Математика дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

C e

0 C

e0

sin0 1;

или

C1 C2 1;

1

2

e0

cos0 2,

C e0

2C

C1 2C2 1 2.

1

2

неизвестными функциями c1 x

и c1 x и подберем их так, чтобы функция

y c1 x y1 x c2 x y2 x

была решением исходного неоднородного диф-

y a1 x y a2 x y 0,

то выражения в квадратных скобках равны нулю, а по-

x f x .

этому c1

x y1 x c2 x y2

Функция

y c1 x y1 x c2 x y2 x

будет частным решением уравнения

y a1 x y a2 x y f x ,

если

функции

c1 x и c2 x удовлетворяют системе

уравнений:

c

x y x c

x y

x 0,

2

1

1

2

c1

x y1 x c2

x y2 x f x .

Определитель системы

y1 x

y2 x

0, так как является определителем

y1 x

y2 x

частных решений y1 x и

y2 x одно-

Вронского для фундаментальной

системы

2 x , где

c1 x

и

c2 x

имеет единственное решение:

c1 x 1 x

и c2 x

1 x

и 1 x - некоторые функции от х. Интегрирование функции 1 x

и 1 x

позволяет найти c1 x и c2 x . По формуле

y c1 x y1 x c2 x y2 x составля-

ем частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения y y

1

.

Решение.

yoo

cosx

Найдем общее решение

соответствующего

однородного

уравнения

y y 0,

составляя

характеристическое

уравнение

k2 1 0,

k i, k

2

i. Следовательно,

y

oo

c cosx c

2

sin x. Частное реше-

1

1

ние yчн

исходного уравнения ищется в виде yчн c1 x cosx c2 x sin x. Для

нахождения c1 x и c2 x составляем систему уравнения:

с

x cosx c x sin x 0,

1

2

1

.

c1 x sin x c2 x cosx

cosx

тели:

Вычисляем главный определитель системы и дополнительные определи-

cosx

sin x

cos2

x sin2 x 1,

sin x cosx

1

0

sin x

2

cosx

0

1.

1

cosx

tgx,

sin x

1

cosx

cosx

Следуя методу Крамера, находим

c1 x

1

tgx, c1 x tgx dx lncosx

,

c2 x

2

1, c2 x dx x.

Запишем частное решение данного уравнения: yчн ln

cosx

cosx xsinx,

что позволяет

записать общее

решение

уравнения

y y

1

в виде

cosx

dy

f (x, y,z),

dx

(1.1)

dz

g(x, y,z),

dx

d2 y

f

f

f

f

g.

(1.2)

dx2

x

y

z

Определяя z из первого уравнения системы и подставляя найденное вы-

ражение

dy

(1.3)

z x,y,

dx

y x,C1,C2 ,

(1.4)

где C1

и C2 произвольные постоянные. Подставляя найденную функцию в

выражение (1.3),

определяем функцию

z. Совокупность формул (1.3)

и (1.4),

где y заменено на , дает общее решение системы уравнений.

Задача Коши для системы состоит в том, чтобы найти такое решение си-

стемы,

которое

при

x x0 принимало

бы

заданные

значения:

y x0 y0, z x0 z0.

dy

z ex,

Пример. Решить задачу Коши для системы dx

dz

y 1,

y(0) z(0) 0.

dx

dy

x

Решение. Выразим из первого уравнения z

через y

и x:

z

e

. По-

dx

сле

подстановки

этого

выражения

во второе уравнение

будем

иметь

d2y

y ex 1. Следовательно, для нахождения неизвестной функции

y по-

dx2

Тогда z

dy

ex

C ex

C

2

e x

1

ex

1.

2

dx

1

23

начальные

условия, получим для определения

постоянных C1 и

C2 уравне-

ния C C

2

1 0,

C C

2

3

0, откуда

C

1 , C

2

1. Таким образом,

1

2

1

2

1

2

решением данной задачи Коши являются функции y ex e x x,

z ex 1.

1.

xy y 0.

2. xy y 0.

3.

yy x 0.

4. y y.

2

Найти общие решения уравнений:

5.

x

y y 0.

6.

x xy y(y xy) 0.

7.

(1 y

2

)dx (1 x

2

)dy

8.

y

xy

1 x

2

y .

9.

(xy2 x)dx (y x2y)dy 0.

10. (1 2y)xdx (1 x2)dy 0.

11.

xy(1 x2)y 1 y2.

12.

ey(1 x2)dy 2x(1 ey)dx 0.

18. xy

y

,

y0 1 при x0

e.

ln x

21.

(1 y2)dx xydy 0,

y0 1 при x0

2.

22.

2

1 при x0 0.

ydx dy, y0

23.(2x 1)dy y2dx 0,

y0 1 при x0 4.

Найти общие решения уравнений:

24. y y ex.

25. y x y.

26. y x2y x2.

27. xy y 3.

28.

xy y ex.

29.

y

3y

x.

30. y 2xy 2xe x2 .

1 2x

x

31. y

x2

y 1.

32. y

y cosx.

33. y

cosx ysin x sin2x.

34.

xy y ln x 1.

35. y

2y

e x2

36. y ytgx ctgx.

.

x

x

ex(x 2)

37. y ycosx sin2x.

38. xy 2y x2.

39. y

2

y

.

x

x

Решить уравнения Бернулли:

x2

2

.

41. y

xy y

3

e

42. y

y xy

3

.

40. y x y xy

.

43. y x3y3

xy.

44.x2y y2

xy.

45.xy y y2 lnx.

46. y xy xy3.

47.xy 2y x5y2.

Найти общие решения уравнений:

y

48.

y xe x. 49.

y 2sinx cos2 x sin3 x.

50.

y ln x.

51. y 3

x.

y

x

xy

(1 x

2

)y

xy

54.(1 x

2

2

52.

ln .

53.

2.

1 0.

y

)y

(y)

2

x

2

2

2

55.

yy

2y

0.

0.

57.

yy

y

y

ln y.

56. y

(2y 3) 2y

58.

2

.

59. 2yy

2

4y

2

.

y

(1 y) y

y

3(y )

Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным

начальным условиям:

60.

2

,

y(0) 1,

y

(x

1) 2xy

y (0) 3.

61.

2

,

y(2) 2,

y

xy

x(y)

y 0

(2) 1.

62.

y

y

x2

y(2) 0,

,

x

y

y

(2) 4.

63.

3y

2

,

y( 2) 1,

2y

y ( 2) 1.

64.

yy

2

3

,

y(1) 1,

(1) 1 .

(y)

(y)

y

Решить уравнения:

65. y 5y 4y 0.

66. y 6y 9y 0.

67. y 8y 25y 0.

68. y 3y 2y 0.

69. y 4y 4y 0.

70. y 2y 2y 0.

71. y 4y 3y 0.

72. y 4y 0.

73. y 4y 0.

74. y 3y 2y 0.

75. y 2ay a2y 0.

76. y 2y 5y 0.

77. y y 0.

78. y y 0.

25

79. y 2y y ex.

80. y 3y 2y ex.

81. y y 2y 6x2.

82. y 3y 9x.

83. y 2y xe x

84. y 4y 8x3.

85. y 5y 6y 13sin3x.

86. y y 2,5y 25cos2x.

87. y 4y 3sin 2x.

88. y 4y sin 2x.

89. y y xcos x.

90. y 2y 3y e x cosx.

91. y 3y 10y sin x 3cosx.

92. y 3y 2y e3x(x2 x).

x

4y

x

( 4x 4)cosx (2x 6)sinx .

93. y

2y

2y

e (2cosx

4xsin x).

94.

y

e

95. y y x 2ex.

96. y 2y y 3ex x 1.

97. y 6y 8y ex e2x.

98. y y 4 x.

99. y 2y 3y x2.

3

x

x 0 3,

y

x 0 5,5.

100.

4y 16y 15y 4e

2 ; y

101.

y 2y 10y 10x2

18x 6; y

x 0 1,

y

x 0 3,2.

102.

y y 2(1 x); y

x 0 1,

y

x 0 1.

Решить системы уравнений:

dx

4x y,

dy

y 2z,

dx