Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

Ответы:

2.3. Двойной интеграл в полярных координатах

Рассмотрим важнейший случай замены переменной при вычислении двойного интеграла, состоящий в переходе к полярным координатам.

Напомним, что полярные координаты выражаются через прямоугольные координаты следующими формулами:

21

При этом начало прямоугольной системы координат совмещено с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью. Приведем и формулы обратного преобразования:

Формула перехода к полярным координатам в двойном интеграле имеет вид:

;cos ; sin

Переходить к полярным координатам при вычислении двойного интеграла удобно в тех случаях, когда область интегрирования есть круг (рисунок 2.11), кольцо или их часть, а также в случае, когда подынтегральная

му координат, находят нужные пределы интегрирования по r и .

22

Рис. 2.13

Пусть область D расположена между лучами φ=α и φ=β, где α< β, и ограничена линиями r r1 и r r2 , где r1 r2 и любой луч, выходящий из полюса φ=const ( , ) пересекает ее границу не более чем в

двух точках (рисунок 2.13). Такая область называется правильной относительнокоординатыr. Тогдадвойнойинтегралсводитсякповторномупоформуле:

; ;

прямыми y=x и y 3x .

Решение. Область D изображена на рисунке 2.14. Переведем ее границы в полярные координаты: уравнение окружности имеет вид r=a.

23

деляем, что координата r изменяется от 0 до а. Тогда по формуле перехода к полярным координатам получаем:

Пример 10. Перейти к полярной системе координат и расставить пределы интегрирования в двойном интеграле

24

Пример 11. Вычислить x2dxdy , где D : x 0, y 0, x2 y2 4.

D

Решение. Так как уравнение линии, ограничивающей область интегрирования, содержит сумму , которая в полярных координатах принимает более простой вид, для вычисления данного интеграла целесообразно перейти к полярным координатам.

Совместим прямоугольную и полярную системы координат (рисунок 2.16). Уравнение окруж-

часть круга, расположенная в первой четверти, то полярный угол изменяется от 0 до .

Таким образом, область интегрирования D в полярнойсистемекоординатзадаетсянеравенствами:

Воспользуемся формулой перехода к полярным координатам в двойном интеграле и затем представим двойной интеграл в виде повторного:

Задания для самостоятельной работы

В задачах 21 – && вычислить двойные интегралы с помощью перехода к полярным координатам:

1

. ; четверть круга

1

25

26

3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА

3.1. Геометрические приложения двойного интеграла

Вычисление объема цилиндрического тела

Как было показано ранее, объем цилиндрического тела находится по формуле

V f x, y dxdy , где D – есть проекция дан-

D

ного пространственного тела на плоскость Oxy.

Имеем: V 2 y dxdy .

D

Область D есть параболический сегмент, ограниченный параболой и прямой у=2. Представляя двойной интеграл в виде повторного, выберем порядок интегрирования сначала по x, затем по y. В направлении оси

Ox область является правильной. Левой границей области является часть

на ось Оу, получаем, что пределами внешнего интеграла по переменной y будут числа 0 и 2. Таким образом, искомый объем будет равен:

√

27

Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

1 , 5.

Рис. 3.2

Рис. 3.3

Решение: Данное тело ограничено параболоидам вращения с осью

28

как известно, численно равен площади S основания D. Таким образом, получаем формулу для вычисления площади S области D:

2 ,

или, в полярных координатах

3 .

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

29

Решение: Область приведена на рисунке 3.4. Данная область является правильной в направлении оси Oy, так как ее нижней границей является

ресекает ее границу только в двух точках. Поэтому представим двойной интеграл в виде повторного с порядком интегрирования сначала по y, потом по x. Проекцией области интегрирования на ось Ox является отрезок

ружностью и параболой (рисунок 3.5).

Рис. 3.5

30