Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика 1.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

3)∫ f (x) dx = −∫ f (x) dx ;

4)	∫α f (x) dx = α ∫ f (x) dx ;
	a	a
	b		b	b
5)	∫ [ f1(x) + f2 (x) ]dx = ∫ f1(x) dx + ∫ f2 (x) dx ;
	a		a	a
	b		b	b
6)	∫ [ f1 (x) − f2 (x) ]dx = ∫ f1 (x) dx − ∫ f2 (x) dx ;
	a		a	a
	b		b	b
7)	∫ [α1 f1(x) +α2 f2 (x) ]dx = α1 ∫ f1 (x) dx +α2 ∫ f2 (x) dx ;
	a		a	a
	b
8)	∫ [α1 f1(x) +α2 f2 (x) +... +αn fn (x) ]dx =
	a
	b		b	b
	= α1 ∫	f1(x) dx +α2	∫ f2 (x) dx +... +αn ∫ fn (x) dx ;
	a		a	a
9)	свойство аддитивности определённого интеграла:
		b	c	b
		∫ f (x) dx = ∫ f (x) dx + ∫ f (x) dx .
		a	a	c

При вычислении определённых интегралов применяется также фор-

мула интегрирования по частям: если функции u = u(x) , v = v(x) непре-

рывно дифференцируемы на промежутке [ a,b ] , то

b			ba	b
∫u(x) dv(x) = u(x)v(x)			ba	− ∫v(x) du(x)
a				a
или в краткой записи
b	ba		b
∫u dv = uv	ba	− ∫v du .
a			a

При вычислении определённого интеграла от функции, содержащей иррациональности, подбирают замену переменной (подстановку) таким образом, чтобы избавиться от иррациональностей.

Задача 6.2. Вычислить определённый интеграл

∫

dx .

2x +1

Решение.

t =

2x +1

x = 0, t =1

(t +1) −1

I = ∫

dx =

x = 4, t = 3

= ∫

dt = ∫

dt =

t +1

1+ 2x +1

x =

(t 2 −1)

= tdt

d(t +1)

= ∫ 1−

dt = ∫ dt − ∫

= t

−

∫

= 3 −1−ln

t +1

t +

t +1

= 2 −( ln 4 −ln 2 ) = 2 −ln 2 ;

I = 2 −ln 2 .

Задача 6.2 решена.

6.3. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3 =

Несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на полуоси [ a,+∞) . Тогда ν > a существует определённый интеграл

I (ν) = ∫ f (x)dx .

По определению,

+∞			ν
∫	f (x)dx =	lim I (ν) =	lim	f (x)dx .	(17)
∫		ν→+∞	ν→+∞ ∫
a			a

Если предел в правой части (17) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся.

Если же такой предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на полуоси ( −∞,b ] . Тогда μ < b существует определённый интеграл

I (μ) = ∫ f (x)dx .

По определению,

b				b
∫	f (x)dx =	lim I (μ) = lim		∫	f (x)dx .	(18)
∫		μ→−∞	μ→−∞	∫
−∞				μ

Если предел в правой части (18) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же такой предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется

расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на всей числовой оси ( −∞, +∞) . По определению,

+∞	c	+∞
∫ f (x)dx =	∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,		(19)
−∞	−∞	c

где c – некоторое конкретное число (например, можно взять c = 0 ). Если оба несобственных интеграла в правой части (19) сходятся, то

несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования называется сходящимся. Если же хотя бы один из несобственных интегралов в правой части (19) расходится, то несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования называется расходящимся.

Несобственные интегралы

+∞ b +∞

∫ f (x)dx , ∫ f (x)dx , ∫ f (x)dx

a −∞ −∞

называются несобственными интегралами первого рода.

Несобственный интеграл от функции, неограниченной в верхнем пределе интегрирования

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на полуинтервале

[ a, b ) и lim f (x) = + ∞ (или − ∞ ). Тогда ν ( a,b ) существует опре-
x→b−0
делённый интеграл
		ν
	I (ν) = ∫ f (x)dx .
		a
По определению,
b				ν
∫	f (x)dx =	lim I (ν) =	lim	∫	f (x)dx .	(20)
∫		ν→b−0	ν→b−0	∫
a				a

Если предел в правой части (20) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же такой предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется

расходящимся.

Несобственный интеграл от функции, неограниченной в нижнем пределе интегрирования

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на полуинтервале

( a,b ] и lim f (x) = + ∞ (или − ∞ ). Тогда μ ( a,b ) существует оп-

x→a+0

ределённый интеграл

I (μ) = ∫ f (x)dx .

По определению,

b				b
∫	f (x)dx =	lim I (μ) =	lim	∫	f (x)dx .	(21)
∫		μ→a+0	μ→a+0	∫
a				μ

Если предел в правой части (21) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же такой предел равен бесконечности или не существует, то несобственный интеграл называется

расходящимся.

Несобственный интеграл от функции, неограниченной во внутренней точке промежутка интегрирования

Пусть функция y = f (x) определена и непрерывна на множестве

[ a, c ) ( c,b ] и lim f (x) = + ∞ (или − ∞ ). По определению,
x→c
b	c	b
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx .			(22)
a	a	c

Если оба несобственных интеграла в правой части (22) сходятся, то несобственный интеграл

b
∫ f (x)dx	(23)

называется сходящимся. Если же хотя бы один из несобственных интегралов в правой части (22) расходится, то несобственный интеграл (23) назы-

вается расходящимся.

Несобственные интегралы вида (20) – (22) называются несобствен-

ными интегралами второго рода.

Задача 6.3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:

+∞

3dx

а)

∫

; б)

∫

16x4 +1

−

3 1+

Решение.

+∞

x3dx

а)

I = ∫

lim

∫

16x4 +1

ν→+∞

16x4 +1

t =16x4 +1

x3dx

x = 0, t =1

16ν4 +1

I (ν) = ∫

x = ν, t =16ν4

∫

16x4 +1

dt = 64x3dx

x3dx =

2 t

16ν4 +1

16ν

+1 −1 ;

I (ν) =

16ν

+1 −1 ;

lim

16ν

+1 −1

= + ∞

ν→+∞

∫

I = + ∞ , т.е. данный несобственный интеграл является расходящимся.

б) I = ∫

1 + 3x

−

Подынтегральная функция

f (x) =

имеет бесконечный раз-

1+3x

рыв в нижнем пределе интегрирования

a = −

, так как

f (x) =

= + ∞ .

lim

x→−

+0 3 1 +

lim1

∫

1+3x

μ→−

+0 μ

−

(1+3x)

I (μ) = ∫

∫(1+

3x)

3 d(1+3x)

3x)

(1+

1−

(1+3μ)

;

I (μ)

1 −

(1 + 3μ)

;

lim

1−

(1+3μ)

μ→−

1 +0

I = 12 , т.е. данный несобственный интеграл сходится и равен 12 .

Задача 6.3 решена.

6.4. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Пусть плоская фигура D определяется системой неравенств

a ≤ x ≤ b,

ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x),

при этом предполагается, что ϕ(x) ≤ ψ(x) , для x [ a, b ] (рис. 23). Площадь фигуры D вычисляется по формуле

b	b
SD = ∫ψ(x) dx − ∫ϕ(x) dx .		(24)
a	a
Формулу (24) можно записать в виде
b	[ψ(x) −ϕ(x) ]dx .
SD = ∫	[ψ(x) −ϕ(x) ]dx .
a
Пусть плоская фигура D определяется системой неравенств
	c ≤ y ≤ d ,

μ( y) ≤ x ≤ ν( y);
при этом предполагается, что μ( y) ≤ ν( y) , для y [ c, d ]		(рис. 24).

Рис. 23

Рис. 24

Площадь такой фигуры вычисляется по формуле

d d

SD = ∫ν( y) dy − ∫μ( y) dy

c c

или

SD = ∫ [ν( y) −μ( y) ]dy .

Если плоская фигура D не подходит под указанные виды, то её разбивают на части таким образом, чтобы каждая из частей подходила под один из указанных видов. Затем вычисляют площадь каждой части и полученные результаты суммируют.

Задача 6.4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями. Сделать чертёж фигуры:

D : y = x2 , y = 2 − x2 .

Решение. Фигура D имеет вид (рис. 25).

1	2		2		1			2			x	3	1			1		8
1					1							3	1
SD = 2 SD1 = 2 ∫(2 − x					∫(1
		− x		) dx = 4		− x			) dx = 4	x −				= 4 1	−		=		;
		− x		) dx = 4		− x			) dx = 4	x −	3			= 4 1	−	3	=	3	;
0					0						3		0			3		3
0					0		8	.					0
					SD	=	8
					SD	=	3
							3
58

		Рис. 25
Задача 6.4 решена.
6.5. ОБЪЁМ ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
Пусть функция y = f (x)		определена и непрерывна на отрезке
[ a, b ] . Рассмотрим тело	Ω ,	образованное вращением вокруг оси Ox
криволинейной трапеции	ABNM , ограниченной графиком MN функции

y = f (x) , прямыми x = a , x = b и осью Ox (рис. 26). Объём тела Ω вычисляется по формуле

VΩ = π ∫ [f (x) ]2 dx .

Рис. 26

Задача 6.5. Вычислить объём тела Ω , образованного вращением

вокруг оси Ox плоской фигуры, ограниченной линиями x2 − y = 0 ,										x = 2 ,
y = 0 .
Решение. Искомое тело Ω имеет вид (рис. 27).
	b
	VΩ = π ∫ [f (x) ]2 dx ;
	a
2	2		x5		2	π			32π
2	2				2
VΩ = π ∫ (x2 )2 dx = π ∫ x4dx = π					=		(25	−05 )=		;
VΩ = π ∫ (x2 )2 dx = π ∫ x4dx = π					=	5	(25	−05 )=	5	;
0	0	5			0	5			5
	VΩ =	32π		.
	VΩ =			.
		5

Рис. 27

Задача 6.5 решена.

Контрольная работа 6 выполнена.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]