Математика 1.2. Учебное пособие

71

Приложение 5

БИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК

ЛЕЙБНИЦ Готфрид Вильгельм (1.7.1646 – 14.11.1716) – немецкий математик, физик и философ, организатор и первый президент Берлин. АН (1700). Род. в Лейпциге. В 1601 поступил на юридический ф-т Лейпциг. ун-та. Кроме юридических наук, изучал философию и математику. В ун-те ознакомился с работами Аристотеля и Р. Декарта. Защитил диссертацию на степень бакалавра (1663), магистра философии (1664) и д-ра права (1666). Состоял на юридической и дипломатической службе при дворе Майнцского курфюрста. Из Майнца выезжал с дипломатической миссией в Париж, где познакомился со мн. математиками, в частности с X. Гюйгенсом, под руководством которого изучал работы Г. Галилея, Р. Декарта, П. Ферма, Б. Паскаля и самого Гюйгенса. В 1673 из Парижа Л. выезжает в Лондон для демонстрации своей счетной машины в Лондон. королевском об-ве. В Лондоне познакомился с И. Барроу, а также с трудами И. Ньютона, «Логарифмотехникой» Г. Меркатора. Возвратясь в 1676 в Париж, Л. разрабатывает важные вопросы дифференциального исчисления. В том же году уезжает в Ганновер, где работает библиотекарем, затем историографом двора Ганноверского герцога. Деятельность Л. выходила далеко за пределы его официальных обязанностей. Он занимался химией и геологией, сконструировал ветряной двигатель для насосов, выкачивающих воду из шахт. Особенно плодотворной была науч. деятельность Л. в области математики. В 1666 Л. опубл. свою первую матем. работу «Размышления о комбинаторном искусстве». Сконструированная Л. счётная машина выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Б. Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение кв. и куб. корней. Свыше 40 лет Л. посвятил усовершенствованию своего изобретения. Поэтому его можно считать идейным вдохновителем совр. машинной математики. Л. заложил основы символической логики. Разработанные им логика классов и исчисление высказываний в алгебр. форме лежат в основе совр. матем. логики. Исследовал свойства нек-рых кривых (в частности, цепной линии), занимался разложением функций в ряды, ввёл понятие определителя и выдвинул нек-рые идеи,

72

касающиеся теории определителей; впоследствии их развивали А. Вандермонд, О. Коши, К. Гаусс и окончательно разработал К. Якоби. Л. до нек-рой степени проложил путь таким новым дисциплинам, как политическая экономия и сравнительное языкознание. Важнейшей заслугой Л. является то, что он, одноврем. с И. Ньютоном, но независимо от него, завершил создание дифференциального и интегрального исчислений. При этом он исходил не из квадратуры кривых, как Ньютон, а из проблемы касательных. Изучение работ Б. Паскаля и собственные иссл. привели Л. в 1673–74 к идее характеристического треугольника, к-рый теперь используется при введении понятий производной и дифференциала в каждом учебнике дифференциального исчисления. Л. сделал и дальнейший шаг в создании нового исчисления – установил зависимость между прямой и обратной задачами о касательных. Через год он пришёл к выводу, что из «обратного метода касательных выходит квадратура всех фигур». В октябре 1675 Л. уже пользуется обозначением Sl для суммы бесконечно малых и операцию, противоположную суммированию, обозначает, подпи-

сывая букву d под переменной dx , а затем рядом с ней: dx . Знак инте-

грала в совр. форме впервые встречается в работе Л. «О скрытой геометрии...» (1686). Л. решил проблему касательных с помощью дифференциального исчисления, сформулировал правила дифференцирования произведения, степени, неявной функции. Эти результаты Л. опубл. только в 1684 в ст. «Новый метод максимумов и минимумов», впервые назвав свой алгоритм дифференциальным исчислением. В 1603 Л. опубл. первые образцы интегрирования дифференциальных ур-ний с помощью бесконечных рядов. Л. ввёл много матем. терминов, к-рые теперь прочно вошли в науч. практику (функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата), а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику. С именем Л. в науке связано много открытий и гипотез, к-рые позже получили признание. В механике ему принадлежит понятие о «живых силах», в геологии – мысль, что Земля имеет историю. Л. высказал правильное предположение о происхождении ископаемых остатков животных и растений, отстаивал важную для биологии мысль об эволюции. Создал собственную

73

науч. школу, в к-рую входили братья Бернулли, Г.Ф. Лопиталь и др. математики. Первым нарушил традицию писать науч. труды только на лат. яз. Чл. Лондон, королевского об-ва (1679) и Париж. АН (1700). АН ГДР учредила Мейсенскую Лейбницевскую медаль. Именем Л. названы горный хребет на видимой стороне Луны и кратер на обратной стороне Луны.

ЛОПИТАЛЬ де Гийом Франсуа (1661 – 2.2.1704) – французский математик. Чл. Париж. АН. Род. в Париже. Изучал математику под руководством И. Бернулли. Издал первый печатный учебник по дифференциальному исчислению – «Анализ бесконечно малых» (1696); в нём есть т.н. правило Л. – о нахождении предела дроби, числитель и знаменатель к-рой стремятся к нулю. Написал курс аналитической геометрии конических сечений. Л. принадлежит иссл. и решение с помощью матем. анализа неск. трудных задач по геометрии и механике, в частности одного из ур-ний известной задачи о брахистохроне. Именем Л. назван кратер на обратной стороне Луны.

НЬЮТОН Исаак (4.1.1643 – 31.3.1727) – английский физик, меха-

ник, астроном и математик, заложивший основы естествознания. Член Лондон. королевского об-ва (1672) и его президент (1703). Род. в Вулсторпе. Окончил Кембридж. ун-т (1665). В 1668 получил степень магистра, в 1669 его учитель И. Барроу уступил ему кафедру в Кембридж. ун-те, где Н. работал до 1701. Науч. интересы Н. сформировались в 1661 – 69. Работая в ун-те, он написал свои важнейшие труды. С 1695 – смотритель, с 1699 – гл. директор Монетного двора в Лондоне. Работая здесь, Н. занимался упорядочением англ. монетного дела и подготовкой к публикации своих работ за предыдущие годы. Значительная часть этих работ погибла во время пожара. Заслуга Н. в том, что, одноврем. с Г. Лейбницем, но независимо от него, он создал дифференциальное и интегральное исчисления, к-рые стали могучим средством решения новых задач, возникших в XVII в. перед естествознанием. Концепции Н. и Г. Лейбница были разными. Лейбниц придерживался абстрактной концепции, к-рая стала исходной для развития чистого анализа; Н. же рассматривал математику, или, как тогда говорили, геометрию, только как способ для физических иссл.

74

Эта связь матем. и физических иссл. ярко проявилась в его методе флюксий. Уже в 1665–66 Н. выработал для нужд механики осн. идеи этого метода, исходя преим. из работ Б. Кавальеры, Ж. Роберваля, П. Ферма,

Дж. Валлиса и своего учителя И. Барроу. В это же время он открыл взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования, а также сделал фундаментальные открытия в области бесконечных рядов, в частности индуктивное обобщение т.н. теоремы о биноме Н. на случай любого действительного показателя. Уже в первой работе по анализу («Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»), написанной в 1669, а опубл. только в 1711, Н. дал метод вычислений и изучения функций (приближение бесконечными рядами), к-рый имел впоследствии огромное значение для развития анализа. На этой основе Н. почленным интегрированием получил ряды для y = ln(1+ x) и y = arcsin x и,

применяя обращение рядов, т.е. представляя х через у, нашел разложение в ряды показательной функции, синуса, косинуса и т.д. В 1670–71 Н. изложил созданные им дифференциальное и интегральное исчисления в соч. «Метод флюксий» (опубл. в 1736), четко сформулировав в механических и матем. выражениях обе взаимно обратные задачи анализа и применив метод флюксий к большому кол-ву геом. задач (на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и др.), а также представив в элементарных функциях ряд интегралов от функций, к-рые содержат кв. корень из кв. трехчлена. Большое внимание уделено интегрированию обыкновенных дифференциальных ур-ний, решены нек-рые задачи вариационного исчисления. Г.В. Лейбниц на 28 лет раньше Н. опубл. своё открытие анализа бесконечно малых, но Н. на 10 лет раньше его установил наличие двух больших взаимно связанных исчислений, полностью понял их значение для изучения природы и пользовался ими в своих науч. достижениях. Работа Н. «Математические начала натуральной философии», создававшаяся в течение 20 лет и вышедшая через три года после публикации Г. Лейбница, проникнута духом новых исчислений, выявляет всё могущество этих исчислений в изучении природы и умение Н. их применять. Вклад Н. в математику не исчерпывается созданием дифференциального и интегрального исчислений. В алгебре ему принадлежат: метод численного решения алгебр. ур-ний (метод Н.), важные теоремы о симметричных

75

функциях корней алгебр. ур-ний, об отделении корней, о приводимости ур-ний и т.д. Алгебра у Н. имеет геом. форму. Его определение числа не как совокупности единиц, а как отношения длины любого отрезка к отрезку, принятому за единицу, сыграло важную роль в развитии учения о числе. «Математические начала натуральной философии» (1678) Н. содержат развитую теорию конических сечений, необходимую для иссл. движения планет и комет. В «Перечислении кривых третьего порядка» (1704) Н. дал классификацию этих кривых, обобщил понятия диаметра и центра, указал способы построения кривых 2-го и 3-го порядков по разл. условиям. Эта работа сыграла важную роль в развитии аналитической геометрии и частично проективной геометрии. В «Методе разностей» (1711) Н. решил задачу о проведении через n +1 данную точку с равноудалёнными или неравноудалёнными абсциссами параболической кривой n-го порядка и предложил интерполяционную ф-лу, названную его именем.

Достижения Н. в механике были подготовлены работами Г. Галилея, X. Гюйгенса и др. учёных. В «Математических началах натуральной философии» Н. свёл все известные до него и все найденные им самим сведения о движении и силе в одну дедуктивную систему. Установив неск. осн. законов механики (закон инерции, закон независимого действия сил, закон о равенстве действия и противодействия), Н. вывел из них все др. теоремы механики. Открыв закон всемирного тяготения, Н. назвал ту общую силу, к-рая служит первопричиной таких разнообразных явлений, как падение тел, вращение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, движение комет, морские приливы и отливы и др. И в области небесной механики у Н. были предшественники (Дж. Борелли, Р. Гук и др.), но ему удалось найти самую совершенную формулировку закона всемирного тяготения. Он обосновал справедливость этого закона всеми известными в то время астр. фактами и вычислил на его основе траектории тел, движущихся в разл. условиях в поле тяготения. Н. исследовал движение тел в среде, оказывающей сопротивление. Сделал фундаментальные открытия в оптике, в частности выяснил причину рассеивания света; показал, что белый свет раскладывается на цвета радуги вследствие разл. преломления лучей разных цветов при прохождении через призму, и заложил основы

76

правильной теории цветов. Эти иссл. привели Н. к изобретению первого зеркального телескопа (1688). Н. исследовал также интерференцию света. Несмотря на то, что его опыты подтверждали волновую теорию света, Н. решительно выступал против неё и отстаивал гипотезу вытекания, согласно к-рой источник света выбрасывает мельчайшие материальные частицы – корпускулы. Эту теорию нек-рое время полностью отрицали, но теперь она снова возрождается (в изменённой форме). В честь Н. названа единица силы в Междунар. системе единиц – ньютон. Иностр. чл. Париж. АН (1699). Именем Н. названы кратер на видимой стороне Луны и кратер на Марсе.

77

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………... 3

ОБОЗНАЧЕНИЯ ……………………………………………………........... 4

Контрольная работа 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ………………………………..… 5

4.1.Касательная и нормаль к графику функции …………………….. 5

Задача 4.1 …………………………………………………………. 7

4.2.Дифференциал функции ……………………………………......... 8

Задача 4.2 …………………………………………………………. 8

4.3.Правило Лопиталя …………………………………………........... 9

Задача 4.3 …………………………………………………………. 10

4.4.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке …….. 10

Задача 4.4 …………………………………………………………. 11

4.5.Общая схема исследования функции ……………………………. 12

Задача 4.5 …………………………………………………………. 23

Контрольная работа 5. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ... 28

5.1.Частные производные ……………………………………………. 28

Задача 5.1 …………………………………………………………. 30

5.2.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ………............ 31

Задача 5.2 …………………………………………………………. 33

5.3.Экстремумы функции двух переменных ………………………... 34

Задача 5.3 …………………………………………………………. 35

5.4.Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области ………………………………. 37

Задача 5.4 …………………………………………………………. 37

5.5.Производная по заданному направлению ………………………. 40

Задача 5.5 …………………………………………………………. 41

78

Контрольная работа 6. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ……………………….. 43

6.1.Неопределённые интегралы ………………………………............ 43

Задача 6.1 …………………………………………………………. 46

6.2.Определённые интегралы …………………………………........... 47

Задача 6.2 …………………………………………………………. 52

6.3.Несобственные интегралы ……………………………………….. 52

Задача 6.3 …………………………………………………………. 55

6.4.Площадь плоской фигуры ……………………………………….. 57

Задача 6.4 …………………………………………………………. 58

6.5.Объём тела вращения …………………………………………….. 59

Задача 6.5 …………………………………………………………. 60

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………… 61

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ……………………….. 62

ПРИЛОЖЕНИЯ …………………………………………………………… 63

П.1. Основные элементарные функции, их графики ………………... 63

П.2. Некоторые элементарные функции ……………………………... 67

П.3. Таблица производных основных элементарных функций …….. 68

П.4. Таблица основных неопределённых интегралов ………………. 70

П.5. Биографический справочник ……………………………………. 72

79