Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать сходимость числовых рядов.

1.,

n 1n3 4

		n 1 !
4.		n 1 !								,
4.			7		n					,
n 1					n
n 1
										1 n
7.		arcsin										,
7.		arcsin										,
n 1										n
			2n 1								n/2
			2n 1
10.												,
10.												,
			3n 1
	n 1
						3
13.				n					,
13.				2n !					,
	n 1
				n		n
16.				n				,
16.								,
				3nn!
	n 1
				n
19.			5				,
19.				n!			,
	n 1

				n
2.		3								,
2.		2				n				,
n 1n		2
					4n 3
5.					4n 3							,


	n 1						n 3n
										1
8.										1	,
8.						nln n					,
	n 2					nln n
	n 2
								1
11.								1			,
					3
					3				ln n
n 2 n									ln n

							n 1
14.							n 1				,
14.					4					n	,
	n 1									n
	n 1
					1 n 1 n2
17.
17.			3n
			3n					n
	n 1

20.n .

2n 1

n 1

		1
3.				,
	3
		(2n 3)	2
n 1

6. 3n 1 , n 1n 2n

9. n3 , n 12n

			n 1
12.		3			,
12.			n!		,
n 1
						1
15.						1		,
15.				n				,
	n 1 ln			n		(1 n)
	n 1 ln					(1 n)
				n
, 18.				n			,
, 18.			(n 2)3				,
			(n 2)3
	n 1

Выяснить какие из заданных рядов сходятся абсолютно, какие не абсолютно, какие расходятся.

									1														1			1									1
21.			1 n						1						,	22.			1 n 1				1			1	,		23.		1 n				1			,
21.			1 n				(2n 1)						2		,	22.			1 n 1							n	,		23.		1 n							,
		n 1					(2n 1)													n 1				n 2							n 1				ln n
							1														n 1												1
24.			1 n				1			,		25.				1 n 1					n 1		,			26.					1 n		1		,
							5			,		25.										n
							5																											n
		n 1						n									n 1													n 1				n
						n 1 n3														n 1 2n2
27.			1								,			28. 1											.
27.			1				2		n		,			28. 1								n!			.
		n 1					2										n 1					n!
Найти область сходимости функциональных рядов.
29. 1 x xn ,																	30. lnx ln2						x lnn x ,
31.		x x4				xn2									,			32. x				x2						xn		,		33.x				x	2		x	n	,
31.		x x4				xn2									,			32. x												,		33.x									,
		1					1									1					22							n2							2					n
34.		1					1									1				,		35. 2x 6x2 n(n 1)xn ,
34.																1 xn				,		35. 2x 6x2 n(n 1)xn ,
	1 x				1 x2									xn		1 xn																xn
36.		x		x2										xn			,			37.		x				x2						xn		.
36.																	,			37.						1 x4								.
		2 2 2										n n									1 x2					1 x4					1 x2n
																					51

Найти интервал сходимости степенного ряда.

xn,

38.

39.

xn,

40.

n 1

n(n 1)

3n 2

n 1 3

n 1

xn,

41.

42.

43.

n 1 nn

n 1

2n 1

xn, 45.

xn,

44.

xn, 46.

n 1

n 1 (2n 1) 3n

n 1 n n

xn,

xn ,

xn,

47.

48.

49.

n 1

n 1 n

n 1

n 1 n

n 1

xn,

n 2

xn,

50.

51.

52.

n 1

n 1 n 3 3n

n 1

n 1 n

10n

n 1 2

53.

xn,

54.

xn,

55.

xn,56.

xn.

n 1

n 1 2n

2n 1

n 1 5n 3n

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в ряд и затем проинтегрировав его почленно.

	0.1				x								0.5		1 cos				x		1				2								1		sin			2
57.				e			dx,					58.			1 cos				x	dx ,	59. cos					x		dx,				60.			sin		x		dx,
57.				x			dx,					58.			2					dx ,	59. cos					2		dx,				60.				3			dx,
	0.01													0		x					0												0.5 x
	1	arctgx												0.5							0.25												0.5	x arctg						x
61.								dx,					62.		1 x3dx,						63.	ln(1								)dx,		64.									dx,
																													x
																													x					2
	0.5				x									0								0											0			x
	0.5													0								0											0
	0.5				1									0.25							0.1e x 1													1
					1									arctg							0.1e x 1
65.									dx		,		66.						x dx,		67.										dx ,	68.					x sin xdx,
65.				x	4				dx		,		66.						x dx,		67.					x					dx ,	68.					x sin xdx,
	0			x		1								0								0												0
	0.5		ln(1 x)											1								1		sin x									0.5
																																	ln(1 x2)dx ,
69.													70. cos3 x dx,								71.											72.
										dx ,																	dx,
						x				dx ,															x		dx,
	0													0								0											0
	1	e x2 /4dx,													0.25							0.5												0.5				1
	1														0.25			e xdx,				0.5			31 x2 dx ,									0.5
73.													74.				x				75.											76.										dx.
73.													74.				x				75.											76.					x	5				dx.
	0														0								0											0			x		1
	0														0								0											0

Ответы

1.Расходится. 2. Расходится. 3. Расходится. 4. Расходится. 5. Сходится.

6.Сходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Сходится. 10. Сходится.

11. Расходится. 12. Сходится. 13. Сходится. 14. Сходится. 15. Сходится. 16. Сходится. 17. Сходится. 18. Сходится. 19. Сходится. 20. Сходится. 21. Сходится абсолютно. 22. Сходится абсолютно. 23. Сходится условно. 24. Сходится условно.

25. Расходится. 26. Сходится условно. 27. Сходится абсолютно.																										28. Расходится.
29.	1 x 1.	30.				1		x e.								31. 1 x 1.			32. 1 x 1.		33.		1 x 1,
29.	1 x 1.	30.						x e.								31. 1 x 1.			32. 1 x 1.		33.		1 x 1,
							e
34.	x 1 и	x 1.					35. 1 x 1. 36. 1 x 1. 37.													x 1. 38.		[ 3;3). 39. [ 1;1].
			1		1
40.	( 1;1). 41.		1		1			. 42.	( ; ). 43.										44. ( ; ). 45.					3			3		46. [ 1;1].
				;														( ; ).								;		.
			3	;	3													( ; ).				2				;		.
			3		3																	2			2
47.	( 1;1). 48.	[ 3;3].						49.		1		;		1		. 50.		( ; ). 51. ( 3;3). 562.			( ; ). 53.										1	;	1	.
47.	( 1;1). 48.	[ 3;3].						49.				;				. 50.		( ; ). 51. ( 3;3). 562.			( ; ). 53.											;		.
									2					2																10 10
54.	( 2;2) . 55.	[ 2;2).						56.			5		;		5		. 57. 2.215. 58. 0.248. 59. 0.975. 60. 0.654. 61. 0.487.
54.	( 2;2) . 55.	[ 2;2).						56.					;				. 57. 2.215. 58. 0.248. 59. 0.975. 60. 0.654. 61. 0.487.
									7					7
62.	0.508. 63. 0.070. 64. 0.039.															65. 0.49. 66. 0.079. 67. 0.0975.						68. 0.36. 69. 0.449.
70.	0.718. 71. 0.946. 72. 0.039. 73. 0.92. 74. 0.072. 75. 0.513. 76. 0.497.

Индивидуальные задания

Задача №1

Исследуйте сходимость числового ряда.

n 1

6. n 2

n 1

n3 4

3(2n 3)2

4n 3. n3n

arcsin 1n n .

n3lnn

n3 .

(2n)!

1 . ln(1 n)

(n 1)!. 3n

		3		n
11.						.
		2		2	n
	n 1	n
			(n 1)!
12.							.

	n 1			7n

3n 1

13..

	n 1						n2n
						n				n .
14.						n
14.						2n 1
n 1
						2n 1					n / 2
						2n 1					n / 2
15.											.
15.						3n 1					.
	n 1
		3			n 1
16.		3						.
16.								.
n 1					n!
n 1

						n 1
17.						n 1					.
17.						n					.
	n 1				4
				n			2
18.				n					.
18.									.
	n 1		3n n!
								n
19.								n
19.											3
	n 1			(n 2)

	5	n			1
10.			.	20.		.

n 1	n!			n 2	nlnn

Задача №2

Найдите область сходимости степенного ряда.

xn .

n 1

2 .

xn.

n 1

3n 2

xn .

n 1

2n 1

xn .

n 1

xn.

n n

n 1

xn .

n23n

n 1

7.n xn .

n 1

xn .

n 1

(2n)!

xn.

n 1

10.

xn.

n 1

2n 1

11.

xn .

n(n 1)

n 1

12.

xn .

3 n

n 1

13.

xn .

n 1

14.

xn.

n 1

(2n 1)3n

15.

xn .

n 1

16.

xn .

n(n 1)

n 1

n 2

17.

xn .

(n 3)3n

n 1

18.

xn.

n 1 2n

19.

xn .

n 1

20.

xn.

n 1

Задача № 3

Вычислите приближенно определенный интеграл, взяв шесть первых слагаемых разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена и затем проинтегрировав их почленно

	0,1	e2x 1		0,5	1 cosx
1.		e2x 1	dx.	11.	1 cosx	dx.
1.		x	dx.	11.	x2	dx.
	0			0
				54

	1	2
2.		cos		x	dx .
2.		cos		2	dx .
	0
	0,5		arctgx
3.			arctgx		dx .
3.			x		dx .
	0

0,25

4.			ln(1 x3) dx.
	0
	0,5					1
5.						1			dx.
5.				x4 1					dx.
	0
	0,1		e			x
6.			e			1			dx.
6.						x			dx.
	0
	0,5		ln(1 x)
7.			ln(1 x)							dx.
7.					x					dx.
	0
	1				sin		x
8.					sin		x	dx.
8.					x			dx.
	0
	1	e x2
9.		e x2					4		dx.
	0

0,5

10. 31 x2 dx.

	1		sinx2
12.			sinx2	dx.
12.			x	dx.
	0,5
	0,5
13.			1 x3	dx.
	0
	0,5	x arctgx
14.		x arctgx			dx.
14.			x2		dx.
	0
	0,25
15.		arctg2x dx.
	0
	1

16.

17.

0,5

18.

0,5

19.

0,5

20.

xsin2x dx.

xcosx dx.

ln(1 x2) dx.

ex2

dx.

1dx.

x5 1

3.СОБЫТИЕ И ВЕРОЯТНОСТЬ

3.1.Основные понятия. Определение вероятности

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Испытаниями, например, являются бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости(кубикаснанесенныминакаждуюграньчисломочков отодногодошести).

Результат, исход испытания, называется событием. Событиями являются выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости.

Для обозначения событий используют большие буквы латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Определение. Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание однократное бросание игральной кости. Событие А появление четырех очков. Событие В появление четного числа очков. События А и Всовместимые.

Определение. Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример. Испытание однократное бросание монеты. Событие А выпадение герба, событие В выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.

Пример. Испытание однократное бросание игральной кости. Пусть события A1, А2, А3, А4, А5, А6 соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.

Определение. Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит.

Событие,противоположноесобытиюА,обозначаютчерез А.

Пример. Испытание бросание монеты. Событие А выпадение герба, событие В выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появ-

ление другого, т.е. А = В или А = В.

Определение. Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти.

Пример. Испытание извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А вынут белый шар достоверное событие; событие В вынут черный шар невозможное событие.

Заметим, что достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

U1,U2, ,U

Определение. Событие А называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Пример. Событие А6 выпадение шести очков при бросании игральной кости случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.

Пример. Событие A98 прорастание девяноста восьми зерен пшеницы из ста случайное. Это событие может наступить, но, может быть, прорастет зерен больше или меньше.

Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту возможность некоторым числом?

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов − результатов испытания, т.е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

Определение. Говорят, что совокупность событий образует полную группу событий для данного испытания, если его результатом обязательно становится хотя бы одно из них.

Приведем примеры полных групп событий: выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков при одном бросании игральной кости.

Рассмотрим полную группу попарно несовместимых событий n, связанную с некоторым испытанием. Предположим, что в этом

испытании осуществление каждого

из событий Ui(i= 1,2, ..., п) равновозможно, то есть условия испытания не создают преимущества в появлении какого-либо события перед другими возможными.

Определение. События U1,U2, ,Un, образующие полную группу попарно несовместимых и равновозможных событий, будем называть элементарны-

ми событиями.

Пример. Вернемся к опыту с подбрасыванием игральной кости. Пусть Uiсобытие, состоящее в том, что кость выпала гранью с цифрой i. Как уже отмечалось, события 6образуют полную группу попарно несовместимых событий. Так как кость предполагается однородной и симметричной, то события U1,U2, ,U6являются и равновозможными, то есть элементарными.

Определение. Событие А называют благоприятствующим событию В, если наступление события А влечет за собой наступление события В.

Пример. Пусть при бросании игральной кости события U2,U4, U6 появ-

ление соответственно двух, четырех и шести очков и А событие, состоящее в появлении четного числа очков; события U2,U4, U6 благоприятствуют событию

А.

Определение (классическое определение вероятности).

Вероятностью Р(А) события А называют отношение m числа элементар-

ных событий, благоприятствующих событию А, к числу всех элементарных со-

бытий, то естьP(A) m .

Пример. Вычислим вероятность выпадения герба при одном бросании монеты.

Решение. Очевидно, событие А выпадение герба и событие В выпадение цифры образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий для данного испытания. Значит, здесь п = 2. Событию А благоприятствует

лишь одно событие само A, то есть здесь т = 1. Поэтому P(A) 1 .

			2
Пример. Очевидно, что в опыте с игральной костью
P(Ui )	1	,	i 1, 2, , 6.

6

Пример. Найти вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет число очков,делящееся на2 (событиеА).

Решение. Число элементарных событий здесь 6. Число благоприятствующих

элементарных событий 3 (выпадение 2, 4и 6).ПоэтомуP(A) 3 1 .

6 2

Из приведенного классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства.

1 . Вероятность достоверного события равна единице. Действительно,

достоверному событию должны благоприятствовать все п элементарных собы-

тий, то есть т = п и, следовательно,P(A) m n 1.

n n

2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле, не-

возможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, то есть т = 0, откудаP(A) m 0 0.

3.Вероятность случайного события есть положительное число, заклю-

ченное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий. Поэтому в этом случае 0 < т <пи, значит,

0 m 1. Следовательно, 0 < Р(А) < 1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

0 P(A) 1.

Классическое определение вероятности не является пригодным для изучения произвольных случайных событий. Так, оно неприемлемо, если результаты испытания не равновозможны. Например, при бросании неправильной игральной кости выпадение ее различных граней не равновозможно.

В таких случаях используется, так называемое, статистическое определение вероятности.

Пусть произведено п испытаний, при этом некоторое событие А наступило т раз (m п).

Определение. Число т называют абсолютной частотой (или просто ча-

стотой) события А, а отношениеР*(А) m называют относительной частотой

события А.		n

Пример. При транспортировке из 10 000 арбузов испортилось 26.
Здесь		т= 26 абсолютная частота испорченных арбузов, а
Р*(А)	26	0.0026 относительная.

10000

Результаты многочисленных опытов и наблюдений помогают заключить: при проведении серий из п испытаний, когда число n сравнительно мало, относительная частота Р*(А) принимает значения, которые могут довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением п числа испытаний в сериях от-

носительная	частотаР*(А)	m	приближается	к	некоторому	числу

		n

Р(А),стабилизируясь возле него и принимая все более устойчивые значения. Пример. Было проведено 10 серий бросаний монеты, по 1000 бросаний в

каждой. Относительные частоты выпадения герба оказались равными 0.501; 0.485; 0.509; 0.536; 0.485; 0.488; 0.500; 0.497; 0.494; 0.484. Эти частоты группи-

руются около числа 0.5.

Определение (статистическое определение вероятности). Вероятностью события А в данном испытании называют число Р(А),около которого группируются значения относительной частоты при больших п.

В условиях только что приведенного примера, указанная вероятность равна 0.5.

Пример. По официальным данным шведской статистики относительные частоты рождения девочек по месяцам 1935 г. характеризуются следующими числами (расположены в порядке следования месяцев, начиная с января): 0.486; 0.489; 0.490; 0.471; 0.478; 0.482; 0.462; 0.484; 0.485; 0.491; 0.482; 0.473. Эти ча-

стоты группируются около числа 0.482.

Таким образом, относительная частота события приближенно совпадает с его вероятностью, если число испытаний достаточно велико.

Пример. Чтобы знать, какова вероятность для данного станка изготовить годную деталь, поступают так: проверяют одну или несколько партий деталей, изготовленных станком, подсчитывают число годных деталей, вычисляют относительную частоту и в соответствии с определением вероятность принимают равной этой частоте. Допустим, при проверке партии из 200 деталей 190 оказались годными. Тогда вероятность наудачу выбранной детали быть годной

Р190 0.95. 200

Р3 3! 3 2 1 6

Вероятность найдена приближенно, так как 0.95 это относительная ча-

стота.

Аналогичным образом поступают, например, при определении процента всхожести семян.

3.2. Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика − раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Как при решении задач с использованием классического определения вероятности, так и в дальнейшем нам понадобятся некоторые формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Определение. Размещениями из п различных элементов по т элементов (m n) называют комбинации, составленные из данных п элементов по т элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.

Например, из трех элементов a, b, с можно составить по два элемента следующие размещения:

ab, ас, bс, ba, ca, cb.

Число различных размещений из п элементов по т элементов определяется с помощью формулы

Аnm n(n 1)(n 2) (n m 1).

Пример. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Решение. Искомое число сигналов А62 6 5 30.

Определение. Перестановками из п различных элементов называют размещения из этих п элементов по п.

Как видно из определений, перестановки можно считать частным случаем размещений при т = п. Следовательно, число всех перестановок из п элементов вычисляется по формуле

Рn n(n 1)(n 2) 3 2 1 n!

Пример. Для лечения заболевания применяют три лекарства. Полагают, что последовательность, в которой применяют лекарства, оказывает существенное влияние на результат лечения. Сколько имеется различных порядков назначения этих лекарств?

Решение. Имеется различных порядков назначения трех лекарств.

Определение. Сочетаниями из п различных элементов по т элементов называются комбинации, составленные из данных п элементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]