Математика дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называ-

ется функция y x;c , содержащая одну произвольную постоянную c, обращающая для любого фиксированного значения c дифференциальное уравнение в тождество, причем, любое частное решение из вышеупомянутой совокупности решений может быть получено из общего решения при некотором конкретном значении c.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка

называется любая функция y x;c0 , полученная из общего решения y x;c при конкретномзначениипостоянной c c0.

Часто общее решение дифференциального уравнения может быть получено только в неявном виде, т. е. в виде уравнения Ф x;y;c 0, которое называется

общим интегралом дифференциального уравнения.

С геометрической точки зрения общее решение y x;c представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Oxy. Частное решение y x;c0 соответствует одной кривая из этого семейства. Для выделения конкретной кривой используется точка x0;y0 , принадлежащая кривой. В этом случае говорят о начальном условии y0 x0 , которому удовлетворяет данное частное решение. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию,

называется задачей Коши.

Интегральная кривая, проходящая через точку x0,y0 , единственна.

1.2.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида

P x dx Q y dy 0,

где каждая из функций P x и Q y зависит только от одной переменной. Такие дифференциальные уравнения называют уравнениями с разделенными перемен-

P x dx Q y dy c - его общий интеграл.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными имеют вид

P1 x Q1 y dx P2 x Q2 y dy 0.

Уравнение легко сводится к предыдущему уравнению путем почленного деления его на Q1 y P2 x , после чего может быть получен общий интеграл:

При проведении почленного деления дифференциального уравнения на Q1 y P2 x могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно

5

решить уравнение Q1 y P2 x 0 и найти особые решения дифференциального уравнения, которые не принадлежат семейству общего решения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения dy y. dx x

Решение. Разделим переменные dy dx. Интегрируя, находим

чаем общее решение: у = С/x.

являются решениями данного дифференциального уравнения, но не входят в общий интеграл. Значит, решения x 0, y 0 являются особыми.

Уравнение y f1 x f2 y также сводится к уравнению с разделенными пе-

ременными. Для этого достаточно положить y dy и разделить переменные. dx

1.2.2. Однородные уравнения первого порядка

Функция f x,y называется однородной функцией n-го порядка относи-

Дифференциальное уравнение y f x;y называется однородным, если функция f x;y есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Если f x;y - однородная функция

порядка зависит только от отношения y . Поэтому сделаем подстановкуu y ,

то есть y ux. Дифференцирование последнего равенства дает dy u du x. dx dx

Подставляя производную в уравнение, получим дифференциальное уравнение с

Возвращаясь после интегрирования к исходной функции y ux , получим интеграл уравнения.

Однородное дифференциальное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P x;y dx Q x;y dy 0. В этом случае функции P x;y и Q x;y должны быть однородными функциями одинакового порядка. Дифференциаль-

ное уравнение переписывается в виде dy P x;y , где правая часть является dx Q x;y

однородной функцией нулевого порядка однородности.

Пример. Найти общий интеграл уравнения x2 y2 dx 2xydy 0. Решение. Данное уравнение является однородным, так как. функции

P x;y x2 y2 и Q x;y 2xy - однородные функции второго порядка. Положим y ux. Тогда dy xdu udx. Подставляем в исходное уравне-

ние:

x2 u2x2 dx 2xux xdu udx 0, x2 1 u2 2u2 dx 2ux3du 0,1 u2 dx 2uxdu 0.

уравнения.

7

1.2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка называется ли-

нейное относительно неизвестной функции и ее производной уравнение, имеющее вид

dy P(x)y Q(x), dx

где P(x) и Q(x)- заданные непрерывные функции или постоянные. Рассмотрим метод Бернулли интегрирования данного уравнения. Решение

линейного дифференциального уравнения ищется в виде произведения двух не-

8

Решение. Положим y=uv, тогда y uv vu и u v vtgx vu cos2 x. Определим v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда

u cos x dx sin x c . Отсюда y uv cosx sinx c .

Используя начальное условие y 0 1, найдем 1 cos0 sin0 c , откуда c 1. Искомое частное решение будет иметь вид y cosx(sin x 1).

1.3. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются диффе-

ренциальными уравнениями высших порядков.

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае записываются в виде

F x,y,y ,y 0

или в виде, разрешенном относительно старшей производной, y f x,y,y .

9

Для уравнений, разрешенных относительно старшей производной, имеет место теорема о существовании и единственности решения, аналогичная соответствующей теореме о решении уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка назы-

вается функция y (x,C1,C2), зависящая от произвольных постоянных C1,C2,

удовлетворяющая уравнению при любых значениях постоянных C1,C2, причем

условиям. Всякая функция, получающаяся из общего решения при конкретных

Если нельзя получить явную зависимость в общем решении, то ограничи-

ваются ответом в виде общего интеграла дифференциального равнения второго порядка Ф(x,C1,C2) 0.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным

условиям y x x0 y0, y x x0 y0, называется задачей Коши. Решение задачи Коши единственно.

1.3.1. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений выс-

ших порядков является метод понижения порядка.

Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка. 1. Пусть дано уравнение y f x .

Порядок понижается посредством введения новой функции y p x . То-

гда, используя y p x , получаем дифференциальное уравнение первого порядка p f x , решив которое, получим общее решение уравнения первого по-

рядка p p x,C1 . Решая уравнение y p x,C1 , получим общее решение за-

данного уравнения y p(x,C1)dx C2 .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y cosx.

Решение. Полагая y p x , преобразуем уравнение к виду p cosx.

Интегрируя, имеем dp cos xdx или p sinx C1. Возвращаясь к переменной

у, приходим к уравнению y sinx C1. Следовательно,

y sin x C1 dx cos x C1x C2 .

10