Математика 1.2. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Если при раскрытии неопределённости типа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тамбовский государственный технический университет»

В.И. Фомин

МАТЕМАТИКА 1.2

Рекомендовано Учёным советом университета в качестве учебного пособия для студентов 1 курса дистанционной и заочной форм обучения

Тамбов Издательство ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

2011

УДК 51(075)

ББК В11я73

Ф753

Р е ц е н з е н т ы:

Заслуженный деятель науки РФ, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей физики

ФГБОУ ВПО «ТГУ им. Г.Р. Державина»

В.А. Федоров

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная математика и информатика» ФГБОУ ВПО «ТГТУ»

С.М. Дзюба

Фомин, В.И.

Ф753 Математика 1.2 [Электронный ресурс] : учебное пособие / В.И. Фомин. – Тамбов: Изд-воФГБОУВПО«ТГТУ», 2011. – 80 с.

ISBN 978-5-8265-1023-0.

Содержит справочный материал по различным разделам математики, необходимый для выполнения контрольных работ 4 −6, предусмотренных Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования; рассмотрены методы решения типовых задач, входящих в контрольные работы.

Предназначено для студентов первого курса дистанционной и заочной форм обучения инженерных специальностей вузов.

УДК 51(075)

ББК В11я73

ISBN 978-5-8265-1023-0	© Федеральное государственное бюджетное
	образовательное учреждение
	высшего профессионального образования
	«Тамбовский государственный технический
	университет» (ФГБОУ ВПО «ТГТУ»), 2011

ВВЕДЕНИЕ

Цель данного учебного пособия – помочь студентам первого курса дистанционной и заочной форм обучения инженерных специальностей вузов самостоятельно выполнить контрольные работы 4 – 6 по различным разделам математики, предусмотренным Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования (тексты контрольных заданий см. в пособии: Фомин В.И. Математика: контрольные задания. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2004. 88 с.; Электронный вариант: Электронная библиотека системы федеральных образовательных порталов: http: window.edu.ru/ window.library: Фомин В.И. Математика:

контрольные задания. Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2004).

Необходимый справочный материал снабжён двойной нумерацией: первый номер – это номер контрольной работы, второй номер – это номер задачи из соответствующей контрольной работы, к которым относится данный материал.

Типовые задачи, решение которых изложено в учебном пособии, снабжены аналогичной двойной нумерацией.

ОБОЗНАЧЕНИЯ

N – множество натуральных чисел

R– множество вещественных чисел

R2	– множество точек плоскости
R3	– множество точек трёхмерного пространства
:: =	– оператор определения («это по определению»)

– знак принадлежности («принадлежит»)

– знак непринадлежности («не принадлежит»)

– квантор общности («для любого», «для каждого», «для всякого»)

– квантор существования («существует», «найдётся»)

– знак логического следования («следует», «вытекает»)

\| (или :)		– «такой (такая, такое), что»
Гf		– график функции y = f (x)
Г		– граница замкнутой области
			D
	D
Oδ(x0 )		– дельта-окрестность точки x0 R
O&δ(x0 )		– проколотая дельта-окрестность точки x0 R
Oδ (M 0 )		– дельта-окрестность точки M 0 (x0 , y0 ) R2
O&δ (M 0 )		– проколотая дельта-окрестность точки M 0 (x0 , y0 ) R2

f (x0	−0) =	lim		f (x)	– левосторонний предел функции	f (x) в
		x→x0	−0
					точке x0
f (x0	+ 0) =	lim		f (x)	– правосторонний предел функции	f (x)
		x→x0	+0
					в точке x0
dy(x0 ) , df (x0 )					– дифференциал функции y = f (x)	в точке x0

Контрольная работа 4

ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

4.1. КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на сегменте

[ a, b ] . Рассмотрим		её график Г f = {(x, f (x)) R2 \| x [ a,b ]}. Пусть
x0 (a, b) ,	x0 фиксировано. Придадим		x0 приращение	x , такое что
x0 + x [ a, b ] .		Рассмотрим	точки	M 0 (x0 , f (x0 ) ),
M (x0 + x,	f (x0 + x) ) Г f . Прямая, проходящая через точки M 0 и M ,
называется	секущей.	Если x → 0 , то	M → M 0 , при	этом,	секущая
S = (M 0 M )	изменяет совё положение, вращаясь вокруг точки				M 0 . Воз-

можна ситуация, когда существует прямая, которая является предельным


положением секущей (M 0 M ) при				x → 0 . В связи с этим вводится поня-
тие касательной к графику функции.
Касательная к графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 , f (x0 ) )
:: = прямая K = (M 0T ) , которая является предельным положением секу-
щей S = (M 0 M )	при M → M 0		(т.е. при		x → 0 ), если такое предельное
положение секущей существует.				y = f (x) в точке M 0 (x0 , f (x0 ) ) :: =
Нормаль к графику функции
прямая N , проходящая через точку M 0					перпендикулярно касательной к
графику функции y = f (x) в точке M 0 .
Геометрическая иллюстрация показана на рис. 1.
Пусть функция y = f (x)		имеет конечную производную f ′(x0 ) . То-
гда существует	касательная	K	к	графику функции		y = f (x) в точке
M 0 (x0 , f (x0 ) )	и угловой коэффициент этой касательной (т.е. тангенс
угла её наклона к положительному направлению оси						Ox ) равен произ-
водной f ′(x0 ) :	kK = f ′(x0 ) . Уравнение касательной K имеет вид

y − f (x0 ) = f ′(x0 ) (x − x0 )

или в другой форме записи

y − y(x0 ) = y′(x0 ) (x − x0 ) .

Рис. 1

Если f ′(x0 ) ≠ 0 , то уравнение нормали N к графику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 , f (x0 ) ) имеет вид

y − f (x0 ) = −	1	(x − x0 )
y − f (x0 ) = −	f ′(x0 )	(x − x0 )
	f ′(x0 )
или в другой форме записи
y − y(x0 ) = −	1	(x − x0 ) .
y − y(x0 ) = −	y′(x0 )	(x − x0 ) .
	y′(x0 )
Если f ′(x0 ) = 0 , то уравнения касательной			K и нормали N к гра-
фику функции y = f (x) в точке M 0 (x0 , f (x0 ) )			имеют соответственно

вид

y= f (x0 ), x = x0 ,

т.е. K || Ox , N Ox (рис. 2).

Рис. 2

Задача 4.1. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = f (x) в точке, абсцисса которой равна x0 :

y = x2 + 4x −26 , x0 = 4 .

Решение.

K : y − y(x0 ) = y′(x0 ) (x − x0 ) ;

N : y − y(x0 ) = −

(x − x0 ) ;

y′(x0 )

K :

y − y(4) = y

′

(4) (x −4) ;

N :

y − y(4) = −

(x −4) ;

′

y (4)

y(4) = 42 + 4 4 − 26 = 6 ,

y(4) = 6 ;

′

= 2x + 4 ,

′

= 2 4 +

4 =12 ,

′

=12 ;

(4)

K : y −6 =12 (x −4) ; N : y −6 = −121 (x −4) ; K : y =12x −42 ; N : y = −121 x +193 ;

Задача 4.1 решена.

		4.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция			y = f (x) дифференцируема в точке					x0 . Это означа-
ет, что её приращение				y = f (x0 +		x) − f (x0 ) в точке		x0 , отвечающее
приращению аргумента				x , представимо в виде
				y = f ′(x0 )		x +o ( x) ,		(1)
где o (	x) – бесконечно малая величина высшего порядка по сравнению с
x при	x → 0 , т.е.
				lim	o (	x)	= 0 .	(2)
						x
				x→0
Первое слагаемое в правой части (1) называется дифференциалом
функции f (x)		в точке x0		и обозначается символом dy(x0 ) (илиdf (x0 ) ):
				dy(x0 ) = f ′(x0 ) x .
В	силу	(2) можно считать				при	достаточно малых x , что
y ≈ f ′(x0 ) x , т.е.			y ≈ dy(x0 ) :
или			f (x0 + x) − f (x0 ) ≈ f ′(x0 ) x
			f (x0 + x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 ) x .					(3)

Формула (3) используется для приближённого вычисления значений функции при «плохих» значениях аргумента.

Задача 4.2. Найти приближённые значения указанной величины с помощью дифференциала соответствующей функции:

3 65 .

Решение. Рассмотрим функцию

f (x) = 3

x . Тогда

3 65 = 3 64 +

= 4

3 1+

1 = 3 64 1+

′

= 4 f 1+

≈ 4

f (1) + f

;

(1)

f (1) = 3 1 =1 ,

f (1) =1 ;

	3		′				1		′				1	−	2		1					1
′	3		′				3						1		3		1					1
′																= 2			=							,
f (x) = ( x			) = x							= 3 x						= 2			=		3	3	x	2		,
			) = x							= 3 x												3		2
																	3x 3
′		1				f		′						1				1		f	′				1
′	3 3							′				3 3 12					3 ,				′
f (x) =	3 3		x2	,				(1)		=		3 3 12				=	3 ,				(1)		=	3		;
									1			1
									1			1
			=		4	1+								≈ 4,021 ;
			=		4	1+			3		64			≈ 4,021 ;


						3 65				≈ 4,021 .

Задача 4.2 решена.

4.3. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

Правило Лопиталя применяется при раскрытии неопределённостей типа 00 , ∞∞ :

f (x)

′

lim

f (x)

′

x→x

g(x)

x→x

g (x)

f (x)

∞

′

lim

f (x)

′

x→x

g(x)

∞

x→x

g (x)

при условии, что существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных.

В качестве предельной точки x0 может выступать ∞ :

f (x)

′

lim

= lim

f (x)

g(x)

g (x)

x→∞

′

f (x)

∞

′

lim

= lim

f (x)

g(x)

∞

g (x)

x→∞

′

лу Лопиталя полученное отношение производных f ′(x) / g′(x) тоже представляет неопределённость указанного типа, то правило Лопиталя нужно

применить ещё раз (правило Лопиталя применяют до тех пор, пока не удастся избавиться от неопределённости указанного типа).

При применении правила Лопиталя вопросы о дифференцируемости соответствующих функций и существовании предела отношения их производных решаются непосредственно в ходе вычислений.

После применения правила Лопиталя целесообразно упростить полученное отношение производных. В частности, если в отношении производных удаётся выделить множитель, имеющий конечный ненулевой предел в рассматриваемой предельной точке, то следует применить теорему о пределе произведения функций.

Задача 4.3. Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя:

			lim		ln(cos 2x)		.
			lim				.
			x→0		ln(cos3x)
Решение.
							′
	ln(cos 2x)		0			[ln(cos 2x)]
A = lim	ln(cos 2x)		0			[ln(cos 2x)]
		=		= lim		[ln(cos3x)]′		=
	ln(cos3x)	=	0	= lim				=
x→0	ln(cos3x)		0		x→0

(−sin 2x) 2

cos 3x

sin 2x

= lim

cos 2x

lim

x→0

(−sin 3x) 3

3 x→0

cos 2x

sin 3x

cos 3x

sin 2x

lim

3 x→0 cos 2x

x→0 sin 3x

→0 sin 3x

lim

(sin 2x)′ =

lim

cos 2x 2

lim

cos 2x

;

3 x→0

(sin 3x)′

3 x→0 cos 3x 3

9 x→0 cos 3x

A =

Задача 4.3 решена.

4.4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ОТРЕЗКЕ

Критическими точками первого рода функции y = f (x) называются

значения аргумента x , при которых производная функции равна нулю или не существует, при этом значения аргумента x , при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции.

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]