Математика дифференциальные уравнения, ряды, теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

Теорема 11 (теорема Абеля). 1) Если степенной ряд (2.8) сходится при x x0 x0 0 , то он сходится, и притом абсолютно, для всех х, удовлетворяющих условию x x0 ;

только при x 0, то существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при x R и расходится при x R .

Таким образом, решен вопрос об области сходимости степенного ряда.

Интервал ( R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов охватывает всю числовую прямую (в этом случае пишут R ), у других вырождается в одну точку

(R 0). Итак, всякий степенной ряд имеет свой радиус сходимости R. При x R ряд может либо сходиться, либо расходиться. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда. Приведем способ определения радиуса сходимости степенного ряда.

Следовательно, по теореме 13 данный ряд сходится на интервале 1,1. Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, то есть в точках

41

который сходится в силу признака Лейбница. Таким образом, данный ряд сходится в любой точке полуинтервала [ 1, 1) и расходится вне его.

Пример. Ряд n!xn расходится на всей числовой прямой, кроме точки

n 1

Имеют место две теоремы о свойствах степенных рядов, которые приведем без доказательства.

Теорема 14. Если функция f (x) на интервале ( R, R) разлагается в степенной ряд (2.9), то она дифференцируема на этом интервале и ее производная f (x) может быть найдена почленным дифференцированием ряда (2.9), то

есть

f (x) a0 a1x a2x2 anxn

a1 2a2x 3a3x2 nanxn 1

Аналогично могут быть вычислены производные любого порядка функции

. При этом соответствующие ряды имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (2.9).

Теорема 15. Если функция f (x) на интервале R, R разлагается в степенной ряд (2.9), то она интегрируема в интервале R, R и интеграл от нее может быть вычислен почленным интегрированием ряда (2.9), то есть если

x1, x2 R, R , то

x2 x2

f x dx a0 a1x a2x2 anxn dx

a0dx a1xdx anxndx .

42

В этом случае опять получаем степенной ряд, который имеет тот же интервал сходимости, что и ряд (2.9).

Сформулированные теоремы дифференцирования и интегрирования степенных рядов имеют важное значение. Далее они неоднократно используются.

Отметим, что в ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида:

что функция f (x) разлагается в ряд по степеням x a .

Все изложенное полностью переносится и на ряды вида (2.10). Для простоты записи последующие рассуждения проводятся для рядов вида (2.8).

2.6. Разложение функций в степенные ряды

Как показывает следующая теорема, разложение функции в степенной ряд единственно.

то это разложение единственно.

Если функция f (x) разлагается в степенной ряд, то этот ряд имеет вид

Ряд (2.12) называется рядом Маклорена для функции f (x) .

Пусть теперь f (x) произвольная бесконечно дифференцируемая функция. Для нее можно составить ряд (2.12). Установим, при каких условиях сумма ряда (2.12) совпадает с функцией f (x). Ответ на этот вопрос можно получить с помощью формулы Маклорена. Ранее было показано, что для любой бесконечно дифференцируемой функции справедлива формула Маклорена

Имеет место следующая теорема.

Теорема 17. Для того, чтобы ряд Маклорена (2.12) сходился на ( R, R) и имел своей суммой функцию f (x) , необходимо и достаточно, чтобы на ( R, R) остаточный член Rn(x) формулы Маклорена (2.13) стремился к нулю при

n , то есть lim Rn(x) 0 для любого x ( R, R).

n

Из теоремы вытекает, что вопрос о разложении функции в ряд Маклорена сводится к исследованию поведения остаточного члена Rn(x) при n .

Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных

Следовательно, ряд абсолютно сходится на всей числовой прямой.

Докажем теперь, что функция ex сумма ряда (2.14).

Отметим, что в силу необходимого условия сходимости ряда для любого х справедливо равенство

пределу в последнем неравенстве при n , получаем, что lim Rn(x) 0 при

n

любом х, и, следовательно, функция ex является суммой ряда (2.14). Таким образом, при любом х имеет место разложение

Разложение функции f (x) sin x . Имеем:

44

функция sin x является суммой построенного ряда, то есть имеет место разложение

Однако еще проще разложение cos x получается почленным дифференцированием ряда для sin x :

В заключение отметим, что степенные ряды имеют разнообразные приложения. С их помощью с любой заданной точностью вычисляют значения функций (в частности, значения и е); находят приближенные значения опре-

45

деленных интегралов, которые или не выражаются через элементарные функ-

a

ции, или сложны для вычислений. Так, например, интеграл sinx x dx не берется

0

в элементарных функциях, поскольку первообразная функции sin x не является

x

элементарной. В то же время эта первообразная легко выражается в виде сте-

пенного ряда. Действительно, так как sin x x3 x5 x7 ..., то, умножая этот

3! 5! 7!

с любой степенью точности вычислить данный интеграл.

Наконец, значительную роль играют степенные ряды в приближенных методах решений дифференциальных уравнений.

2.7. Ряды Фурье

Определение. Ряд вида

a0 a1 cosx b1 sinx a2 cos2x b2 sin2x 2

называется тригонометрическим рядом, а числа a0, a1, b1, a2, b2, ,an,bn,... коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд (2.22) сходится на отрезке , , то он сходится на всей числовой прямой и его сумма, будучи пределом последовательности периодических частичных сумм, является периодической функцией с периодом 2 . Поэтому тригонометрические ряды особенно удобны при изучении периодических функций, описывающих различные периодические процессы, которые имеют место в природе и технике. Примерами периодических процессов служат колебательные и вращательные движения различных деталей машин и приборов, периодическое движение небесных тел и элементарных частиц, акустические и электромагнитные колебания.

Рассмотрим ряд Фурье. Аналогично степенному ряду, для тригонометрического ряда имеет место следующая теорема.

Теорема 18. Если функция f (x) определена и интегрируема на отрезке, , разлагается в тригонометрический ряд

46