Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

Эта область является правильной в направлении оси Ox, так как любая прямая, проведенная через область в направлении оси Ox, пересекает границу области только в двух точках. Кроме этого заметим, что область симметрична относительно оси Ox, поэтому при нахождении площади можно ограничиться нахождением ее половины. Возьмем половину области, расположенную в верхней полуплоскости. Для того, чтобы расставить пределы интегрирования в повторном интеграле, найдем координаты точек пересечения линий:

√6; √6 и √6; √6 .

Так как область является правильной в направлении оси Ox, то внутренний интеграл будем вычислять по переменной x, считая y константой, а внешний интеграл — по переменной y.

Выразим x через y из уравнений линий границ области:

Находим площадь в декартовых координатах:

√ √

31

Окончательно получаем:

36 4 3 2.

Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Рис. 3.6

Решение: Два первых уравнения второй степени определяют окружности. Чтобы их построить, приведем эти уравнения к каноническому виду, выделяя полные квадраты:

координаты центров и радиусы окружностей, строим область, площадь которой требуется найти.

При вычислении площади данной области целесообразно перейти к полярным координатам, используя формулы связи декартовых и полярных координат:

Аналогичным образом получаем уравнение второй окружности в полярных координатах: 10cos .

32

Далее переведем уравнения прямых в полярные координаты:

Аналогично уравнение второй прямой в полярных координатах будет иметь вид:

3.

Теперь вычислим площадь данной области:

3.2. Физические приложения двойного интеграла

Вычисление массы плоской пластинки

Напомним, что физический смысл двойного интеграла заключается в том, что двойной интеграл по замкнутой области D от функции, выражающей зависимость поверхностной плотности в каждой точке от ее координат, равен массе этой плоской области:

Решая данную систему, получим координаты точек: А (1; 0), В (4; 3) (рисунок 3.7).

Рис. 3.7

Тогда из физического смысла двойного интеграла следует, что искомая масса

Решение: Массу пластины вычисляем по формуле (4):

3

Рис. 3.8

34

Поскольку пластина является круглой (рисунок 3.8), при вычислении данного интеграла перейдем к полярным координатам по формулам

cos ,

При вычислении внутреннего интеграла учтем тот факт, что интеграл по периоду от тригонометрических функций равен нулю. Окончательно получаем:

Пример 9. Найти массу пластинки D, ограниченной кривыми:

4, 9, 0, 0 0, 0 , если плот-

ность в каждой точке области определяется формулой

2

Решение: Область интегрирования представляет собой часть кругового кольца, расположенного во второй координатной четверти (рисунок 3.9).

Поэтому вычисление массы пластинки проведем с помощью перехода к полярным координатам. Уравнения границ области в поляр-

ных координатах будут иметь вид:

35

статические моменты пластинки D относительно осей Ox и Oy соответственно.

Используя обозначения статических моментов и массы пластинки, формулы для вычисления координат центра масс можно представить в более компактном виде:

36

Далее находим координаты центра масс:

11

6

Вычисление моментов инерции материальной пластинки

Моменты инерции относительно начала координат и осей координат Ox, Oy материальной пластинки D, лежащей в плоскости Oxy и имеющей непрерывно распределенную поверхностную плотность , , вычисляются соответственно по формулам:

Пример 11. Вычислить моменты инерции относительно точки границы однородногокругаиегодиаметра, еслирадиускругаравенR, авесравенP.

Решение: Поместим начало координат в точку, лежащую на границе круга, а центр круга — в точку С (R; 0). (рисунок 3.11).

Тогда решение задачи сведется к нахождению моментов инерции круга относительно начала координат и

оси Ox. Так как круг однороден и его плотность постоянна и равна

Уравнение окружности в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид

, а в полярной:

2 cos .

37

Для данной области выполняются соотношения

Находим момент инерции относительно начала координат:

Подставляя в полученное выражение значение плотности

получаем:

33

22

Теперь найдем момент инерции круга относительно оси Ox.

,

38

11

Подставляя в полученное выражение значение плотности

,получаем

1

44

39