Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

часовой стрелки).

Решение. Криваяпараметрическимиуравнениями, найдемпроизводные:

x(t) 2cost dx sin tdt; y(t) 5sin t dy 5costdt.

По условию направление обхода кривой против часовой стрелки, значит параметр t изменяется от до 32 (рис. 4.11)

61

Задания для самостоятельной работы

62

Ответы: 40. 4; 41. 395; 42. 25 ; 43. 401930 ; 44. 7 14 ; 45. 354 ; 46. 10;

47. ; 48. 43 .

4.6. Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области D икриволинейныминтеграломII родапогранице( L) этойобласти.

Пусть на плоскости Oxy задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более, чем в двух точках, то есть область D – правильная.

Теорема 1. Если кривая L замкнута и ограничивает область D, а функции P x; y и Q x; y непрерывны вместе со своими производными

Px и Qy в области D и на ее границе, то имеет место формула

где L – граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).

Пример 49. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный интеграл x ln x2 y2 dx y ln x2 y2 dy , где L ограничивает

L

область D.

Решение. В данном интеграле

P x; y x ln x2 y2 , Q x; y y ln x2 y2 .

Найдем частные производные:

63

точки. Направление обхода контура L против часовой стрелки. Проверить результат непосредственным интегрированием.

Рис. 4.12 Контур L

Решение. Контур замкнутый (Рис. 4.12), следовательно, данный интеграл можно вычислить с помощью формулы Грина.

Проверим результат непосредственным интегрированием. Из рисунка видно, что заданный контур состоит из дуги параболы OBA: y x2 и отрезка прямой AO: y 2x. Таким образом,

64

Вычислим каждый интеграл:

1)OBA: y x2 , dy 2xdx, 0 x 2.

2x 3y dx 3x 4 y dy 2 2x 3x2 dx 3x 4x2 2xdx

2)AO: y 2x, dy 2dx, 0 x 2.

0 14x dx 7x2 02 28

2

В результате получим,

2x 3y dx 3x 4y dy 20 28 8

L

Пример 51. Применяя формулу Грина, вычислить

2 x2 y2 dx x y dy ,

L

если L контур треугольника с вершинами A(1;1), B(2;2), C(1;3), пробегаемый против хода часовой стрелки (Рис. 4.13). Проверить результат непосредственным интегрированием.

Решение.

у

С

В

А x

0

Рис. 4.13

65

В данном примере

P x; y 2 x2 y2 , Q x, y x y 2 .

Найдем частные производные и их разность

Таким образом,

2 x2 y2 dx x y dy 2x 2 y dxdy,

L D

где область D треугольник ABC. Уравнение прямой AB : y x , уравне-

Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по контуру L, состоящему из звеньев AB, BC, CA:

2 x2 y2 dx x y 2 dy 2 x2 y2 dx x y 2 dy

Пример 52. Применяя формулу Грина, вычислить

x2 ydx xy2dy ,

L

где L окружность x2 y2 R2 , пробегаемая против хода часовой стрел-

ки (Рис. 4.14).

Решение. Здесь P x; y x2 y, Q x, y xy2. y

Рис. 4.14

Задания для самостоятельной работы

В задачах 53-55 применяя формулу Грина, преобразовать криволинейные интегралы по замкнутому контуру, проходимые в положительном направлении, в двойные интегралы.

53. x y ydx x y dy.

В задачах 56-60 применяя формулу Грина вычислить криволинейные интегралы. Проверить результат непосредственным интегрированием.

56. 2 x2 y2 dx x y 2 dy, где L контур треугольника с верши-

4.7. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от контура интегрирования

Область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области D (Рис. 4.15).

Пусть A(x0 ; y0 ) и B(x1; y1) две произвольные точки односвязной области D плоскости Oxy. Точки A и B можно соединить различными линиями и по каждой из этих линий интеграл P x; y dx Q x; y dy имеет

AB

свое значение.

68

Рис. 4.15 Односвязная область D

Если значение интеграла P x; y dx Q x; y dy по всем возможным

AB

кривым AB одинаковы, то говорят, что интеграл не зависит от пути интегрирования. Тогда, для интеграла достаточно отметить только начальную и конечные точки пути интегрирования A(x0 ; y0 ) и B(x1; y1) .

Теорема 2. Для того, чтобы криволинейный интеграл II родаP x; y dx Q x; y dy не зависел от пути интегрирования в односвязной

L

области D, в которой P(x;y), Q(x;y) и их частные производные Py , Qx не-

прерывны, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось равенство:

P Q .

y x

Для вычисления интеграла, не зависящего от пути интегрирования, следует выбрать наиболее выгодный, простейший путь интегрирования, соединяющий точки A(x0 ; y0 ) и B(x1; y1) .

Подынтегральное выражениеP x; y dx Q x; y dy при условиях указанных в теореме 2 является полным дифференциалом некоторой одно-

69

Решение. P x; y 2xy y2 ; Q x; y x2 2xy

Находим частные производные

P 2x 2y; Q 2x 2y .

y x

Так как, Py Qx , то интеграл не зависит от пути интегрирования.

В качестве пути интегрирования можно взять либо отрезок прямой или другой функции, которая проходит через точки с координатами (1;1) и (2;4). В качестве пути интегрирования выберем отрезок прямой

y 3x 2 dy 3dx .

y

70