Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика 1.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Рис. 3

Непрерывная на отрезке [ a, b ] функция y = f (x) достигает своих

наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке в критических точках первого рода, принадлежащих данному отрезку или на концах отрезка

(рис. 3).

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:

1)находят критические точки первого рода этой функции, принадлежащие данному отрезку;

2)вычисляют значения функции в найденных критических точках первого рода и на концах отрезка;

3)среди полученных значений выбирают самое большое и самое

малое.

Задача 4.4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x) на отрезке [ a, b ] :

y = 2x3 +3x2 −12x +1, [ −1,5] .

Решение.

1. Найдём критические точки первого рода, принадлежащие отрезку

[ −1, 5 ] :
y	′	= 6x	2	+6x −12	;	′
y		= 6x		+6x −12	;	D( y ) = (−∞, +∞) ,

т.е. точек, где производная не существует, нет. Найдём стационарные точки функции:

y′ = 0 , 6x2 +6x −12 = 0 , x2 + x −2 = 0 , x1 = −2 [ −1,5] , x2 =1 [ −1,5] .

Таким образом, функция имеет единственную критическую точку

x=1 , принадлежащую отрезку [ −1, 5 ] .

2.Вычислим значения функции в точках x =1 , x = −1 , x = 5 :

y(1) = 2 13 +3 12 −12 1+1 = −6 ,	y(1) = −6 ;
y(−1) = 2 (−1)3 +3 (−1)2 −12 (−1) +1 =14 , y(−1) =14 ;
y(5) = 2 53 +3 52 −12 5 +1 = 266 ,	y(5) = 266 .

3. yнаиб. = y(5) = 266 ; yнаим. = y(1) = −6 .

Задача 4.4 решена.

	4.5. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
Пусть функция		y = f (x) определена на интервале ( a, b ) . Функция
f (x) называется		возрастающей на интервале	( a, b ) ,	если	для
x1, x2 ( a, b ) , x1 < x2 f (x1) < f (x2 ) (рис. 4).
Если	функция	f (x) дифференцируема на	интервале	( a, b )	и
′	для x ( a, b ) , то f (x) возрастает на ( a, b ) .
f (x) > 0	для x ( a, b ) , то f (x) возрастает на ( a, b ) .

Рис. 4

Рис. 5

Функция f (x) называется убывающей на интервале ( a, b ) , если для

x1, x2 ( a, b ) , x1 < x2 f (x1) > f (x2 ) (рис. 5).

Если	функция f (x) дифференцируема на интервале ( a, b ) и
′	для x ( a, b ) , то f (x) убывает на ( a, b ) .
f (x) < 0	для x ( a, b ) , то f (x) убывает на ( a, b ) .

Возрастающие и убывающие функции называют монотонными функциями.

Пусть функция						y = f (x) определена на промежутке			[ a, b ] .	Точка
x0 ( a, b )			называется точкой				максимума функции		f (x) ,	если
O (x	0	) \| x O&		(x	0	) f (x) < f (x	0	) (рис. 6).
δ			δ

Рис. 6

Значение функции y = f (x) в её точке максимума x0 называется

максимумом функции и обозначается fmax = f (x0 ) или ymax = y(x0 ) .

Из рисунка 6 видно, что функция достигает своего наибольшего значения на промежутке [ a, b ] не обязательно в точке максимума (в нашем

примере функция f (x) достигает своего наибольшего значения на левом

конце промежутка). В связи с этим точку максимума функции называют также точкой локального максимума функции, а максимум функции –

локальным максимумом функции.

Функция может иметь несколько точек максимума. Функция может

не иметь точек максимума (см. рис. 4, 5).

Пусть функция

y = f (x)

определена на промежутке [ a, b ] . Рассмот-

рим точку

x0 ( a, b ) . Пусть функция f (x) дифференцируема в некото-

рой Oδ(x0 )

кроме, может быть, самой точки x0 .

Говорят, что:

′

производная

при переходе через точку

меняет знак с

(x)

«+»

на

«–», если

′

> 0

для

x ( x0 −δ, x0 )

′

для

(x)

f (x) < 0

x ( x0 , x0 +δ) ;

производная

′

при переходе через точку

меняет знак с

(x)

«–»

на

«+», если

′

для

x ( x0 −δ, x0 )

′

для

(x) < 0

f (x) > 0

x ( x0 , x0 +δ) .

Если

x0 – критическая точка первого рода функции

f (x) и при пе-

реходе через точку x0

производная

′

(x) меняет знак с «+» на «–», то x0

является точкой максимума функции

f (x) .

Пусть функция

y = f (x)

определена на промежутке [ a, b ] . Точка

x0 ( a, b )

называется

точкой

минимума функции

f (x) ,

если

) | x O&

) f (x) > f (x

) (рис. 7).

Значение функции

y = f (x)

в её точке минимума x0

называется ми-

нимумом функции и обозначается

fmin = f (x0 ) или ymin = y(x0 ) .

Из рисунка 7 видно, что функция достигает своего наименьшего значения на промежутке [ a, b ] не обязательно в точке минимума (в нашем

примере функция f (x) достигает своего наименьшего значения на левом

конце промежутка). В связи с этим точку минимума функции называют также точкой локального минимума функции, а минимум функции – локальным минимумом функции.

Рис. 7

Функция может иметь несколько точек минимума. Функция может не иметь точек минимума (см. рис. 4, 5).

Если x0 – критическая точка первого рода функции f (x) и при переходе через точку x0 производная f ′(x) меняет знак с «–» на «+», то x0 является точкой минимума функции f (x) .

Точки максимума и минимума функции называются точками экс-

тремума функции, а максимумы и минимумы функции – экстремумами функции.

Пусть функция y = f (x) дифференцируема на интервале ( a, b ) . Тогда существует касательная к графику данной функции в любой его точке

M (x, f (x) )		с абсциссой x ( a, b ) .
График		функции		y = f (x) называется				вогнутым (или		выпуклым
вниз) на интервале ( a, b ) ,					если этот график расположен выше касатель-
ной, проведённой			к	нему	в	любой	точке	M (x, f (x) )	с	абсциссой
x ( a, b )	(рис. 8).
Обозначение:			Г f	на ( a, b ) .
Если	функция y = f (x)					дважды	дифференцируема		на	интервале
( a, b ) и f	′′		для x ( a, b ) , то Г f на ( a, b ) .
( a, b ) и f	(x) > 0		для x ( a, b ) , то Г f на ( a, b ) .
										15

Рис. 8

Рис. 9

График функции y = f (x) называется выпуклым (или выпуклым вверх) на интервале ( a, b ) , если этот график расположен ниже касательной, проведённой к нему в любой точке M (x, f (x) ) с абсциссой x ( a, b ) (рис. 9).

				Рис. 10
Обозначение: Г f			∩ на ( a, b ) .
Если	функция	y = f (x)		дважды дифференцируема на интервале
( a, b ) и f	′′				∩ на ( a, b ) .
	(x) < 0 для x ( a, b ) , то Г f
Точкой перегиба			графика функции		y = f (x) называется точка
M 0 (x0 , f (x0 ) ) этого графика,				при переходе через которую направление
выпуклости графика меняется на противоположное (рис. 10).
Критическими точками второго рода функции y = f (x) называются
значения аргумента		x , при которых вторая производная функции равна
нулю или не существует.
Если x0 – критическая точка второго рода функции f (x) и при пере-
ходе через точку x0		вторая производная f			′′	меняет свой знак (с «+» на
					(x)
«–» или с «–» на «+» ), то точка M 0 (x0 , f (x0 ) )						является точкой перегиба

графика функции y = f (x) .

Для характеристики поведения графика функции при его удалении в бесконечность в том или ином направлении используется понятие асимптоты.

Прямая d называется асимптотой графика функции y = f (x) , если при удалении графика в бесконечность расстояние ρ = ρ( M , d ) от точек графика до прямой d стремится к нулю: ρ( M , d ) → 0 .

Рис. 11

	Пусть	дана	некоторая	функция	y = f (x) ,	x [ a, +∞) . Если
lim	f (x) = A , то		прямая d : y = A есть асимптота			графика функции
x →+ ∞
y = f (x) .		Её называют правосторонней			горизонтальной асимптотой
графика функции (рис. 11).
	Пусть функция y = f (x)			задана на замкнутой полуоси ( −∞, b ] . Ес-
ли	lim f (x) = A ,		то прямая	d : y = A есть асимптота графика функции
x	→− ∞

y = f (x) . Её называют левосторонней горизонтальной асимптотой гра-

фика функции.
Пусть область определения D( f ) функции	y = f (x) содержит полу-
оси ( −∞, b ] и [ a, +∞) . Если lim f (x) = A и	lim f (x) = A , то прямая
x →+ ∞	x →− ∞

d : y = A	есть двусторонняя горизонтальная асимптота графика функ-
ции y = f (x) (рис. 12).
Рассмотрим функцию y = f (x) , x D( f ) . Пусть x0 –				предельная
точка множества D( f ) .
Если	lim	f (x) = + ∞ (или	− ∞ ), то прямая d : x = x0	есть асим-
	x →x0 −	0
птота графика функции y = f (x) .			Её называют левосторонней верти-
кальной асимптотой графика функции (рис. 13).
Если	lim	f (x) = + ∞ (или	− ∞ ), то прямая d : x = x0	есть асим-
	x →x0 +	0
птота графика функции y = f (x) .			Её называют правосторонней верти-

кальной асимптотой графика функции.

Рис. 12

Рис. 13

Если оба односторонних предела функции y = f (x) в точке x0 рав-

ны бесконечности (неважно какого знака), то прямая d : x = x0	есть дву-
сторонняя вертикальная асимптота графика функции	y = f (x)

(рис. 14).

Помимо горизонтальных и вертикальных асимптот график функции может иметь наклонные асимптоты.

Рис. 14

Рис. 15

Пусть функция y = f (x) задана на полуоси [ a, +∞) . Если существуют конечные пределы вида

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]