Математика дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

3.y 2y ex(2sin x 3cos x).

4.y 6y 13y e 2x cosx.

5.2y 5y 11xcosx.

6.y 3y 2y ex(3 4x).

7.y 2y ex(x2 2x 3).

8.y 2y 5y 2cos3x.

9.y 4y 8y ex(5sin x 3cosx).

10.y 4y 5y 4ex cos x.

2

11.y 9y xcos2x sin 2x.

12.y 6y 9y (x2 1)e4x.

13.y 16y 64y (2x 3)e8x.

14.y 3y 10y sin x 3cosx.

15.y 3y 2y e3x(x2 x).

16.y 4y 3y (20x 14)e2x.

17.y 18y 90y e 9x(x2 1).

18.y 10y 21y (x2 3x 2)e 7x.

19.y 4y xcos2x 3sin 2x.

20.y 4y 53y e 2x(cos3x sin3x).

21.y 4y 3y (4x 3)ex.

22.y 5y cos3x xsin3x.

23.y 6y 9y (x2 1)e2x.

24.y 16y 64y (5 3x)e8x.

25.y 3y 10y sin x 3cosx.

Задача №5

Методом исключения найти общее решение системы дифференциальных уравнений

32

34

2.РЯДЫ

2.1.Понятие числового ряда

Вразличных разделах математики, а так же во многих ее приложениях используются ряды, являющиеся важным математическим аппаратом, применяемым для вычислений.

Дадим определение числового ряда.

Пусть дана числовая последовательность a1, a2, a3, , an, Выражение

вида

называется числовым рядом или просто рядом.

Числа a1, a2, ,an, называются членами ряда, член an с произвольным

номером общим членом ряда.

Суммы конечного числа членов ряда

S1 a1,S2 a1 a2,S3 a1 a2 a3, ,

Sn a1 a2 a3 an,

называются частичными суммами ряда (2.1). Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм

S1,S2,S3, ,Sn, (2.2)

Ряд (2.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (2.2) сходится к какому-нибудь числу S, которое в этом случае называется суммой ряда (2.1). Символически это записывается так:

Другими словами, на сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.

Над сходящимися рядами можно выполнять обычные арифметические действия.

Теорема 2. Если ряд an сходится и его сумма равна S, то и ряд

n 1

can , где с некоторое число, также сходится, и его сумма равна cS.

n 1

Теорема 3. Если ряды an и bn сходятся и их суммы соответ-

Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.

При рассмотрении рядов возникают две задачи: 1) исследовать ряд на сходимость и 2) зная, что ряд сходится, найти его сумму. Будем решать в основном первую задачу, имеющую теоретический характер. Приведем необхо-

димое условие сходимости рядов.

Теорема 4. Если ряд an сходится, то его общий член стремится к ну-

n 1

лю, то есть lim an 0.

n

Условие lim an 0 является необходимым, но не достаточным условием

n

сходимости ряда.

Если общий член ряда стремится к нулю, то еще нельзя сделать вывод о сходимости ряда. Необходимо дополнительное исследование, которое может быть проведено с помощью достаточных условий (признаков) сходимости ряда.

Если же для некоторого ряда его общий член не стремится к нулю, то теорема 4 позволяет сразу сказать, что такой ряд расходится.

2.2. Ряды с неотрицательными членами

Сформулируем теорему, которая будет использована в последующих рассуждениях.

36

Теорема 5. Для того чтобы ряд an с неотрицательными членами

n 1

сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена.

Установим ряд признаков, позволяющих сделать вывод о сходимости (расходимости) рассматриваемого ряда.

Теорема 6 (признак сравнения I). Пусть даны два ряда с неотрицатель-

ными членами an и bn и для всех n выполняется неравенство an bn. То-

гда из сходимости ряда bn следует сходимость ряда an , а из расходимо-

сходятся, либо одновременно расходятся.

Существуют признаки сходимости рядов, позволяющие непосредственно судить о сходимости (или расходимости) данного ряда, не сравнивая его с другим рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Рассмотрим два из них.

n an

ся; б) при 1 ряд расходится.

37

Заметим, что этот ряд отличается от гармонического ряда только знаками чётных членов.

Пример. Установим, сходится или расходится ряд

2.4. Абсолютная и условная сходимость рядов

Рассмотрим теперь ряды с членами произвольных знаков. Такие ряды называются знакопеременными рядами.

Возьмем какой-нибудь знакопеременный ряд

где числа a1, a2, a3, , an, могут быть как положительными, так и отрицательными, причем расположение положительных и отрицательных членов в ряде произвольно. Одновременно рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (2.6):

Для знакопеременных рядов имеет место следующий признак сходимо-

сти.

Теорема 10. Если ряд (2.7) сходится, то сходится и ряд (2.6).

Пример. Ряд

1 1 1 1 1 1 1 22 32 42 52 62 72

согласно доказанному признаку сходится, так как сходится ряд, составленный

Рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходимым, так как существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из абсолютных величин их членов,

39

расходятся. Так, например, ряд ( 1)n 1 1 согласно признаку Лейбница схо- n

n 1

дится, а ряд 1n составленный из абсолютных величин его членов, расходит-

n 1

ся (гармонический ряд).

Поэтому все сходящиеся ряды можно разделить на абсолютно и условно сходящиеся.

Кабсолютно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, также сходятся.

Кусловно сходящимся рядам относятся сходящиеся ряды, для которых ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

(Оба ряда геометрические. прогрессии со знаменателями, соответственно

сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный из абсолютных величин,

Для условно сходящихся рядов сумма ряда не равна сумме положительных и сумме отрицательных членов ряда, как это имеет место для абсолютно сходящихся рядов.

2.5. Степенные ряды

Ряд вида

ряда.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество тех значений х, при которых ряд (2.8) сходится, называется областью его сходимости. Любой степенной ряд сходится при x 0.

Для определения сходимости степенного ряда используют теорему Абе-

ля.

40