Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика 1.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

lim	f (x)	= k ,	lim [ f (x) −kx ]= b ,	(4)
	x
x → + ∞			x → + ∞

то прямая d : y = kx +b является правой наклонной асимптотой графика функции y = f (x) (рис. 15).

Пусть функция y = f (x) задана на полуоси ( −∞, b ] . Если существуют конечные пределы вида

lim	f (x)	= k ,	lim [ f (x) −kx ]= b ,	(5)
	x
x → − ∞			x → − ∞

то прямая d : y = kx +b является левой наклонной асимптотой графика функции y = f (x) .

Пусть область определения D( f ) функции y = f (x) содержит полу-

оси ( −∞, b ]	и [ a, +∞) и существуют конечные пределы вида (4), (5).
Тогда прямая	d : y = kx +b является двусторонней наклонной асимпто-

той графика функции y = f (x) (рис. 16).

Если хотя бы один из пределов вида (4), (5) равен бесконечности или не существует, то соответствующей асимптоты тоже не существует. Горизонтальные асимптоты можно рассматривать как частный случай наклонных асимптот (при k = 0 ).

Рис. 16

При исследовании функции и построении её графика полезно проверять эту функцию на наличие особенностей (чётность, нечётность, периодичность).

Функция y = f (x) называется чётной, если:

1)её область определения D( f ) симметрична относительно начала координат, т.е. для x D( f ) − x D( f ) ;

2)f (−x) = f (x) , x D( f ) .

График чётной функции симметричен относительно оси Oy , ибо если точка M (x, f (x) ) Г f , то точка M ′(− x, f (x) ) Г f .

Если функция окажется чётной, то дальнейшее её исследование и построение графика проводят для неотрицательных значений аргумента, а затем полученную линию отображают симметрично относительно оси ординат.

Функция y = f (x) называется нечётной, если:

1)её область определения симметрична относительно начала коор-

динат;

2)f (−x) = − f (x) , x D( f ) .

График нечётной функции симметричен относительно начала координат, ибо если точка M (x, f (x) ) Г f , то точка M ′(− x,− f (x) ) Г f .

Если функция окажется нечётной, то дальнейшее её исследование и построение графика проводят для неотрицательных значений аргумента, а затем полученную линию отображают симметрично относительно начала координат.

Функция y = f (x) называется периодической, если T R,T > 0 | выполняются следующие условия:

1) x D( f ) x −T , x +T D( f ) ;

2) f (x −T ) = f (x +T ) = f (x) , x D( f ) , при этом число T называ-

ется периодом функции.

N ~ =

Если T – период функции f (x) , то для n число T nT тоже является периодом функции f (x) .

Наименьший из всех периодов функции называется её основным периодом и обозначается T0 . Принято под периодом функции понимать её

основной период T0 .

Если функция окажется периодической с периодом T0 , то дальнейшее её исследование и построение графика проводят для значений аргу-

мента из какого-либо участка длиной T0 , а затем производят параллельный перенос полученной линии вдоль оси Ox на ± T0 , ± 2T0 и т.д.

Общая схема исследования функции.

1.Находят область определения функции.

2.Исследуют функцию на наличие особенностей (чётность, нечётность, периодичность).

3.Исследуют поведение функции в граничных точках её области определения. Попутно выясняют вопрос о наличии вертикальных и горизонтальных асимптот.

4.Исследуют функцию на монотонность и экстремум.

5.Исследуют функцию на выпуклость и вогнутость. Попутно выясняют вопрос о наличии точек перегиба.

6.Исследуют вопрос о наличии наклонных асимптот.

7.На основе информации, полученной в предыдущих пунктах, строят график функции (для этого при необходимости находят дополнительные точки графика функции).

Задача 4.5. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y = f (x) и, используя результаты исследования, построить её график:

y= x2 −2x + 2 . x −1

Решение.

1. Найдём область определения функции:

D( y) = ( −∞; 1) (1; +∞) .

2.Исследуем функцию на наличие особенностей: функция общего

вида.

3.Исследуем поведение функции в граничных точках её области определения:

−2x

+ 2

∞

−2x + 2)

′

lim

y =

lim

= lim

x −1

∞

(x −1)′

x → − ∞

=lim (2x −2) = −∞ ;

x→ − ∞

lim y = −∞ левой горизонтальной асимптоты нет.

x → − ∞

−2x

+ 2

y =

lim

= −∞ ;

x −1

x →1−0

lim

y = −∞ прямая d : x =1 – левая вертикальная асимптота.

x →1−0

−2x

+ 2

y =

= +∞ ;

lim

x −1

x →1+0

lim

y = + ∞ прямая d : x =1 – правая вертикальная асимптота.

x →1+0

Таким образом, прямая d : x =1 – двусторонняя вертикальная асимптота.

−2x + 2

∞

−2x + 2)

′

lim

y =

lim

x −1

∞

= lim

(x −1)′

x → + ∞

lim

(2x −2) = +∞ ;

x → + ∞

lim

y = +∞ правой горизонтальной асимптоты нет.

x → + ∞

4. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Для этого найдём её критические точки первого рода:

−2x +

′

−2x + 2)′(x −1) −(x

−2x + 2)(x −1)′

y′ =

x −1

(x −1)

(2x −2)(x −1) − x2

+ 2x −2

2x2 −2x −2x + 2 − x2 + 2x −2

(x −1)2

x2 −2x

′

−2x

′

x (x −2)

= (x −1)2 ;

= (x

−1)2 ;

= (x −1)2 ;

y′ = 0 ;

x (x −2)

= 0

x =

0, x = 2

= 0

(x −1)2

(x −

≠ 0

≠1

= 2

y′ не существует при x =1 . Таким образом,

функция имеет критические

точки первого рода x1 = 0 , x2 =1,

x3 = 2 . Найдём интервалы возрастания

и убывания функции.

Таблица 1

не сущ.

экстрем. нет

Из таблицы 1 видно, что x1 = 0 – точка максимума функции, x3 = 2 –

точка минимума функции. Точка

x2 =1 не является точкой экстремума

функции (по любой их следующих причин: во-первых,

x2 =1 D( y) , а,

во-вторых,

при переходе через точку x2 =1 производная y′

не меняет

своего знака):

ymax = y(0) =

−2 0 + 2

= −2

;

ymax = y(0)

= −2 ;

0 −1

ymin = y(2) =

22 −2

2 +

;

ymin = y(2)

=2 .

−

Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого най-

дём её критические точки второго рода:

x2 − 2x

′

(x2 − 2x)′(x

−1)2 − (x2 − 2x) ((x −1)2 )′

y′′ =

(x −1)2

(x −1)4

(2x − 2)(x −1)2 − (x2 − 2x) 2 (x −1)

(2x − 2)(x −1) − 2 (x

2 − 2x)

(x −1)4

(x −1)3

2 (x

2 −2x +1− x2 + 2x)

;

(x −1)3

′′

x =1 – единственная критическая точка второго рода.

= (x

−1)3

Из таблицы 2

видно,

что

Гy ∩ на

( −∞; 1) и Гy на (1; +∞) .

Точки перегиба нет, так как x2 =1 D( y) .

Таблица 2

не сущ.

точки перегиба нет

6. Исследуем вопрос о наличии наклонных асимптот:

k =

b =

−2x +

∞

1−

; k =1;

lim

= lim

lim

x (x −1)

∞

x → + ∞

1−

−2x + 2

x2 −2x + 2

− x2 + x

lim [ y

−k x ] =

lim

− x

= lim

x −1

x → + ∞

−x + 2

∞

−1+

lim

= −1

; b = −1 .

x −1

∞

x → + ∞

−

Рис. 17

Получили: k =1, b = −1 прямая d : y = x −1 – правая наклонная асимптота. Аналогично проверяется, что эта прямая является левой наклонной асимптотой. Таким образом, прямая d : y = x −1 – двусторонняя

наклонная асимптота.

7. Используя информацию, полученную в пунктах 1 – 6, строим график данной функции (рис. 17).

Задача 4.5 решена.

Контрольная работа 4 выполнена.

Контрольная работа 5

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

5.1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Пусть функция двух переменных z = f (x, y) задана на множестве D R2 и M 0 (x0 , y0 ) – внутренняя точка множества D . Зафиксируем значение аргумента y = y0 , а аргументу x придадим приращение x

такое, что точка M1(x0 + x, y0 ) D . Тогда функция z = f (x, y) получит приращение

x z = f (x0 + x, y0 ) − f (x0 , y0 ) .

Величина	x z	называется частным приращением функции
z = f (x, y) по	переменной		x в точке M 0 (x0 , y0 ) , соответствующим
приращению аргумента		x	(рис. 18).

Рис. 18

Аналогично определяется частное приращение функции z = f (x, y)

по переменной y в точке		M 0 (x0 , y0 ) , соответствующее приращению
аргумента	y :
	y z = f (x0 , y0 + y) − f (x0 , y0 ) .
Частные производные первого порядка функции						z = f (x, y)		в точке
M 0 (x0 , y0 )	по переменным x и		y определяются соответственно форму-
лами
	∂z(x0 , y0 ) =	lim	f (x0 +		x, y0 ) − f (x0 ,	y0 )	;	(6)
	∂z(x0 , y0 ) =	lim			x		;	(6)
	∂x	x→0			x
	∂z(x0 , y0 ) =	lim		f (x0 ,	y0 + y) − f (x0 , y0 )			(7)
	∂z(x0 , y0 ) =	lim						(7)
	∂y	y→0			y

при условии, что пределы в правых частях (6), (7) существуют и конечны. Другие обозначения частых производных первого порядка функции

z = f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 ) :

	z′x (x0 , y0 ) , z′y (x0 , y0 ) , fx′(x0 , y0 ) , f y′(x0 , y0 ) .
Из определения		частных производных видно, что		z′x (x0 ,	y0 ) и
z′y (x0 , y0 )	– это скорости изменения функции		z = f (x,	y) в	точке
M 0 (x0 , y0 )	соответственно вдоль оси Ox и оси Oy .
Пусть	функция	z = f (x, y) определена на	открытом множестве

D R2 и в каждой точке M (x, y) D существуют частные производные

		∂z(x, y)	,	∂z(x, y) .
		∂x		∂y
Тогда на D определены две функции вида
	(x, y) →	∂z(x, y)	,	(x, y) →	∂z(x, y) .
		∂x			∂y
Функции	∂z(x, y) ,	∂z(x, y)	называются частными производными
	∂x	∂y

первого порядка функции z = f (x, y) .

Другие обозначения частых производных первого порядка функции z = f (x, y) :


z′x (x, y) , z′y (x, y) , fx′(x, y) ,		f y′(x, y) .
Из определения частных производных функции видно, что при на-
хождении частной производной по переменной		x на переменную y и
любое выражение, содержащее только переменную y , надо смотреть как
на постоянную (ибо y	фиксировано); при нахождении частной производ-
ной по переменной y	на переменную x и любое выражение, содержащее

только переменную x , надо смотреть как на постоянную (ибо x фиксировано).

Частные производные	∂z(x, y)	,	∂z(x, y)	функции z = f (x, y) , бу-
	∂x		∂y

дучи сами функциями двух переменных, тоже могут иметь частные производные. В связи с этим вводится следующее определение. Частными производными второго порядка функции z = f (x, y) называются частные

производные от её частных производных первого порядка:

∂

z(x, y)

∂

∂z(x, y)

∂

z(x, y)

∂

∂z(x, y)

;

(8)

∂x2

∂x

∂y2

∂y

∂

z(x, y)

∂

∂z(x, y)

∂

z(x, y)

∂

∂z(x, y)

(9)

∂x ∂y

∂y

∂x

∂y ∂x

∂x

∂y

при этом частные производные (9) называются смешанными производ-

ными.

Краткое обозначение частных производных функции z = f (x, y) :

∂z

∂2 z

∂x

∂y

∂x2

∂y2

∂x ∂y

∂y ∂x

Задача

5.1. Найти частные производные второго порядка

∂2 z

∂x2

∂2 z

функции z

= f (x, y) ;

∂y2

∂x ∂y

∂y ∂x

z = x cos y + y sin x .

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]