Математика 1.2. Учебное пособие

Решение.

∂∂xz = ∂∂x (x cos y + y sin x) = cos y 1+ y cos x = cos y + y cos x ;

∂∂zy = ∂∂y (x cos y + y sin x) = x (−sin y) +sin x 1 = sin x − x sin y ;

Задача 5.1 решена.

5.2.КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ

КПОВЕРХНОСТИ

Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x, y) , (x, y) D , D R2 . Графиком функции z = f (x, y) называется множество вида

Г f = {(x, y, f (x, y) )| (x, y) D }.

31

K : Fx′(M 0 )(x − x0 ) + Fy′(M 0 )( y − y0 ) + Fz′(M 0 )(z − z0 ) = 0 ,

то уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности

Задача 5.2. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) :

S : x2 −2 y2 + z2 + xz −4 y −13 = 0 , M 0 (3, 1, 2 ) .

Решение.

F(x, y, z) = x2 −2 y2 + z2 + xz −4 y −13 ;

K : Fx′(M 0 )(x − x0 ) + Fy′(M 0 )( y − y0 ) + Fz′(M 0 )(z − z0 ) = 0 ;

x0 = 3 , y0 =1 , z0 = 2 ;

K : Fx′(M 0 )(x −3) + Fy′(M 0 )( y −1) + Fz′(M 0 )(z −2) = 0 ;

Fx′ = 2x + z , Fx′(M 0 ) = 2 3 + 2 = 8 , Fx′(M 0 ) = 8 ;

Fy′ = −4 y −4 , Fy′(M 0 ) = −4 1−4 = −8 , Fy′(M 0 ) = −8 ;

Fz′ = 2z + x , Fz′(M 0 ) = 2 2 +3 = 7 , Fz′(M 0 ) = 7 ;

33

K : 8(x −3) −8( y −1) +7 (z −2) = 0 ,

K : 8x −8y +7z −30 = 0 ;

N : x 8−3 = y−−81 = z −7 2 .

Задача 5.2 решена.

5.3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве D R2 . Внутренняя точка M 0 (x0 , y0 ) множества D называется точкой локального

максимума называется локальным максимумом функции и обозначается

fmax = f (M 0 ) или zmax = z(M 0 ) .

Внутренняя точка M 0 (x0 , y0 ) множества D называется точкой ло-

кального минимума функции z = f (x, y) , если Oδ(M0 ) | M O&δ(M0 )

f (M ) > f (M 0 ) . Значение функции z = f (x, y) в её точке локального минимума называется локальным минимумом функции и обозначается

fmin = f (M 0 ) или zmin = z(M 0 ) .

Точки локального максимума и точки локального минимума функ-

ции называются точками локального экстремума функции.

Локальные максимумы и минимумы функции называются локальны-

ми экстремумами функции.

Критическими точками функции z = f (x, y) называются точки, в

которых либо обе частные производные z′x , z′y равны нулю, либо хотя

бы одна из этих частных производных не существует; при этом точки, в которых обе частные производные равны нулю, называются стационарными точками функции. Таким образом, стационарные точки функции z = f (x, y) можно найти, решая систему уравнений

fx′(x, y) = 0,f y′(x, y) = 0.

34

Если M 0 (x0 , y0 ) – точка локального экстремума функции z = f (x, y) , то M 0 является критической точкой этой функции. Обратное

утверждение неверно, т.е. не всякая критическая точка функции является точкой локального экстремума этой функции. Например, критическая

хотя бы одна из частных производных не существовала, нет. Найдём стационарные точки функции:

35

ного минимума функции. Найдём локальный минимум функции:

zmin = z(M 2 ) = z(5,5) = 53 +53 −15 5 5 = 53 (2 −3) = −125 ; zmin = z(5,5) = −125 .

Задача 5.3 решена.

36

5.4. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАМКНУТОЙ ОБЛАСТИ

Непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция z = f (x, y) достигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой

области в критических точках, принадлежащих этой области или в граничных точках этой области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции в ограниченной замкнутой области:

1)находят критические точки функции, принадлежащие области D ;

2)вычисляют значения функции в найденных критических точках;

3)находят наибольшее и наименьшее значения функции на границе

области D ;

4) из значений функции, полученных в пунктах 2), 3), выбирают самое большое и самое малое.

Задача 5.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (x, y) в замкнутой области D , ограниченной заданными линиями:

z = 3x2 +3y2 −2x −2 y + 2 ; D : x = 0, y = 0, x + y −1 = 0 .

Решение. Изобразим область D (рис. 20).

Рис. 20

37

1. Найдём критические точки функции, принадлежащие области D : z′x = 6x −2 , z′y = 6 y −2 точек, где хотя бы одна из частных производ-

ных не существует, нет. Найдём стационарные точки функции, принадлежащие области D :

ГD = Г1 Г2 Г3 ,

где Г1 : x = 0, 0 ≤ y ≤1 ; Г2 : y = 0, 0 ≤ x ≤1 ; Г3 : y =1− x, 0 ≤ x ≤1.

На участке Г1 : x = 0, 0 ≤ y ≤1 , функция принимает вид

38