Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«ТЮМЕНСКИЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Учебное пособие для вузов

Тюмень

ТИУ

2019

УДК 517.9(075.8) БКК 22.161.6я73 В 676

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры бизнес-информатики и математики ТИУ А. Г. Обухов;

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и математической логики ТГУ В. Г. Шармин

Кратные и криволинейные интегралы: учебное пособие для В 676 вузов / сост. Е. Е. Волкова, Н. В. Терехова. – Тюмень: ТИУ, 2019.

– 80 с.

ISBN 978-5-9961-2009-3

Учебное пособие содержит теоретические пояснения к основным разделам теории многомерных интегралов, детально разобранные типовые задачи, задания различных уровней сложности для самостоятельного решения.

Учебное пособие рекомендуется при изучении дисциплины «Математика» для студентов, обучающихся по направлению 23.03.01 «Технология транспортных процессов», 23.03.02 «Наземные транспортно-технологические комплексы».

Большой набор задач различной степени сложности окажет помощь преподавателям в организации аудиторных занятий, при составлении контрольных работ и заданий для самостоятельной работы студентов.

УДК 517.9(075.8) БКК 22.161.6я73

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика является универсальным аппаратом для изучения всех естественных и технических дисциплин. Она играет важную роль в развитии научного потенциала будущего инженера. Многие студенты испытывают затруднения при изучении и применении на практике основных понятий и методов раздела «Кратные и криволинейные интегралы». Учебное пособие раскрывает их основное содержание и помогает выработать навыки применения кратных и криволинейных интегралов для решения различных задач.

Вистории математического анализа интегральное исчисление занимает особенно важное положение. Оно является инструментом решения как одномерных, так и многомерных математических задач. Некоторые многомерные задачи, например, такие как вычисление площади и объема, можно решить и с помощью определенного интеграла от функции одного аргумента. Но такое решение возможно только в некоторых частных случаях. Полное же решение названных (и многих других) задач можно произвести с помощью кратных и криволинейных (многомерных) интегралов.

Таким образом, кратные и криволинейные интегралы являются мощным инструментомисследованияматематическогоанализаиегоприложений.

Вкаждой главе пособия даются необходимые теоретические сведения, содержащие основные определения и теоремы. Затем приводится решение типовых задач и задачи для самостоятельной работы. Часть из них снабжена указаниями. Также пособие содержит большой набор индивидуальных и тестовых заданий.

Учебное пособие может быть использовано студентами как под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения раздела.

Для студентов, обучающихся заочно, подробно решенные задачи могут заменить устные объяснения преподавателя, получаемые студентами очного обучения.

Учебное пособие может оказаться полезным не только студентам, но

иначинающим преподавателям, а также школьным учителям, ведущим элективные курсы.

При подборе задач авторами были использованы различные сборники задач по высшей математике, в частности «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Б.П. Демидовича; «Сборник задач по высшей математике» В.П. Минорского; «Задачник по высшей математике» В.С. Щипачева и др.

4

1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

1.1. Задачи, ведущие к вычислению двойного интеграла

Рассмотрим две основные задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.

Задача 1 об объеме цилиндрического тела

чины каждой элементарной части. После суммирования этих значений применяется предельный переход при неограниченном увеличении количества разбиений.

;и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основа-

5

;, мало отличается от значения ρ ( ; ). Поэтому, считая при-

Тогда масса всей пластины будет задаваться следующим приближенным равенством:

Точное значение массы пластины получим при нахождении предела этой суммы при неограниченном увеличении числа разбиений, то есть при

Итак, двойной интеграл от функции ρ (x, y) численно равен массе пластинки, в том случае, если подынтегральную функцию ρ (x, y) считать плотностью этой пластинки в точке (x, y). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

7

→ ∞

щий от способа разбиения области D на части Di и от выбора в них точек M i , называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.

Двойной интеграл обозначается следующим образом:

, .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством:

, lim ; ∙∆ .

→

Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади будет равен ds=dxdy. Тогда двойной интеграл в декартовых координатах представится в виде

, lim ; ∙∆ ∆ .

→

8

В этом случае функция f x, y называется интегрируемой в области

грала. Эти свойства используются для вычисления двойного интеграла и

9

2. НАХОЖДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

2.1. Приведение двойного интеграла к повторному

Исходя из геометрического смысла двойного интеграла, отмеченного в 1.1, рассмотрим сведение его к так называемому повторному интегралу.

Для определенного интеграла от функции одной переменной известна формула для вычисления объема тела по площадям его поперечных сечений.

Рассмотрим тело, которое ограничено плоскостями x=a и x=b, как показано на рисунке 2.1. Пусть сечение плоскостью, перпендикулярной оси Ox имеет площадь Q(x) при . Тогда объем названного тела выражается формулой:

2.1

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Воспользуемся этой формулой для вычисления объема криволинейного цилиндра. Возьмем самый простой случай, при котором основанием

10