Математика 1.2. Учебное пособие

Пусть

l0 ={cos α, cosβ} – единичный вектор направления l

(здесь

α и β – углы, образованные вектором l0

с координатными осями Ox и

Oy ). Рассмотрим градиент функции z = f (x, y)

в точке M 0 :

grad z(M 0 ) =

∂z(M

0

)

,

∂z(M

0

)

∂x

∂y

.

Справедлива формула

∂z(M 0 )

r

= grad z(M 0 ) l0

∂l

или в координатной форме

∂z(M 0 )

=

∂z(M 0 ) cos α+

∂z(M 0 )

cosβ .

∂l

∂x

∂y

Заметим, что если направление

l

задаётся вектором

l

={l1 , l2 } , то

r

l

l

единичный

вектор

этого

направления

имеет вид

l0

=

r1

,

r2

, где

l

l

r

= l 2 +l 2 .

l

1

2

Задача 5.5. Найти

производную

функции

z = f (x, y)

в

точке

M 0 (x0 , y0 )

по направлению вектора l

={l1 , l2 } :

z = x3 −2x2 y + xy2 +1 ;

M 0 (1, 2 ) ,

l ={3, 4} .

Решение.

∂z(M 0 )

=

∂z(M 0 ) cos α+

∂z(M 0 )

cosβ ;

∂l

∂x

∂y

∂z

2

2

∂z(M 0 )

2

2

= 3x

−4xy

+ y

,

∂x

= 3 1

−4 1 2 +

2

= −1 ;

∂x

∂z

= −2x

2

+ 2xy ,

∂z(M 0 )

= −2

2

+ 2 1 2 = 2 ;

∂y

1

∂y

∂z(M 0 ) = −1,

∂z(M 0 )

= 2 ;

∂x

∂y

r

2

2

r

3

4

l

=

3

+ 4

= 5

; l0 =

,

;

5

5

∂z(M 0 )

= −1

3

+ 2

4

=1;

5

5

∂l

6.1. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рассмотрим функцию

y = f (x) ,

x X ,

X R . Функция F(x) на-

зывается первообразной для функции

f (x)

на множестве

X ,

если она

дифференцируема на множестве X и

′

= f (x) для x X .

F (x)

Например,

функция

F(x) = arcsin x

является первообразной для

функции

f (x) =

1

на

множестве

X = ( −1, 1) ,

ибо

′

1 − x2

F (x) =

= (arcsin x)′ =

1

= f (x) для x ( −1, 1) ; функция F(x) = ln x явля-

1− x2

ется первообразной для функции

f (x) =

1

на множестве

X = ( 0, +∞) ,

x

′

′

1

= x = f (x)

для

x ( 0, +∞) ; функция

F(x) = −cos x

ибо F (x) = (ln x)

является

первообразной

для

функции

f (x) = sin x

на множестве

′

′

= sin x = f (x) , для x ( −∞, +∞) .

X = ( −∞, +∞) , ибо F (x) = (−cos x)

Если F(x)

– первообразная для функции f (x) на множестве X , то

для любой постоянной

C R функция Φ(x) = F(x) +C

является перво-

образной для функции

f (x)

на множестве X .

Действительно, для x X

′

′

′

′

= f (x) +0 = f (x) .

Φ

(x) = [F(x) +C]

= F (x) +(C )

Получили

Φ

′

а это означает,

по определению,

что Φ(x)

(x) = f (x) ,

является первообразной для функции

f (x)

на множестве X .

Если F1(x) , F2 (x)

– первообразные для функции f (x)

на множестве

X , то F1 (x) − F2 (x) = C для x X , где C – некоторая постоянная.

Действительно, положим H (x) = F1(x) − F2 (x) . Тогда для x X

′

= [F1 (x) − F2

′

′

′

(x) = f (x) − f (x) = 0 .

H (x)

(x)]

=

F1(x) − F2

Получили

′

F1 (x) − F2 (x) = C .

H (x) = 0 H (x) = C , т.е.

Таким образом, если F(x) – некоторая первообразная для функции

f (x)

на множестве X , то семейство всех первообразных для функции

f (x)

на множестве X задаётся формулой

F(x) +C ,

где C – произвольная постоянная.

Неопределённым интегралом от функции f (x) на множестве X на-

∫x2 dx =

x3

+C ,

3

∫cos x dx = sin x +C ,

∫

dx

= −ctg x +C .

2

sin

x

3)

∫ [ f1 (x) + f2 (x) ]dx = ∫ f1 (x) dx + ∫ f2 (x) dx ;

4)

∫ [ f1(x) − f2 (x) ]dx = ∫ f1(x) dx − ∫ f2 (x) dx ;

5)

∫ [α1 f1(x) +α2 f2 (x) ]dx = α1 ∫ f1 (x) dx +α2 ∫ f2 (x) dx ;

∫x4 dx =

x5

+C ,

5

следовательно,

∫sin 4 x d(sin x) =

sin5 x

+C .

5

а) ∫

dx

; б)

∫

x −3

dx ; в) ∫

x

dx .

x

ln x

x

2

−5x + 4

sin

2

x

Решение.

а) ∫

dx

.

x

ln x

′

dx

dx

d( ln x) = ( ln x)

dx = x ,

x = d( ln x) ;

I = ∫

dx

=

∫

d( ln x)

= 2 ln x +C ;

x

ln x

ln x

∫

du

= 2 u +C ;

u

I = 2

ln x +C .

I = ∫

dx

t = ln x

= ∫

dt

=

dt =

dx

= 2 t +C = 2 ln x +C ;

x

ln x

x

t

I = 2 ln x +C .

б) I = ∫

x − 3

dx

=

x

2

− 5x + 4

2

−

9

t dt

1

dt

1

d t

4

1

dt

= ∫

−

∫

=

∫

−

∫

=

t2 −

9

2

t2 −

9

2

t

2 −

9

2

t

2

3

2

4

4

4

−

2

∫

du

= ln

u

+C ; ∫

du

=

1

u −a

+C ;

ln

u

2

2

u

−a

2a

u + a

1 ln

9

1

1

ln

t −

3

=

t2

−

−

2

+C =

3

2

4

2

2

3

t +

2

2

3

1

5

2

9

1

x −

5

−

2 2

=

ln

x −

−

−

ln

+C =

2

2

4

6

x −

5

3

+

2

2

=

1

ln

x2 −5x + 4

−

1

ln

x −4

+C ;

6

x −1

2