Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Обозначим наибольшую из длин частичных дуг										через	:
Если		существует конечный					max		∆
Если							предел интегральных сумм при
),	то его		называют криволинейным интегралом первого рода от
(функцииn	f	x; y	по кривой AB и обозначают:								→0
								n
					f x; y dl lim f xi ; yi li .
					L		n i 1
							0
В этом случае функция							называется интегрируемой вдоль кри-
вой АB, а сама кривая АB – контуром,								интегрирования, А – начальной, а B –
конечной точками интегрирования.
Если функция					,	непрерывна в каждой точке гладкой кривой АB
(в каждой точке					,	существует касательная к данной кривой и по-
ложение ее непрерывно,						меняется при перемещении точки по кривой), то
функция			интегрируема вдоль кривой и величина криволинейного
интеграла первого,				рода не зависит ни от способа разбиения кривой на час-
ти, ни от выбора точек						.
Аналогично вводится понятие криволинейного интеграла первого
рода от функции					, ,	по пространственной кривой .

Свойства криволинейного интеграла первого рода:

1. f x; y dl f x; y dl ,

то есть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. 2. c f x; y dl c f x; y dl, c const ,

L L

то есть постоянный множитель можно вынести за знак интеграла. 3. f1 x; y f2 x; y dl f1 x; y dl f2 x; y dl ,

L L L

то есть интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.

4. f (x; y)dl	f x; y dl	f x; y dl , если путь интегрирования L разбит
L	L1	L2

на части L1 и L2 такие, что L L1 L2 и имеют L1 и L2 единственную общую точку.

5.Теорема о среднем: Если функция f x; y непрерывна на кривой AB, то на этой кривой найдется точка xc ; yc такая, что

f x; y dl f xc ; yc l .

	AB
6. Если функция	интегрируема вдоль контура , то функция

	\|	, \|		f x; y dl f x; y dl.
			также интегрируема,		вдоль и
							,	, ,
				L		L
7.	Если для точек кривой
7.	то	f1 x; y dl f2 x; y dl.выполняется неравенство
		L	L

Криволинейный интеграл первого рода так же, как и определенный интеграл, имеет геометрический смысл. Если определенный интеграл

	,
при	представляет собой площадь криволинейной трапеции, то

криволинейный интеграл

при 0 численно равен площади куска цилиндрической поверхности, которая составлена из перпендикуляров к плоскости Оху, восстановленных в точках M , кривой АВ и имеющих переменную длину .

В частности, если ≡ 1, то получим криволинейный интеграл

значение которого есть длина дуги кривой АВ.

4.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая L задана явным образом, параметрическим и в полярных координатах.

1. Явное представление кривой интегрирования
Если кривая задана уравнением y x , a x b , где	непре-

рывная, дифференцируемая функция, то dl 1 f x 2 dx и криволинейный интеграл I рода сводится к определенному по формуле:

f x; y dl f x; y x 1 x 2 dx .

					L							a
Пример 1. Вычислить															dl				, где L:y 4 2x, 0 x 1.
Пример 1. Вычислить														x 2 y					, где L:y 4 2x, 0 x 1.
											L			x 2 y
											L
Решение.					Так		как				y 4 2x y 2 dl																	1 2 2 dx 5dx.
Следовательно,				интеграл примет вид:
		dl			1			5dx					1						dx			5						1				5		ln 5.
					1								1															1
													5										ln		8 3x

						x 2 4 2x
L	x 2y				0								0					8	3x			3						0			3 8
	x 2y																	8	3x			3									3 8

Пример 2. Вычислить														интеграл криволинейный интеграл I рода
L xydl ,где		:				,	0							2		.
Решение. Найдем производную√																			функции														.
Следовательно,																													образом,
Следовательно,							1												√1	4									образом,
							1												√1	4					. Таким,						2
				√																	1	4			;			1			4
				√																	1	4			;			1			4
																				8				2				;
;						∙			∙	1			4
																																	1 4
																									0,тогда								1 4
						1	∙ ∙															1			√2,	тогда					3		3
		1	3		4		∙ ∙			4								16				16			5			3			1		149
		1	3			1	3			1			1						242			26		1			∙	596					149		.
		16			5					3							16		5			3			16		∙	152		y			360		.
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл x																														y				dl , где L
																											L
контур треугольника							ABO с вершинами A 1;0 , B 0;1 , O 0;0 .

Решение. Контур треугольника ABO состоит из трех звеньев отрезок AB, BO и AO (Рис. 4.2).

Согласно свойствам криволинейного интеграла I рода:

x2 y3 dl		x2 y3 dl	x2 y3 dl x2 y3 dl
L	AB	BO	OA

Вычислим каждый интеграл отдельно и затем найдем их сумму:

1) AB : y 1 x, y' 1 dy 1 1 2 dx 2dx

x2	1	x2					1	x2 1 x 3	dx
x2	y3 dl	x2		1 x 3 2dx 2				x2 1 x 3	dx
AB	0					1	0
			x3		1 x 4		7 2
			x3		1 x 4		7 2
					4		12
			3		4		12
						0
						0

Рис. 4.2. Контур треугольник АВО

2) BO : x 0, x' 0 dx 1 02 dy dy

	1		1		y4			1	1

x2	y3 dl	02	y3 dy y3dy
						4			4
BO	0		0					0

3) OA: y 0, y' 0 dy 1 02 dx dx
	1		1		x3		1		1

x2	y3 dl	x2	03 dy x2dx

OA	0		0	3			0		3

Найдем сумму интегралов, в результате получим:

		x2 y3 dl	7 2	1	1	7 12 7 .
		L	12	4	3	12
		L
2. Параметрическое представление кривой интегрирования.
Пусть кривая		задана параметрическими				x x t		,
Пусть кривая		задана параметрическими				уравнениямиL :		,
t ; , где	,					y y t
t ; , где	,	– непрерывные,		дифференцируемые функции,			а

,– функция, непрерывная вдоль данной кривой, тогда

dl x t 2 y t 2 dt

и криволинейный интеграл I рода сводится к определенному интегралу по формуле:

			x' t	y t		dt .
	f x; y dl f x t ; y t		x' t	y t		dt .
			2		2
L
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл ydl , где L дуга
x(t) t sint					L
x(t) t sint		, 0 t 2 .
циклоиды:	1 cost	, 0 t 2 .
y(t)	1 cost

Решение. Подынтегральная функция примет вид: y 1 cos t .

Вычислим производные и найдем dl:

x'(t) 1 cost; y'(t) sint ,

тогда

dl	1 cost 2 sin2 tdt			1 2cost cos2 t sin2 tdt														2 1 cost dt .
Следовательно, интеграл примет вид:																							3
	2										2			3			2					t	3
	2										2			3			2					t	2
ydl	1 cost	2 1 cost dt								2			1 cost 2 dt				2	2sin			2			dt
ydl	1 cost	2 1 cost dt								2			1 cost 2 dt				2	2sin			2	2		dt
L	0	2										0	2				0					2
		2			3		t						2		2 t				t
		2 2 2 sin						dt		4 2 1 cos							d cos
		2 2 2 sin				2		dt		4 2 1 cos						2	d cos		2
		0				2							0			2			2
						cos			3		t		2
									3		t		2
			t												1			1		32
			t							2					1			1		32
		8 cos								2			8	1		1						.
		8 cos	2					3					8	1	3	1		3		3		.
			2					3							3			3		3

													0
													0

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл y2dl , где L часть

x 3cost			L
x 3cost			(Рис. 4.3).
окружности	, t 0;	2	(Рис. 4.3).
y 3sin t		2

Решение. Найдем производные:

x(t) 3cost x'(t) 3sin t; y(t) 3sin t y'(t) 3cost.

Рис. 4.3 дуга окружности L

Дифференциал дуги равен

dl 3sint 2 3cost 2 dt 9(sin2 t cos2 t)dt 3dt.

Вычислим заданный интеграл:

	y2dl 2 3sin t 2 3dt 27 2 1										1 cos 2t dt
	L	0						0		2
	L	0						0
				27		1						27
				27		1			2			27
				2	t	2	sin 2t					4
									0
									0
Пример 6.		Вычислить криволинейный интеграл xy2 zdl,															где L
														L
													x 2 cost
часть окружности находящаяся в первой октанте														2sin t
часть окружности находящаяся в первой октанте													y	2sin t		, t 0;		2	.
														z 3				2
Решение. Найдем производные:														z 3
Решение. Найдем производные:
			равен				;	2				;		0	,
тогда дифференциал дуги			равен
тогда дифференциал дуги					2
dl	2sin t 2 2 cost 2 02 dt											4(sin2 t cos2 t)dt 2dt.
							46

Выразим подынтегральную функцию через параметр t

∙ 2

∙3 24

Следовательно,

∙2∙

48	48∙	3	2	16			2	0	16.
48	48∙	3	0	16			2	0	16.
3. Полярное представление кривой интегрирования.
Если плоская кривая L задана уравнением						r r , в по-
лярных координатах, то dl r 2		(r'	)2 d и


f x; y dl f r cos ; r sin					r2 r 2 d .
L
Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл
	x2 y 2 dl , где L окружность x2					y2		2x .
L

Решение. Используем формулы перехода в полярную систему коор-

динат:

x r cos ; y r sin .

Подынтегральная функция примет вид:

x2 y2 r2 cos2 r2 sin2 r.

Уравнение окружности примет вид:

x2 y2 2x

r 2 cos2 r 2 sin2 2r cos ; r 2 2r cos ; r 2cos .

А дифференциал дуги примет вид:

dl r2 r'2 d 4cos2 4sin2 d 2d .

При этом			;	. Следовательно,
		2	2

	x2 y2 dl			2 r 2d 4	2 cos d 4sin
						2 8.
						2 8.
L						2
				2	2
Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл						x2 y 2 dl , где L
окружность x 2 y 2		6 y (Рис. 4.4).			L
окружность x 2 y 2		6 y (Рис. 4.4).

Решение. Используем формулы перехода в полярную систему коор-

динат:

x r cos , y r sin

Преобразуем уравнение окружности:

x2 y2 6 y; r 2 6r sin r 6sin .

Вычислим производную и найдем dl:

r' 6cos , dl 6sin 2 6cos 2 d 6d .

O	p

Рис. 4.4. Окружность в полярной системе координат

Пределы интегрирования 0 . Вычислим заданный интеграл:


	x2 y2 dl	r2 6d 6 6sin d 36cos	0	72


L	0	0

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл x y dl , где L

лепесток лемнискаты r		2	sin 2 ,
лепесток лемнискаты r			sin 2 ,				0;	2	.
								2
Решение. Так как r	sin 2 ,то									2
			1			∙2		2		2			;
			2	2		∙2		2		2			;
					2					2	.
					2					2	.
								2		2				∙
										2
			2				2			2
			2	2			2	∙				2			.

Используем формулы перехода в полярную систему координат: x r cos , y r sin , получим

по условию				2			2
по условию				2
	2			2		2
						2
						0
		2	2	0	0	2.

Задания для самостоятельной работы

В задачах 10-19 вычислить криволинейный интеграл первого рода:

		ydl,
10.	AB				где AB задана уравнением	2 , от А (0;0) до В (1;√2).
			2
11.	x			3y dl, где AB — отрезок прямой от А (1;–1) до В (2;1).

12.

, где L — отрезок OA. O (0;0), А (1;2).

x2 y2

13.

где L — отрезок прямой

между точка-

с осями координат. 3

ми пересеченияL 5x 2прямойy

14.

dl, где AB дуга параболы

2 sin, отt

А (2;2) до В (8;4).

x t

15.

y2dl, где L— дуга циклоиды

, 0 t 2

y 1 cost

16.

xydl,

где L— дуга циклоиды x cost,

y sin t

17.

x y dl, где L — правый лепесток лемнискаты

r 2 4 cos .

18.

x 2y dl, где L — дуга астроиды в первом квадранте.

19.

x2 y2 dl, где L — окружность x2

y 2 2

4 .

5 3

Ответы:10.

√

; 11.

√

; 12. ln

; 13.

√

; 14.

√

; 15.

;16. ; 17. 4 2 ; 18. ; 19. 32 .

4.3.Приложения криволинейного интеграла I рода

Криволинейный интеграл первого рода имеет различные приложения в математике и физике.

1. Длина кривой

Длина l кривой AB плоской или пространственной кривой можно найти по формуле:

l dl.

2. Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая AB, лежащая в плоскости Oxy, а образующая параллельна оси Oz, то площадь поверхности, задаваемойфункцией z f (x; y) , можнонайтипоформуле:

S f (x; y)dl.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 85 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]