Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

3. Масса кривой

Масса материальной кривой AB (провод, цепь, трос,…) определяется формулой:

m (x, y)dl , где (x; y) — плотность кривой.

AB

4. Статические моменты.

Статические моменты относительно осей Ox и Oy материальной кривой AB определяются по формулам:

5. Координаты центра тяжести

Координаты центра тяжести материальной кривой AB определяются по формулам:

xc Smy , yc Smx .

6. Моменты инерции.

Для материальной кривой AB моменты I x , I y, IO инверсии относительно осей Ox, Oy и начала координат соответственно равны:

Решение. Так как функция задана в явном виде, то для вычисления души кривой используем формулу:

51

Пример 21. Найти площадь поверхности параболического цилиндра y 83 x2 , ограниченного плоскостями y 6, z 0, z x (x 0) .

Решение. Элемент площади цилиндрической поверхности (Рис. 4.5) представляет собой прямоугольник с основанием dl и высотой z f (x; y) x , и равен dS f (x, y)dl .

Рис. 4.5. Цилиндрическая поверхность

Тогда площадь поверхности S можно вычислить по формуле:

52

Тогда длина заданной кривой равна:

Пример 23. Найти длину кардиоиды, заданной уравнениями:

x 2acost acos2t,0 t 2y 2asint asin 2t

Решение. Найдем производные:

x' 2asint 2asin2t, y' 2acost 2acos2t .

Теперь найдем dl:

dl x' 2 y' 2 dt 2a sin t sin 2t 2 cost cos2t 2 dt

Тогда длина данной дуги равна:

Пример 24. Найти длину пространственной кривой, заданной параметрически:

x(t) 3t

L : y(t) 3t 2 , 0 t 1.

z(t) 2t3

Решение. Используя формулу нахождения длины, получим

L dl x' 2 y' 2 z' 2 dt

L

53

1 3 2 6t 2 6t 2 2 dt 1 9 36t 2 36t 4 dt

Пример 25. Определить массу провода, имеющего форму полуокружности, заданную уравнениями:

L : x2 y2 1, с плотностью 2y.

y 0

Решение. Уравнение полуокружности (Рис. 4.6) в параметрическом

x cost

виде имеет вид: L : y sint , 0 t

Рис. 4.6

y 1 x .

54

Решение. Для нахождения координат центра масс, необходимо вычислить массу кривой и статические моменты. Масса кривой соответственно равна:

m y 1 xdl,

L

где dl 1 ( y')2 dx 1 xdx , тогда вычислим массу, которая равна:

Теперь найдем статические моменты относительно осей координат.

Следовательно, координаты центра масс равны:

xc Smy 18964 : 1635 2720 ; yc Smx 15 : 1635 167

20 ; 7 .

Таким образом, координаты центра тяжести 27 16

55

Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая AB (или L) и функция P x; y , определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую

точками в направлении от точки A к точке B на n дуг и в каждой элементарной дуге выберем точку xˆi ; yˆi и составим сумму вида

n

P xˆi ; yˆi xi , где xi проекция дуги на ось Ох.

i 1

Данную сумму называют интегральной суммой для функции P x; y по

переменной х. Конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой AB, ни от выбора точек xˆi ; yˆi называют криволинейным интегралом по

координатеx (илиII рода) отфункции P x; y покривойAB иобозначают:

Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции Q x; y по координате y:

Общий вид криволинейного интеграла II рода в двумерном случае имеет вид:

P x; y dx Q x; y dy

L

Если L – дуга пространственной кривой (Рис. 4.7)

от точки A до точки B с указанным на ней направлением определяется:

P x; y dx Q x; y dy R x; y dz

L

Рис. 4.7

Свойства криволинейного интеграла II рода:

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейного II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е.

AB BA

57

2. Если кривая AB точкой С разбита на две части AC и CB, то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т.е.

AB AC CB

3. Если кривая AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ox, то

P x; y dx 0;

L

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Oy:

Q x; y dy 0;

L

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (Рис. 4.8) не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода кривой.

AmCnA CnAmC

Рис. 4. 8

4.5. Вычисление криволинейного интеграла II рода

Криволинейные интегралы второго рода вычисляются сведением их к определенным интегралам.

1. Явное представление кривой интегрирования

Если дуга Lзадана уравнением y y x , a x b , где функция y x и ее производная непрерывны на данном отрезке, тогда

b

P x; y dx Q x; y dy P x; y x Q x; y x y x dx

2. Параметрическое представление кривой интегрирования

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями:

58

x x t , t ; ,

y y t

где функции и непрерывны вместе со своими производными. Причем начальной точке A кривой соответствует значение параметра t

, а конечной точке B значение t .

P x; y dx Q x; y dy P x t ; y t x t Q x t ; y t y t dt .

Пример 36. Вычислить: x y dx y2dy , где L это дуга параболы

L

y x2 от точки O(0,0) до A(1,1).

Решение. Кривая задана явным уравнением (Рис. 4.9), следовательно, найдем dy и по формуле выразим криволинейный интеграл через опреде-

ленный интеграл. y x2 dy 2xdx.

Рис. 4.9

Пример 37. Вычислить 8x 4y 2 dx 8y 2 dy , где L - ломан-

L

ная кривая OBA, A(3;6), B(3;0).

Рис. 4.10 Ломаная OBA

59

Решение. Ломаная OBA состоит из двух звеньев отрезок OB и отрезок BA (рис. 4.10). По свойству криволинейного интеграла II рода:

8x 4y 2 dx 8y 2 dy

L

8x 4 y 2 dx 8y 2 dy 8x 4y 2 dx 8y 2 dy

OB BA

Вычислим каждый интеграл отдельно:

1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки O(0;0) и B(3;0): y=0. Переменная x менятся от 0 до 3, тогда

правление движения от точки B к точке A, следовательно, переменная y меняется от 0 до 6.

Вычислим заданный интеграл:

В результате получаем 8x 4y 2 dx 8y 2 dy 42 156 198.

L

Пример 38. Вычислить xdx xydy , где – Lэто верхняя полуокруж-

L

ность радиуса R, проходимая против часовой стрелки.

Решение. Так как, кривой интегрирования является окружность, то перейдем к параметрическим координатам: