɨɞɚɸɬɫɹ 7 ɜɢɞɨɜ ɨɬɤɪɵɬɨɤ ɢ 5 ɜɢɞɨɜ ɤɨɧɜɟɪɬɨɜ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɤɭɩɢɬɶ ɨɬɤɪɵɬɤɭ ɫ ɤɨɧɜɟɪɬɨɦ?

Ʉɭɩɢɬɶ ɨɬɤɪɵɬɤɭ (ɨɛɴɟɤɬ Ⱥ) ɢ ɤɨɧɜɟɪɬ (ɨɛɴɟɤɬ ȼ) ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ m n = 7 5 35 ɫɩɨɫɨɛɨɜ.

ɉɪɚɜɢɥɨ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɞɥɹ ɜɵɛɨɪɚ ɥɸɛɨɝɨ ɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɨɛɴɟɤɬɨɜ. ȼ ɨɛɳɟɦ ɜɢɞɟ ɟɝɨ ɦɨɠɧɨ ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɬɚɤ:

ȿɫɥɢ ɜɵɛɨɪ ɤɚɠɞɨɝɨ ɢɡ ɨɛɴɟɤɬɨɜ Ⱥi (i = 1,2,..., k) ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ ni ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɬɨ ɜɵɛɨɪ «ɢ Ⱥ1 , ɢ Ⱥ2 ,..., ɢ Ⱥk « ɜ ɭɤɚɡɚɧɧɨɦ ɩɨɪɹɞ-

k

ɤɟ ɦɨɠɧɨ ɩɪɨɢɡɜɟɫɬɢ N ni ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ.

i 1

ɉɪɢɦɟɪ 26. Ⱦɥɹ ɡɚɩɢɪɚɧɢɹ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɚɦɟɪɵ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɤɨɞɨɜɵɣ ɡɚɦɨɤ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɨɬɤɪɵɜɚɟɬɫɹ ɥɢɲɶ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɧɚɛɪɚɧ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɣ ɲɢɮɪ. ɗɬɨɬ ɲɢɮɪ ɧɚɛɢɪɚɸɬ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɩɹɬɢ ɞɢɫɤɨɜ, ɧɚ

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ɤɚɠɞɨɦ ɢɡ ɤɨɬɨɪɵɯ ɢɡɨɛɪɚɠɟɧɵ ɰɢɮɪɵ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɡɚɤɨɞɢɪɨɜɚɬɶ ɡɚɦɨɤ?

ɒɢɮɪ ɤɨɞɨɜɨɝɨ ɡɚɦɤɚ ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɩɹɬɢ ɰɢɮɪ. Ʉɚɠɞɭɸ ɰɢɮɪɭ ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ ɞɟɫɹɬɶɸ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ɉɨɷɬɨɦɭ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ 10 10 10 10 10 100000 ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɡɚɤɨɞɢɪɨɜɚɬɶɡɚɦɨɤ.

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ n ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. ɂɡ ɞɚɧɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɫɟɦɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɞɟɥɚɸɬɫɹ ɜɵɛɨɪɤɢ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ (k < n). Ʉɚɠɞɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɞɪɭɝɨɣ ɢɥɢ ɫɨɫɬɚɜɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɢɥɢ ɢɯ ɩɨɪɹɞɤɨɦ. Ɍɚɤɢɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɦɢ ɢɡ n ɩɨ k.

ȼ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɧɵɯ ɡɚɞɚɱɚɯ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɭɦɟɬɶ ɩɨɞɫɱɢɬɵɜɚɬɶ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. Ⱦɥɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɣ ɫɢɦɜɨɥ Ank (ɨɬ ɮɪɚɧɰ. arrangement — ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɟ, ɩɪɢɜɟɞɟɧɢɟ ɜ ɩɨɪɹɞɨɤ).

ɑɢɫɥɨ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ:

Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ. n! — ɮɚɤɬɨɪɢɚɥ ɱɢɫɥɚ n (ɨɬ ɥɚɬ. factor — ɦɧɨɠɢɬɟɥɶ). n! 1 2 3 ... n (ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɧɚɬɭɪɚɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɞɨ n ɜɤɥɸɱɢ-

ɬɟɥɶɧɨ). Ɏɚɤɬɨɪɢɚɥ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧ ɬɨɥɶɤɨ ɞɥɹ ɰɟɥɵɯ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɯ ɱɢɫɟɥ. ɉɨɥɚɝɚɸɬ: 0!=1; 1!=1; 2!=1·2=2; 3!=1·2·3=6 ɢ ɬ.ɞ.

ɉɪɢɦɟɪ 27. ȼ ɬɭɪɧɢɪɟ ɩɨ ɪɭɤɨɩɚɲɧɨɦɭ ɛɨɸ ɭɱɚɫɬɜɭɸɬ 8 ɤɨɦɚɧɞ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɩɪɢɡɨɜɨɣ ɬɪɨɣɤɢ?

Ɍɚɤ ɤɚɤ ɩɨɪɹɞɨɤ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɤɨɦɚɧɞ ɜ ɩɪɢɡɨɜɨɣ ɬɪɨɣɤɟ ɜɚɠɟɧ (ɨɬ ɷɬɨɝɨ ɡɚɜɢɫɢɬ ɞɨɫɬɨɢɧɫɬɜɨ ɦɟɞɚɥɟɣ), ɬɨ ɦɵ ɢɦɟɟɦ ɞɟɥɨ ɫ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɦɢ. ɇɭɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɢɡ n 8 ɤɨɦɚɧɞ ɩɨ k 3 ɤɨɦɚɧɞɵ. Ɍɨɝɞɚ:

ɉɪɢɦɟɪ 28. ɇɚ ɩɟɪɜɨɦ ɤɭɪɫɟ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬɚ ɢɡɭɱɚɟɬɫɹ 15 ɩɪɟɞɦɟɬɨɜ. ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɪɚɫɩɢɫɚɧɢɟ ɧɚ ɫɪɟɞɭ, ɟɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɜ ɷɬɨɬ ɞɟɧɶ ɞɨɥɠɧɨ ɛɵɬɶ 4 ɪɚɡɧɵɯ ɩɪɟɞɦɟɬɚ?

ȿɫɥɢ ɜɫɟ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɪɚɡɥɢɱɧɵ, ɧɨ ɜ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɯ ɞɨɩɭɫɤɚɸɬɫɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹ, ɬɨ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ

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Akn nk

ɉɪɢɦɟɪ 29. ɋɤɨɥɶɤɨ ɞɜɭɡɧɚɱɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɫ ɩɨɦɨɳɶɸ ɰɢɮɪ 1, 2, 3, 4, ɟɫɥɢ ɜ ɡɚɩɢɫɢ ɱɢɫɥɚ ɰɢɮɪɵ ɦɨɝɭɬ ɩɨɜɬɨɪɹɬɶɫɹ?

A24 42 16 .

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ. ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ n ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. Ʉɨɦɛɢɧɚɰɢɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɦɨɠɧɨ ɩɨɥɭɱɢɬɶ, ɩɟɪɟɫɬɚɜɥɹɹ ɜɫɟɦɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɟɞɭ ɫɨɛɨɣ ɞɚɧɧɵɟ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚɦɢ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ.

ɉɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ (ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɟ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ). Ɍɚɤ ɤɚɤ ɤɚɠɞɚɹ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɜɫɟ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ, ɬɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɢ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɞɪɭɝ ɨɬ ɞɪɭɝɚ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨɪɹɞɤɨɦ ɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ.

Ⱦɥɹ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɱɢɫɥɚ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɩɪɢɦɟɧɹɟɬɫɹ ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɵɣ ɫɢɦɜɨɥ Pn (ɨɬ ɮɪɚɧɰ. permutation — ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɤɚ).

ɑɢɫɥɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ

Pn n!

ɉɪɢɦɟɪ 30. ɇɚ ɫɨɛɪɚɧɢɢ ɞɨɥɠɧɵ ɜɵɫɬɭɩɢɬɶ 6 ɨɪɚɬɨɪɨɜ. ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɦɨɠɧɨ ɭɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɨɱɟɪɟɞɧɨɫɬɶ ɜɵɫɬɭɩɥɟɧɢɣ?

Pn n! 6! 1 2 3 4 5 6 720 .

ɉɪɢɦɟɪ 31. ɋɤɨɥɶɤɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɢɡ ɛɭɤɜ ɫɥɨɜɚ «ɥɢɧɟɣɤɚ»?

ȼ ɫɥɨɜɟ «ɥɢɧɟɣɤɚ» 7 ɛɭɤɜ, ɜɫɟ ɨɧɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɱɢɫɥɨ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɪɚɜɧɨ P7 7! 1 2 3 4 5 6 7 5040 .

ȿɫɥɢ ɫɪɟɞɢ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɢɦɟɟɬɫɹ p ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɨɞɧɨɝɨ ɜɢɞɚ, q — ɞɪɭɝɨɝɨ, r — ɬɪɟɬɶɟɝɨ ɢ ɬ.ɞ, ɬɨ ɱɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɩɟɪɟɫɬɚɧɨɜɨɤ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ:

ɉɪɢɦɟɪ 32. ɋɤɨɥɶɤɨ ɲɟɫɬɢɡɧɚɱɧɵɯ ɱɢɫɟɥ ɦɨɠɧɨ ɫɨɫɬɚɜɢɬɶ ɢɡ ɰɢɮɪ 1, 1, 1, 5, 5, 9?

Ɏɨɪɦɭɥɚ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ. ɉɭɫɬɶ ɢɦɟɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɟ n ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ. ɂɡ ɞɚɧɧɵɯ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɜɫɟɦɢ ɜɨɡɦɨɠɧɵɦɢ ɫɩɨ-

86

ɫɨɛɚɦɢ ɞɟɥɚɸɬɫɹ ɜɵɛɨɪɤɢ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ (k < n). Ʉɚɠɞɚɹ ɜɵɛɨɪɤɚ ɨɬɥɢɱɚɟɬɫɹ ɨɬ ɞɪɭɝɨɣ ɬɨɥɶɤɨ ɫɨɫɬɚɜɨɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ (ɯɨɬɹ ɛɵ ɨɞɧɢɦ ɷɥɟɦɟɧɬɨɦ). Ɍɚɤɢɟ ɜɵɛɨɪɤɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɦɢ ɢɡ n ɩɨ k.

ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɫɢɦɜɨɥɨɦ ɋnk (ɨɬ ɮɪɚɧɰ. combinaison — ɫɨɱɟɬɚɧɢɟ).

ɑɢɫɥɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ ɢɡ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ k ɜɵɱɢɫɥɹɸɬ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ:

ɉɪɢɦɟɪ 33. ɋɤɨɥɶɤɨ ɷɤɡɚɦɟɧɚɰɢɨɧɧɵɯ ɤɨɦɢɫɫɢɣ, ɫɨɫɬɨɹɳɢɯ ɢɡ 5 ɱɥɟɧɨɜ ɦɨɠɧɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɶ ɢɡ 12 ɩɪɟɩɨɞɚɜɚɬɟɥɟɣ?

ɉɪɢɦɟɪ 34. ɍɱɚɳɢɦɫɹ ɞɚɥɢ ɫɩɢɫɨɤ ɢɡ 10 ɤɧɢɝ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɪɟɤɨɦɟɧɞɭɟɬɫɹ ɩɪɨɱɢɬɚɬɶ ɜɨ ɜɪɟɦɹ ɤɚɧɢɤɭɥ. ɋɤɨɥɶɤɢɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɭɱɟɧɢɤ ɦɨɠɟɬ ɜɵɛɪɚɬɶ ɢɡ ɷɬɨɝɨ ɫɩɢɫɤɚ 6 ɤɧɢɝ?

ɉɪɢɦɟɪ 35. ɇɚ ɬɪɟɬɶɟɦ ɤɭɪɫɟ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɮɚɤɭɥɶɬɟɬɚ ɭɱɢɬɫɹ 10 ɞɟɜɭɲɟɤ ɢ 12 ɸɧɨɲɟɣ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɜɵɛɪɚɬɶ 2 ɞɟɜɭɲɟɤ ɢ 2 ɸɧɨɲɟɣ ɞɥɹ ɜɨɡɥɨɠɟɧɢɹ ɰɜɟɬɨɜ ɤ ɜɟɱɧɨɦɭ ɨɝɧɸ?

Ⱦɟɜɭɲɟɤ ɦɨɠɧɨ ɨɬɨɛɪɚɬɶ ɋ102 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɚ ɸɧɨɲɟɣ — ɋ122 ɫɩɨɫɨ-

ɞɟɜɭɲɟɤ ɢ 2 ɸɧɨɲɟɣ ɞɥɹ ɜɨɡɥɨɠɟɧɢɹ ɰɜɟɬɨɜ ɤ ɜɟɱɧɨɦɭ ɨɝɧɸ.

ȿɫɥɢ ɜɫɟ n ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɪɚɡɥɢɱɧɵ, ɧɨ ɜ ɫɨɱɟɬɚɧɢɹɯ ɞɨɩɭɫɤɚɸɬɫɹ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹ, ɬɨ ɱɢɫɥɨ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɣ:

ɉɪɢɦɟɪ 36. ȼ ɩɨɱɬɨɜɨɦ ɨɬɞɟɥɟɧɢɢ ɩɪɨɞɚɸɬɫɹ ɨɬɤɪɵɬɤɢ 5 ɜɢɞɨɜ. ɋɤɨɥɶɤɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɩɨɫɨɛɨɜ ɩɨɤɭɩɤɢ 7 ɨɬɤɪɵɬɨɤ?

ɉɪɢɦɟɪ 37. Ɂɚɦɨɤ ɢɦɟɟɬ ɱɟɬɵɪɟɯɡɧɚɱɧɵɣ ɰɢɮɪɨɜɨɣ ɤɨɞ. ɇɚɭɝɚɞ ɧɚɛɢɪɚɸɬɫɹ ɱɟɬɵɪɟ ɰɢɮɪɵ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɨɬɤɪɵɬɶ ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɡɚɦɨɤ, ɟɫɥɢ ɢɡɜɟɫɬɧɨ, ɱɬɨ ɜ ɤɨɞɟ ɜɫɟ ɰɢɮɪɵ ɪɚɡɧɵɟ?

ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ — ɧɚɭɝɚɞ ɧɚɛɢɪɚɟɬɫɹ ɱɟɬɵɪɟɯɡɧɚɱɧɵɣ ɰɢɮɪɨɜɨɣ ɤɨɞ. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ — ɤɨɞ ɧɚɛɪɚɧ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ.

ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ n ɤɨɧɟɱɧɨ ɢ ɪɚɜɧɨ ɱɢɫɥɭ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɣ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɰɢɮɪ. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜ ɤɨɞɟ ɡɚɦɤɚ ɜɚɠɟɧ ɧɟ ɬɨɥɶɤɨ ɧɚɛɨɪ ɰɢɮɪ, ɧɨ ɢ ɢɯ ɩɨɪɹɞɨɤ, ɬɨ

ɑɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ ɪɚɜɧɨ m 1 (ɩɪɚɜɢɥɶɧɚ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɚ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ ɢɡ ɱɟɬɵɪɟɯ ɰɢɮɪɚ).

ɂɫɯɨɞɵ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ:

ɉɪɢɦɟɪ 38. Ⱦɥɹ ɭɱɚɫɬɢɹ ɜ ɥɨɬɟɪɟɟ «ɋɩɨɪɬɥɨɬɨ» ɧɚ ɤɚɪɬɨɱɤɟ, ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɣ 49 ɱɢɫɟɥ, ɧɭɠɧɨ ɨɬɦɟɬɢɬɶ 6 ɱɢɫɟɥ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɵɢɝɪɚɬɶ?

ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ — ɧɚɭɝɚɞ ɜɵɛɢɪɚɸɬ 6 ɱɢɫɟɥ ɢɡ 49. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ — ɜɫɟ 6 ɱɢɫɟɥ ɜɵɛɪɚɧɵ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ.

ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ n ɤɨɧɟɱɧɨ ɢ ɪɚɜɧɨ ɱɢɫɥɭ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɢɡ 49 ɱɢɫɟɥ ɩɨ 6. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɧɟ ɜɚɠɟɧ

ɑɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ ɪɚɜɧɨ m 1 (ɩɪɚɜɢɥɶɧɚ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɚ ɤɨɦɛɢɧɚɰɢɹ ɢɡ ɲɟɫɬɢ ɰɢɮɪ).

ɂɫɯɨɞɵ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɨɛɪɚɡɭɸɬ ɩɨɥɧɭɸ ɝɪɭɩɩɭ ɧɟɫɨɜɦɟɫɬɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ, ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ:

ɉɪɢɦɟɪ 39. ɂɡ 15 ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɭɱɟɛɧɨɣ ɝɪɭɩɩɵ 8 ɡɚɧɢɦɚɸɬɫɹ ɧɚɭɱɧɨɣ ɪɚɛɨɬɨɣ ɧɚ ɤɚɮɟɞɪɟ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ, ɨɫɬɚɥɶɧɵɟ — ɧɚ ɤɚɮɟɞɪɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɢɡ 9 ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ 5 ɡɚɧɢɦɚɸɬɫɹ ɧɚɭɱɧɨɣ ɪɚɛɨɬɨɣ ɧɚ ɤɚɮɟɞɪɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ?

88

ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ — ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɜɵɛɢɪɚɸɬ 9 ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ — ɫɪɟɞɢ 9 ɫɥɭɱɚɣɧɨ ɨɬɨɛɪɚɧɧɵɯ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ 5 ɡɚɧɢɦɚ-

ɸɬɫɹ ɧɚɭɱɧɨɣ ɪɚɛɨɬɨɣ ɧɚ ɤɚɮɟɞɪɟ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ.

ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ n ɤɨɧɟɱɧɨ ɢ ɪɚɜɧɨ ɱɢɫɥɭ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɫɨɱɟɬɚɧɢɣ ɢɡ 15 ɱɢɫɟɥ ɩɨ 9. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɧɟ ɜɚɠɟɧ

ɩɨɪɹɞɨɤ ɨɬɛɨɪɚ ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ, ɬɨ n C159 .

ɑɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ ɦɨɠɧɨ ɩɨɫɱɢɬɚɬɶ ɬɚɤ: ɜɵɛɨɪ 5 ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɫ ɤɚɮɟɞɪɵ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɢɡ 7 ɢɦɟɸɳɢɯɫɹ ɦɨɠɧɨ

ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ C75 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɢ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɜɵɛɨɪ ɟɳɟ 4 ɫɬɭɞɟɧɬɨɜ ɫ ɤɚɮɟɞɪɵ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɢɡ 8 ɢɦɟɸɳɢɯɫɹ ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ C84 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɱɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɛɥɚɝɨɩɪɢ-

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜɵɛɨɪ ɫɥɭɱɚɟɧ, ɬɨ ɜɫɟ ɢɫɯɨɞɵ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ ɢ ɩɪɢɦɟɧɢɦɨ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ:

ɉɪɢɦɟɪ 40. Ʉ ɷɤɡɚɦɟɧɭ ɩɨ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɟ ɩɨɞɝɨɬɨɜɥɟɧɵ 30 ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɜɨɩɪɨɫɨɜ ɢ 50 ɡɚɞɚɱ. ɋɬɭɞɟɧɬ ɉɚɜɥɨɜ ɜɵɭɱɢɥ ɬɨɥɶɤɨ 20 ɜɨɩɪɨɫɨɜ ɢ ɭɦɟɟɬ ɪɟɲɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ 30 ɡɚɞɚɱ. Ʉɚɤɨɜɚ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɨɧ ɫɞɚɫɬ ɷɤɡɚɦɟɧ ɧɚ ɨɬɥɢɱɧɨ, ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɧɚɞɨ ɩɪɚɜɢɥɶɧɨ ɨɬɜɟɬɢɬɶ ɧɚ ɞɜɚ ɜɨɩɪɨɫɚ ɢ ɪɟɲɢɬɶ ɬɪɢ ɡɚɞɚɱɢ, ɜɵɛɪɚɧɧɵɯ ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ.

ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ — ɫɥɭɱɚɣɧɵɦ ɨɛɪɚɡɨɦ ɫɬɭɞɟɧɬ ɜɵɛɢɪɚɟɬ 2 ɜɨɩɪɨɫɚ ɢ 3 ɡɚɞɚɱɢ.

ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ — ɫɬɭɞɟɧɬɭ ɩɨɩɚɞɚɸɬɫɹ 2 ɜɨɩɪɨɫɚ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɧ ɡɧɚɟɬ ɢ 3 ɡɚɞɚɱɢ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɧ ɭɦɟɟɬ ɪɟɲɚɬɶ.

ɑɢɫɥɨ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ n ɤɨɧɟɱɧɨ ɢ ɪɚɜɧɨ ɱɢɫɥɭ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɧɚɛɨɪɨɜ ɢɡ 2 ɜɨɩɪɨɫɨɜ ɢ 3 ɡɚɞɚɱ. ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɧɟ ɜɚɠɟɧ

ɩɨɪɹɞɨɤ ɜɵɛɨɪɚ, ɬɨ ɞɜɚ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɜɨɩɪɨɫɚ ɢɡ 30 ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ C302

ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ, ɚ ɬɪɢ ɡɚɞɚɱɢ ɢɡ 50 ɦɨɠɧɨ ɜɵɛɪɚɬɶ C503 . ɉɨ ɩɪɚɜɢɥɭ ɩɪɨɢɡɜɟ-

ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ C202 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɢ ɨɞɧɨɜɪɟɦɟɧɧɨ ɜɵɛɨɪ ɟɳɟ 3 ɡɚ-

ɞɚɱ ɢɡ 30 ɢɡɜɟɫɬɧɵɯ ɫɬɭɞɟɧɬɭ ɦɨɠɧɨ ɨɫɭɳɟɫɬɜɢɬɶ C303 ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. ɉɨ

89

ɩɪɚɜɢɥɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ, ɱɢɫɥɨ ɢɫɯɨɞɨɜ, ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ

ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜɵɛɨɪ ɫɥɭɱɚɟɧ, ɬɨ ɜɫɟ ɢɫɯɨɞɵ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵ ɢ ɩɪɢɦɟɧɢɦɨ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ:

Ƚɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɟ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ. ɉɭɫɬɶ ɩɪɨɜɨɞɢɬɫɹ ɨɩɵɬ ɫ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɵɦ ɱɢɫɥɨɦ ɪɚɜɧɨɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɢɫɯɨɞɨɜ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɛɪɨɫɚɟɬɫɹ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɭɸ ɨɛɥɚɫɬɶ D. Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɦɚɬɟɪɢɚɥɶɧɚɹ ɬɨɱɤɚ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɜ ɦɟɧɶɲɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ DA, ɤɨɬɨɪɚɹɰɟɥɢɤɨɦɧɚɯɨɞɢɬɫɹɜɨɛɥɚɫɬɢ D.

ɂɫɯɨɞɚɦɢ ɞɚɧɧɨɝɨ ɢɫɩɵɬɚɧɢɹ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɵ ɦɟɫɬɨɩɨɥɨɠɟɧɢɹ «ɛɪɨɲɟɧɧɨɣ» ɬɨɱɤɢ. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɨɛɥɚɫɬɶ D ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɢɫɯɨɞɨɜ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɝɨ ɨɩɵɬɚ. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɩɚɞɚɧɢɹ ɬɨɱɤɢ ɜ ɨɛɥɚɫɬɶ DA ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɮɨɪɦɵ ɢ ɦɟɫɬɨɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɨɛɥɚɫɬɢ DA ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ D, ɚ ɡɚɜɢɫɢɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ ɪɚɡɦɟɪɚ ɨɛɥɚɫɬɢ DA. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɨɛɵɬɢɹ Ⱥ ɜ ɞɚɧɧɨɦ ɢɫɩɵɬɚɧɢɢ ɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹ ɩɨ ɮɨɪɦɭɥɟ:

P(A) DDA ,

ɝɞɟ DA — ɦɟɪɚ ɬɨɣ ɱɚɫɬɢ ɨɛɥɚɫɬɢ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɟɬ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ; D — ɦɟɪɚ ɜɫɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ (ɞɥɢɧɚ, ɩɥɨɳɚɞɶ, ɨɛɴɟɦ).

ɉɪɢɦɟɪ 41. ɉɨ ɪɚɣɨɧɭ ɩɪɨɬɢɜɧɢɤɚ, ɤɨɬɨɪɵɣ ɢɦɟɟɬ ɮɨɪɦɭ ɷɥɥɢɩɫɚ ɫ ɩɨɥɭɨɫɹɦɢ 7 ɤɦ ɢ 10 ɤɦ ɧɚɧɨɫɢɬɫɹ ɭɞɚɪ ɪɚɤɟɬɨɣ. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɦ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɱɬɨ ɷɩɢɰɟɧɬɪ ɩɥɨɳɚɞɶɸ 4×3 ɤɦ ɜɡɪɵɜɚ ɨɤɚɠɟɬɫɹ ɧɚɞ ɬɚɧɤɨɜɵɦ ɩɨɞɪɚɡɞɟɥɟɧɢɟɦ.

ɂɫɩɵɬɚɧɢɟ — ɧɚɧɨɫɢɬɫɹ ɭɞɚɪ ɪɚɤɟɬɨɣ ɩɨ ɪɚɣɨɧɭ ɩɪɨɬɢɜɧɢɤɚ. ɋɨɛɵɬɢɟ Ⱥ — ɷɩɢɰɟɧɬɪ ɜɡɪɵɜɚ ɨɤɚɡɚɥɫɹ ɧɚɞ ɬɚɧɤɨɜɵɦ ɩɨɞɪɚɡɞɟ-

ɥɟɧɢɟɦ.

ȼɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶɫɨɛɵɬɢɹȺɜɞɚɧɧɨɦɢɫɩɵɬɚɧɢɢɜɵɱɢɫɥɹɟɬɫɹɩɨɮɨɪɦɭɥɟ:

P(A) DDA ,

ɝɞɟ DA Sɩɪɹɦɨɭɝ — ɦɟɪɚ ɬɨɣ ɱɚɫɬɢ ɨɛɥɚɫɬɢ (ɩɥɨɳɚɞɶ ɬɚɧɤɨɜɨɝɨ ɩɨɞɪɚɡɞɟɥɟɧɢɹ), ɤɨɬɨɪɚɹ ɛɥɚɝɨɩɪɢɹɬɫɬɜɭɟɬ ɫɨɛɵɬɢɸ Ⱥ.

D Sɷɥɥɢɩɫɚ — ɦɟɪɚ ɜɫɟɣ ɨɛɥɚɫɬɢ (ɩɥɨɳɚɞɶ ɪɚɣɨɧɚ ɩɪɨɬɢɜɧɢɤɚ) (ɪɢɫ.

4.6):

90