Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Тогда криволинейный интеграл сведется к определенному интегралу:

2;4
2xy y2 dx x2 2xy dy
1;1
2	dx x2 2x	3x 2 3 dx
2x 3x 2 3x 2 2	dx x2 2x	3x 2 3 dx
1
2
36x2 28x 4 dx 12x3 14x2 4x			12 48 2 46.
36x2 28x 4 dx 12x3 14x2 4x			12 48 2 46.
1

Пример 63. Проверить, что данный криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и вычислить его.

1;1

ydx xdy

0;0

Решение. В данном интеграле: P(x; y) y, Q(x; y) x , тогда

P	1;	Q	1	P		Q
y		x		y		y

Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования.

В качестве пути интегрирования можно взять либо отрезок прямой y x или дугу параболы y x2 (каждая из перечисленных кривых прохо-

дит через обе точки О(0;0), А(1;1)) либо ломанную, соединяющую точки О и А, звенья которой параллельны осям координат: ОВА или ОСА (рис. 4.17).

Рис. 4.17 Возможные пути интегрирования

В качестве пути интегрирования выберем отрезок прямой y x .

	y x dy dx
Криволинейный интеграл сведется к определенному интегралу:
1;1	1	1		1 1.
ydx xdy xdx xdx 2 xdx x2
0;0	0	0		0


Пример 64. Проверить условие независимости пути интегрирования
и вычислить криволинейный интеграл:
1;1		3y2 3x dy
3x2 3y dx
0;0
Решение. В данном интеграле: P(x; y) 3x2 3y, Q(x; y) 3y2 3x ,
тогда
P	3; Q 3	P	Q
y	x	y	y

следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования.

В качестве пути интегрирования можно взять либо отрезок прямой или другой функции ,которая проходит через точки с координатами (0;0) и (1;1). Выберем отрезок прямой y x dy dx.

Подставим в криволинейный интеграл вместо y, значение x, а вместо dy dx и получим определенный интеграл:

1;1			1
3x2 3y dx 3y2 3x dy			3x2 3x dx 3x2 3x dx
0;0			0
1	x3			x2	1		1		1
					1


6 x2 x dx 6						6	3		2	1
6 x2 x dx 6						6				1
	3			2
0					0
0					0
Пример 65. Найти первообразную функции									, если
dU 3x2 6xy2 dx 6x2 y 4 y3 .
Решение. В данном интеграле:
P(x; y) 3x2 6xy2 , Q(x; y) 6x2 y 4 y3 ,
тогда
P 12xy;	Q	12xy				P Q
y	x					y		y

Пусть

;

0, тогда

∙0

Задания для самостоятельной работы

В задачах 66-70 проверить, что криволинейные интегралы не зависят

от пути интегрирования и вычислить их.

2;3

2 dx 3x2 y y2 dy .

66.

3xy2

0;0

3;0

4xy3 dx 6x2 y2

5y4 dy .

67.

2; 1

12;5

68.

dy .

3;4

6;1;1

69. yzdx xzdy xydz .

1;2;3

4;5

70. 3x2 y y dx x3 x dy .

1;2

	В задачах 71-75 найти первообразную функцию														;	по ее полно-
му дифференциалу.															;
	71.	dU 4 x2				y2 xdx 4 x2				y2 ydy.
	73.			2					2	.		.
	72.
	74.							2			.
	75.			2			3	2		3	.	5		.
72.	Ответы:			2	62;		3	1		3		5		.	2	С;
72.	66.	37;	67.		62;		73.	56;		0;	70.	336.		74.	2	С;
			67.				68.		69.		70.		71.
75.				3		С;			С.				С;			С;
75.						С;							С;			С;
										73
										73

4.8. Приложения криволинейного интеграла II рода

Криволинейные интегралы второго рода, так же как и первого рода, имеют широкое применение в математике и физике. Мы ограничимся рассмотрением двух задач.

1. Площадь плоской фигуры

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле:

S 1 xdy ydx, 2 L

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

2. Работа переменной силы

Переменная сила F P x; y ;Q x; y на криволинейном участке АВ производит работу, которую можно найти по формуле

A Pdx Qdy

Пример 76. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x2, x=y2, 8xy=1 и примыкающей к началу координат.

Решение. Построим данную фигуру (рис. 4.18).

Точки пересечения данных кривых:		1	;	1		1	;	1
	A	2		4	, B	4		2	.

Рис. 4.18

Тогда площадь фигуры можно найти как сумму трех интегралов:

S	1	xdy ydx	1	xdy ydx	1	xdy ydx	1	xdy ydx
	2	L	2	OA	2	AB	2	BO
		L		OA		AB		BO
				74

S 1 2

2 0

OA: 0 x 12 ; y x2; dy 2xdx.

		AB :	1 x				1	; y			1	; dy					1		dx.
		AB :	1 x				2	; y		8x		; dy				8x2			dx.
			4				2			8x						8x2
		BO : 0 x					1	; y			x; dy					1			dx.
		BO : 0 x					4	; y			x; dy				2		x		dx.
					1		4								2		x
					1															0
	2			1	4			1					1					1		0			1
(x 2xdx x		dx)		1				1					1					1					1
									dx					dx							x				dx	xdx
						x			dx					dx							x				dx	xdx
				2	1			8x2					8x					2		1		2		x
					2															4

	1		1												1
	1		1					0								2		1						0
	2 x2dx		4 dx											x3		2		1
1		1				1											1 ln x		14		x		x				1 3ln 2
		1							xdx												x		x				1 3ln 2			(кв.ед.)
									xdx																					(кв.ед.)
2	0	8	1	x 4				1					6				8					6			1			24
			2					4							0			2							4
			2					4							0
Пример 77. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом:
														x acost
													L :
Решение.														y bsint
Решение.								x a cos t dx a cos tdt ,
								x a cos t dx a cos tdt ,
								y bsint dy bsintdt
		1	xdy ydx							1		2
	S	1	xdy ydx							1			a cost b cost bsin t a sin t dt
		2	L							2			0
			L		2								0					2
		ab			2		cos2 t sin 2 t dt ab											2
		ab					cos2 t sin 2 t dt ab											dt ab							(кв.ед.)
				2	0												2	0
					0													0
Пример 78. Найти работу, совершаемую полем																											F xy; x y при
перемещении тела от начала координат O(0,0) до точки А(1,1) по траекто-
рии L, где L – линия заданная уравнением y																				x .
Решение. Согласно формуле имеем:
																	1									dx
	A xydx								(x y)dy x xdx x															x		dx
	A xydx								(x y)dy x xdx x															x
				AB													0								2		x
				AB													0									1
		1			3			x		1							2 x5			x3			x2					37
		1			3			x		1							2 x5			x3			x2					37
																													.
				x
				x				2		2	dx						5			3			2					30
		0						2		2							5			3			2			0		30
																										0

Пример 79. Вычислить работу силового поля	при пере-
мещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса

x2 y2 1 a2 b2

от точки C(a,0) к точку B( a,0).

Решение. Запишем дугу эллипса CB в параметрической форме:

x acost, 0 ty bsint .

Тогда

dx asintdt, dy bcostdt

Работа силового поля равна


A ydx xdy absin 2 t ab cos2 t dt ab dt ab.
CB	0					0
	Задания для самостоятельной работы
80. Вычислить площадь, ограниченную астроидой
			3	t
	x a cos			t	,0	t 2
		3			,0	t 2
		3		t
	y asin			t

	81. Вычислить площадь, ограниченную параболами y2 x,																			x2 y .
82.		Вычислить		площадь					четырехугольника									с вершинами
A(6;1), B(4;5), C(1;6), D( 1;1).											2кривой					4		2
83.		Вычислить работу силы																		при пере-
мещении		материальной			точки			вдоль												от точки
		к точке				.
84.		к точке				.
84.			работу силы										при перемещении матери-
√2;0		Вычислить √2;0											при перемещении матери-
альной точки вдоль кривой						4				4	от точки					0;2	к точке					1;0	.
85.						4				4						0;2	при					1;0
85.		Найти работу силы F (x2							y2 )i ( y2					2x) j					перемещении
вдоль линии L: y2 2x				от M 0;0 до						N 2;2 .
	Индивидуальные задания
	Ответы: 80.		3 a2	; 81.			1	; 82.		45		; 83.	48		2	; 84.	7	; 85.			4	.
	Ответы: 80.		8	; 81.			3	; 82.		2		; 83.	5			; 84.	3	; 85.			3	.
			8				3			2			5				3				3

Индивидуальные задания

1. Найти работу силы F при перемещении вдоль линии L от точки M

к N .

2.Вычислить интеграл двумя способами: непосредственно и по формуле Грина. L -контур многоугольника ABCEA.

3.Проверить, является ли данное выражение полным дифференциалом некоторой функции. В случае положительного ответа найти её с помощью криволинейного интеграла. Сделать проверку.

1.1F xy2i yj; L : y e x ; M (0;1); N(1;e) .

1.2 x2 ydx xy 2dy; A(2; 2); B(0;0);C(0; 2) .

(L)

1.3 (x2 y2 )2 (xdx ydy) .

2.1 F (x2 y 2 )i ( y2 2x) j; L : y 2 2x; M (0;0); N (2;2)

2.3 xdx (2x 3y)dy; A(4; 2);B(1; 2);C( 1; 4);E(4; 4) .

(L)

2.3. (12 x2 y2 4)dx (13 x3 y 5)dy

3.1			(x2		x 2cost	; M (2;0); N(0;2) .
3.1	F	(x y)2 i	(x2	y2 ) j	; L :	; M (2;0); N(0;2) .
					y 2sin t

3.2	( y x)dx (x y)2 dy ; A(0; 3);B( 3;0);C( 3; 3) .
	(L)
3.3	(x2 y2 )(xdx ydy) .
4.1	F (x2 y 2 )i	y 2 j ; L : y			x; M (0;0); N (4;2) .
4.2	(2x 3y)2 dx ydy ; A( 1;0);B( 1;4);C( 4;4);E( 4;2) .
	(L)		1
4.3	(x2 y3 5)dx (x3 y2		1	)dy .
4.3	(x2 y3 5)dx (x3 y2			)dy .
			y2
5.1	F xi xyj ; L : y cos x; M (				;0)N(0;1).
					2
5.2	xdx (x y)dy ; A(0; 4); B(4; 4);C(4;0) . 5.3 ydx xdy .
	(L)				x2 y2
		77

6.1F (x2 y)i (x2 y) j ; L : y x2 4; M (0; 4); N (2;0) .

6.2 xdx (2x 3y)2 dy ; A(1;0); B(4;2);C(4;4); E(1;4) .

(L)

		x				1 dy) .
	e		(	y	dx
6.3		y		y
6.3		y
				x2		x
7.1	F (x y)i j ; L : x2 y2 4;( y 0); M (2;0); N ( 2;0) .
7.2	xydx ydy					; A(2;3); B( 2;3);C(2; 3) . 7.3 ydx xdy .
	(L)							(x y)2
8.1	F xi xyj ; L : x2						y2	1;(x 0; y 0);M (1;0); N(0;3) .
8.1	F xi xyj ; L : x2							1;(x 0; y 0);M (1;0); N(0;3) .
						9
8.2	(x2 xy)dx (xy y 2 )dy ; A(0; 2);B(0; 5);C(6; 5);E(3; 2) .
	(L)
8.3	ydx xdy .
	(x y)2

9.1F yi xj ; L : y x3; M (0;0); N (2;8) .

9.2(3x 2 y)dx ydy ; A(2; 3);B( 2;3);C( 2; 3).

(L)

9.3 (e x y cos(x y))dx (e x y cos(x y) 2)dy .

10.1 F (xy x)i x2 j ; L : y 2 x; M (0;0); N (1;2) .

10.2	2xydx ydy ; A(3;2);B(6;5);C(0;5);E(0;2) .
	(L)
10.3	(x4 y)dx (3 x)dy .

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа [Текст] / Г. Н. Берман. – Москва: Наука, 1985. – 416 с.

2.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч., Ч. 2. [Текст]: учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – 6-е изд. – Москва: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003. – 416 с.

3.Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу [Текст]: учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович. – Москва:

АСТ: Астрель, 2007. – 558 c.

4.Ильин, В. А. Математический анализ [Текст]: начальный курс / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х Сендов. – 2-е изд., перераб. – Москва:

Изд-во МГУ, 1985. – 662 с.

5.Карташев, А. П. Математический анализ [Текст]: учеб. пособие для физико-технических и инженерных специальностей вузов / А. П. Карташев, Б. Л. Рождественский. – Москва: Наука, 1984. – 447 с.

6.Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ [Текст]: учебник для студентов вузов. В 2-х томах. Т. 2. / Л. Д. Кудрявцев. – 2-е изд., перераб. – Москва: Высшая школа, 1973.

7.Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике: 2 курс [Текст] / К.Н. Лунгу.– 6-е изд. – Москва: Айрис-пресс, 2007. – 592 с.

8.Минорский, В. П. Сборник задач по высшей математике [Текст]: учебное пособие для втузов / В. П. Минорский. – 14-е изд., – Москва: Издательство Физико-математической литературы, 2003. – 336 с.

9.Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст]: полный курс / Д. Т. Письменный. – 7-е изд. – Москва: Айрис-пресс, 2008. – 608 с.

10.Сборник задач по высшей математике (с контрольными работами) [Текст]: 2 курс / К. Н. Лунгу и др. , под ред. С. Н. Федин. – 7-е изд. – Москва: Айрис-пресс, 2009. – 590 с.

11.Шипачев, В. С. Математический анализ [Текст]: учебное пособие для вузов / В. С. Шипачев. – Москва: Высшая школа, 1999. – 176 с.

ФЗ №436-ФЗ Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 4 ст.11

Учебное пособие

Волкова Елена Евгеньевна Терехова Наталья Владимировна

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В авторской редакции

Подписано в печать 04.09.2019. Формат 60×90 1/16. Печ. л. 5,0. Тираж 500 экз. Заказ № 1563.

Библиотечно-издательский комплекс федерального государственного бюджетного образовательного

учреждения высшего образования «Тюменский индустриальный университет». 625000, Тюмень, ул. Володарского, 38.

Типография библиотечно-издательского комплекса. 625039, Тюмень, ул. Киевская, 52.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]