Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

2. Пусть дано уравнение y f x,y , не содержащее явным образом искомую функцию y .

Порядок понижается посредством введения новой функции y q x . То-

гда, используя y q x , получаем дифференциальное уравнение первого по-

рядка q f x,q . Пусть q x;C1 - общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Заменяя функцию q на у', получаем второе дифференци-

альное уравнение первого порядка:

y x;C1 . Интегрируя последнее уравне-

ние, получаем общий интеграл исходного уравнения y (x,C1)dx C2 .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y

Решение. Полагаем

y q x ,

y q . Тогда q

0. Разделяя пере-

менные, имеем:

Интегрируя, получим ln

dx x

lnq lnC1x , q C1x. Возвращаясь к исходной переменной, получим y C1x.

Общее решение дифференциального уравнения равно y c1 x2 c2 .

Пример.

Найти

общее

решение

дифференциального

уравнения

xy y ln(y / x).

y q x , преобразуем исходное уравнение к однород-

Решение. Полагая

ному дифференциальному

уравнению

первого

порядка

xq qln(q/ x)или

q (q/ x)ln(q/ x).

Полагая

q ux ,

u xu

получим

уравнение

ulnu или

u x u

x u(lnu 1).

Разделяя переменные и интегрируя

, получим

u(lnu 1)

ln(lnu 1) lnx lnC , lnu 1 xC

или u e1 C1x.

Возвращаясь к переменной

xe1 C1xdx. Интегриро-

y , приходим к уравнению y xe1 C1x , которое дает

вание по частям дает

1 C x

y xe

C2.

f у, y , не содержащее явно независимую

3. Пусть дано уравнение

переменную x.

Для понижения порядка уравнения введем y p y . Дифференцируем это

равенство по x, учитывая, что

p p y x :

d y

dp y

то есть y p

Теперь уравнение запишется в виде pdp f y, p , после интегрирования dy

которого получаем общее решение уравнения первого порядка p y;C1 . Заменяя функцию р(у) на у', получаем второе дифференциальное уравнение первого порядка y y;C1 . Интегрируя последнее, находим общий интеграл диффе-

ренциального уравнения второго порядка

x C2 .

y,C

Пример. Найти общее решение уравнения yy y 2

Решение. Положим

p y ,

p. Для

p y

получим уравнение

первого порядка с разделяющимися переменными

0, общее реше-

ние которого p C1y дает второе дифференциальное уравнение первого по-


рядка с разделяющимися переменными			dy	C y. Интегрирование последнего

			dx		1				eC1x .
дифференциального уравнения дает ln	y	C x lnC				2	или y C	2

		1
1.3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения
второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго
порядка: y a1 x y a2 x y 0, где a1 x и					a2 x		являются непрерывными

функциями x в рассматриваемой области. Укажем некоторые свойства решений этого уравнения.

Теорема 1. Если функции y1 y1 x и	y2 y2 x являются частными ре-
шениями уравнения y a1 x y a2 x y 0, то решением этого уравнения яв-
ляется также функция y c1y1 x c2 y2 x ,	где c1 и c2 - произвольные посто-

янные.

Для нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка рассмотрим понятие линейной зависимости и линейной независимости функций.

Функции y1 y1 x и y2 y2 x называются линейно независимыми на интервале a,b , если равенство 1y1 2 y2 0, где 1, 2 R, выполняется

только в случае, когда 1 2 0.

Если же существует пара неравных нулю чисел 1или 2 , при которых выполняется равенство 1y1 2 y2 0, то функции y1 и y2 называются ли-

нейно зависимыми.

Система двух линейно зависимых функций характеризуется свойством линейной пропорциональности функции y1 и y2 , то есть для всех x a;b выпол-

няется равенство

y1 y2 ,

где - некоторая постоянная величина.

Например,

функции y x и

линейно независимы, а функции

и y

линейно зависимы.

Система функции анализируется на предмет линейной зависимости

посредством определителя Вронского или вронскиана.

y2 x

Для двух дифференцируемых функций y1 y1 x

и y2

определи-

тель Вронского имеет вид W x

. Существует несколько теорем, касаю-

щихся определителя Вронского.

y1 x

y2 x линейно

Теорема 2.

Если дифференцируемые функции

зависимы на (а;b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Доказательство. Так как функции y1 и y2 линейно зависимы, то y1 y2

для любого			x a;b .			Тогда		определитель Вронского равен нулю:
W x	y2	y2			y2	y2	0.
W x	y2	y2			y2	y2	0.

	y2	y2			y2	y2
	Теорема 3.			Если функции y1 x и y2 x - линейно независимые решения
уравнения y a1 x y a2 x y 0								на a,b , то определитель Вронского на этом

интервале не обращается в нуль ни в одной точке (без доказательства).

Из теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала a,b тогда и только тогда, когда частные решения дифференциального уравнения y a1 x y a2 x y 0 линейно независимы.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифферен-

циального уравнения y a1 x y a2 x y 0 называется совокупность любых двух линейно независимых на интервале a,b частных решений y1 x и y2 x . В


этом	случае любое		частное	решение	может быть получено в виде
y 1y1 x 2 y2 x .			Например,	легко	можно проверить, что	функции
y ex	и y	e x образуют фундаментальную систему решений				дифферен-
1	1	уравнения y y 0, потому
циального		уравнения y y 0, потому			что линейно независимы и каждая

из них обращает дифференциальное уравнение в тождество.

Теорема 4.(Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка). Если два частных решения y1 y1 x и y2 y2 x линейного однородного дифференциального уравнения y a1 x y a2 x y 0 образуют на интеграле (a;b) фундаментальную систе-

му, то общее решение этого уравнения имеет вид y00 c1y1 x c2 y2 x , где c1

и c2 – произвольные постоянные (без доказательства).

1.3.3.Дифференциальные уравнения второго порядка

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

y py qy 0,

где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти общий интеграл этого уравнения достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные решения в виде y ekx , где k - подлежащая определению

константа. Используя y kekx , y k2ekx		и подставляя выражения для y , y ,
y в дифференциальное уравнение, имеем ekx(k2 pk q) 0.
Так как	ekx 0, то получается	характеристическое уравнение
k2 pk q 0.	При решении характеристического уравнения возможны сле-

дующие три случая.

1. Характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 и k2 (k1 k2 ).

Вэтомслучае частнымирешениямидифференциального уравнения яв-

ляютсяфункции y ek1x и y

ek2x . Они образуют фундаментальную систему

решений, так как их вронскиан

W x

ek1x

ek2x

e k1 k2 x k e k1 k2 x

e k1 k2 x k

k ek1x

ek2x

Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

y c ek1x

ek2x .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

y 3y 2y 0.

Решение.

Составим характеристическое уравнение k2 3k 2 0, которое

имеет два различных действительных корня k1 1,

2. Запишем общее реше-

ние дифференциального уравнения в виде y c ex c

e2x .

2. Характеристическое уравнение имеет действительный двукратный

корень k

= k

g 0

В этом случае известно лишь одно частное решение y

ekx . Однако,

можно с помощью подстановки показать, что функция y2 xekx

также является

решением дифференциального уравнения. Действительно,

py2

qy2 xekx

p xekx q xekx

			2kekx	xk2ekx p ekx xkekx q xek1x
		ekx 2k k2x p pxk qx ekx x k2 pk q p 2k .
Поскольку k2 pk g 0, так как k является корнем характеристическо-
го уравнения, а p 2k 0, так как по условию k							p	, то	y2	py2 qy2 0,
го уравнения, а p 2k 0, так как по условию k								, то	y2	py2 qy2 0,
то есть функция y2 xekx						2
то есть функция y2 xekx				является вторым решением					дифференциального
уравнения.	Функции		y ekx	и y	2	xekx образуют фундаментальную систему
решений: W x e2kx			1		2
решений: W x e2kx			0.
Общее решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид
y c ekx c	2	xekx .
1	2

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y 4y 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение k2 4k 4 0, которое имеет два одинаковых действительных корня k1 k2 2. Запишем общее решение

дифференциального уравнения в виде y c e2x c						2	xe2x.
				1		2
3. Корни k1		и k2 характеристического уравнения являются комплексны-
				2
			p	2			p			p	2
ми: k i , k	2	i D	p		g 0,		p	,	g	p		0 .
ми: k i , k		i D			g 0,			,	g			0 .
1			4				2		4

В этом случае частными решениями дифференциального уравнения является функции y1 e i x и y2 e i x , которые образуют фундаментальную систему решений дифференциального уравнения, но не удобны для конкретного использования.

Применяя формулы Эйлера ei cos isin , e i cos isin можно получить два действительных частных линейно независимых решения дифференциального уравнения ~y1 и ~y2 без мнимой единицы:

y y

e x i x

ei x

e i x

cos x,

y y

e x i x

ei x

i x

sin x.

являются решениями дифференциального уравнения по

Функции y1

и y

теореме о свойстве решений этого уравнения и тоже образуют фундаментальную систему решений, так как W x 0. Поэтому общее решение дифференци-

ального уравнения y py qy 0 в третьем случае запишется в виде y e x c1 cos x c2 sin x .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y 13y 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение, которое имеет два комплексных корня k1 2 3i и k2 2 3i. Запишем общее решение дифференци-

ального уравнения в виде y e2x c1 sin3x c2 cos3x .

1.3.4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка y a1 x y a2 x y f x , где a1 x , a2 x , f x - заданные, непрерывные на (a,b) функции.

Уравнение y a1 x y a2 x y 0, называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 1. (Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка). Общим решением yон

уравнения		y a1 x y a2 x y				f x	является сумма его произвольного част-
ного решения yчн			и общего решения yoo c1y1					c2 y2 соответствующего одно-
родного уравнения, то есть yон yоо yчн .
	Теорема 2. (Теорема о наложении решений). Если правая часть уравне-
ния	y a1 x y a2 x y				f1 x f2 x представляет собой сумму двух функ-
ций:	f1 x	и	f2 x ,	а	y1чн	и	y2чн -	частные	решения уравнений
y a1 x y a2 x y f1 x					и y a1 x y a2 x y f2 x				соответственно, то
функция yчн y1чн y2чн				является частным решением данного уравнения.

1.3.5. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида

Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение y py qy e x Pn x cos x Qm x sin x с правой частью специального ви-

да,	где	, , p,q		– некоторые числа,	P x a xn		a	xn 1 ... a	,
Q x b xm			xm 1		n	n	n 1	0
Q x b xm		b	xm 1	... b .
m	m	m 1		0

Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения yoo и частного решения yчн неоднородного уравнения. Частное решение уравнения со специальной правой ча-

стью может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, состоящим в том, что по виду правой части f x e x Pn x cos x Qm x sin x неоднородного уравнения записывают ожидаемую форму частного решения

y xle x PN x cos x QN x sin x .

Здесь многочлены PN x , QN x с коэффициентами, подлежащими определению, имеют одинаковую степень, равную большему из значений чисел m и n. Число l равно кратности совпадения параметра i с корнями характеристического уравнения. Если параметр i не совпадает с корнями характеристического уравнения, то l 0. Если параметр оказывается равным одному из действительных корней характеристического уравнения, или совпадает с одним из комплексных корней характеристического уравнения, то l 1. Если параметр совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения, то l 2.

Рассмотрим несколько частных случаев.
1.	Пусть	правая	часть	неоднородного		уравнения имеет вид
f x P (x)e x ,		где P (x)-	многочлен n–ой степени.			Параметр правой части
n		n
i	совпадает с , а число			не является корнем характеристического
уравнения k2 pk q 0. В этом случае частное решение ищется в виде
			y (A xn	A xn 1	... A )e x ,
			0	1	n

где коэффициенты A0 , A1,…, An подлежат определению.

Если же число совпадает с одним из действительных корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

y x(A0xn A1xn 1 ... An)e x.

Если же число совпадает с двукратным действительным корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде

y x2(A0xn A1xn 1 ... An)e x .

Пример. Найти общее решение уравнения y 4y 3y x 2. Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения

имеет вид yоо C1ex C2e3x .

Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет видx 2 e0x, где параметр правой части i =0 и не совпадает с корнями характеристического уравнения k1 1 и k2 3, то частное решение ищется в виде

чн

Q (x)e0x

Ax B.

Подставляя

это

выражение

в заданное

уравнение,

имеем

4A 3(Ax B) x 2.

Приравнивая

коэффициенты при одинаковых

степенях

х,

получим

3A 1,

4A 3B 2, откуда A 1/3,

B 10/9. Следовательно,

yчн

Общее решение дифференциального уравнения равно

y C ex

e3x

Пример. Найти						общее решение дифференциального	уравнения
y 5y 4y (x 2)ex.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения
имеет вид	y	оо	C ex C		2	e4x.
		оо	1		2
Так	как		правая	часть данного неоднородного уравнения			имеет вид

x 2 ex, где

параметр правой части i =1 и совпадает с корнем характери-

стического

уравнения k1 1,

то

частное решение ищется

в виде

чн

xQ (x)ex

(Ax2 Bx)ex .

y Ax2

2A B x B ex

Найдя первую производную

и вторую произ-

водную

y Ax2 4A B x 2A 2B ex

и подставляя это выражение в за-

данное уравнение, имеем

Ax2 4A B x 2A 2Bex 5Ax2 2A B x Bex 4Ax2 Bxex x 2 ex ,

6Ax 4A 3B ex x 2 ex.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях xex, ex

получим

6A 1,

2A 3B 2, откуда A 1/6,

B 5/9.

Следовательно, yчн x2 /6 5x/9 ex.

Общее решение дифференциального уравнения равно

y C ex C

e4x ( x2 /6 5x/9)ex.

Пример.

Найти общее решение уравнения y 4y xex.

Решение.

Найдем общее решение однородного уравнения, предваритель-

но записав его характеристическое уравнение k2 4 0, k

2i. Общее ре-

1,2

шение соответствующего однородного уравнения yоо C1 cos2x C2 sin2x.

Правая часть данного неоднородного уравнения xex имеет вид P1(x)ex . Так как коэффициент i 1 в показателе степени не является корнем харак-

теристического уравнения, то частное решение ищется в виде yчн (Ax B)ex . Подставляя это выражение в заданное уравнение, будем иметь

(Ax 2A B)ex 4(Ax B)ex xex . Приравнивая коэффициенты при оди-

наковых функциях, получим 5A 1,	2A 5B 0, откуда A 1/5,			B 2/25.
Следовательно, частное решение равно yчн (x/5 2/25)ex.
Общее решение равно y C cos2x C		2	sin2x x/5 2/25 ex.
1

2. Правая часть неоднородного уравнения имеет вид f x e x Pn x cos x Qm x sin x ,

где Рп(х) и Qm(x) - многочлены степени п и т соответственно, и - действительные числа.

В этом случае частное решение следует	искать в виде
y xle x Ms x cos x Ns x sin x , где l- число, равное	кратности i как

корня характеристического уравнения k2 pk g 0, Ms x и Ns x - многочлены степени s с неопределенными коэффициентами, s - наивысшая степень многочленов Рп(х) и Qm(x), то есть s = max(n, m).

Следует отметить, что указанные формы частных решений сохраняются и в том случае, когда правая часть дифференциального уравнения имеет вид

Pn(x)e x cos x или Qm(x)e x sin x.

Если же правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:

f (x) M cos x Nsin x, где M и N – постоянные числа, а i не является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения сле-

дует искать в виде yчн

Acos x Bsin x.

Если i

является корнем характеристического уравнения, то частное ре-

шение уравнения следует искать в виде yчн x(Acos x Bsin x).

Пример.

Найти

общее

решение линейного неоднородного

уравнения

y 2y 5y 2cosx.

Решение. Общее решение будет иметь вид

y yoo yчн . Составим харак-

теристическое

уравнение

найдем

его

корни

k2 2k 5 0,

k 1 2i,

1 2i.

Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения

e x

(C cos2x C

sin2x).

Поскольку параметр правой части данного неоднородного

уравнения

i i

не является

корнем характеристического уравнения, частное реше-

ние будем искать в форме yчн Acosx Bsin x, где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.

Находя производные и подставляя их в заданное уравнение, будем иметь

Acosx Bsinx 2( Asinx Bcosx) 5(Acosx Bsinx) 2cosx.

Приравнивая коэффициенты при cosx и sin x, получим:

A 2B 5A 2,

B 2A 5B 0,

откуда

A 2/5,

B 1/5.

Следовательно,

частное

решение

yчн

cosx

sin x.

Общее решение y yoo yчн

будет иметь вид

y e x (C cos2x C

sin2x)+

cosx

sin x.

Пример. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения y 4y cos2x.

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного урав-

нения. Составим характеристическое							уравнение и		найдем	его	корни
k2 4 0,		k	2i,	k	2	2i. Тогда общее решение соответствующего
		1			2
однородного уравнения yoo C1 cos2x C2 sin2x.
Поскольку параметр правой части i 2i								совпадает с корнем харак-
теристического			уравнения,			частное	решение	будем	искать	в	форме
yчн x(Acosx Bsin x),				где А и В – постоянные коэффициенты,						подлежащие
определению.
Подставляя производные
	2x( Asin2x Bcos2x) (Acos2x Bsin2x),
yчн	2x( Asin2x Bcos2x) (Acos2x Bsin2x),
	4x( Acos2x Bsin2x) 4( Asin2x Bcos2x)
yчн	4x( Acos2x Bsin2x) 4( Asin2x Bcos2x)

в исходное уравнение, и приравнивая коэффициенты при cos2x и sin 2x, полу-

чим два уравнения

для

определения А и В:

4B 1, 4A 0.

Откуда

A 0,

B 1/4.

Следовательно, частное решение

yчн

xsin x. Общее реше-

ние будет иметь вид

y C cos2x C

sin2x+

xsin x.

Пример. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения

y y 2y cosx 3sin x,

удовлетворяющее

начальным

условиям:

y(0) 1,

y (0)

Решение.

Найдем

общее решение дифференциального

уравнения

y yoo yчн .

Составим

характеристическое

уравнение

найдем

его

корни:

k2 k 2 0,

k 1,

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yoo C1ex C2e 2x.

Правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид f (x) e x (M cos x Nsin x).

Так как число i i не является корнем характеристического урав-


нения, то частное решение будем искать в		форме yчн (Acosx Bsin x).
Находя производные и подставляя		их в исходное уравнение, получим
(B 3A)cosx ( A 3B)sinx cosx 3sinx.
Приравнивая коэффициенты при cosx и sin x,			получим уравнения для
определения A и В: B 3A 1,	3B A 3, откуда		A 0,	B 1.

Следовательно, частное решение yчн sin x.

Общее решение будет иметь вид y C1ex C2e 2x sin x. Найдем С1, С2, используя начальные условия

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]