Кратные и криволинейные интегралы. Учебное пособие для вузов

;.

Используя определенный интеграл от функции одной переменной, который определяет площадь криволинейной трапеции, получим:

;

Подставим полученное значение Q(x) в формулу (2.1):

Таким образом, двойной интеграл сводится к двукратному (или повторному) интегралу.

Аналогичный результат можно получить и для более общего случая, когда область D на плоскости Oxy представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную двумя кривыми: , , где

и двумя ординатами x=a и x=b, то:

; .

Подводя итог проведенным рассуждениям, получаем:

11

2.2. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

Двойной интеграл по области, правильной в направлении оси Oy

Определение 1: Область D на плоскости Oxy

можем назвать правильной в направленииоси

боковых сторон – отрезками прямых x=a, x=b (рисунок 2.3). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку. Область данного вида задается двумя неравенствами:

;.

Всякая прямая, параллельная оси Oy и проходящая внутри отрезка [a, b], пересекает границу правильной области только в двух точках М1 и М2 (рисунок 2.3).

В этом случае двойной интеграл по правильной в направлении оси Oy области вычисляется по формуле:

В правой части формулы стоит повторный интеграл, в котором сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y. Он берется в предположении, что x const. В результате получается некоторая функция от x:

; .

После этого вычисляется внешний интеграл от этой функции по отрезку [a, b]:

В результате второго интегрирования получается число, которое и является значением двойного интеграла.

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

12

Для применения формулы (2.4) область D необходимо спроектировать на ось Ох и получить отрезок [a, b], границы x=a и x=b которого являются пределами интегрирования при внешнем интегрировании. Затем нужно провести координатные линии x=const, пересекающие область D и определить нижнюю и верхнюю границы области.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

Решение. Область D является правильной в направлении оси Оу, так как любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках (рисунок 2.4).

При любом фиксированном значении х, принадлежащем отрезку [0; 2], координата y меняется от до 2 . Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой (2.4):

Двойной интеграл по области, правильной в направлении оси Ox

Определение 2: Область D на плоско-

сти Oxy можно назвать правильной в направ-

лении оси Ox, если она ограничена слева линией , справа линией , где и непрерывные функции, а сверху и снизу – отрезками прямых y=c, y=d (ри-

сунок 2.5). В частных случаях один из этих отрезков (или оба вместе) могут превратиться в точку. Область данного вида задается неравенствами:

; .

13

Здесь всякая прямая, параллельная оси Ox и проходящая внутри отрезка [c, d], пересекает границу правильной области только в двух точках. В случае данной правильной области двойной интеграл вычисляется по формуле:

ординатной линии y=const).

Для применения формулы (2.5) область D нужно спроектировать на ось Оy и получить отрезок [c, d] (рисунок 7). Границы этого отрезка y=c и y=d являются пределами интегрирования во внешнем интеграле. Затем нужно провести координатные линии y=const, пересекающие область D и

Следует заметить, что значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования.

14

Двойной интеграл по прямоугольной области

Наиболее простой вид формулы (2.4) и (2.5) принимают в случае прямоугольной области D, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=c, y=d (рисунок 2.7). Прямоугольник a x b, c y d явля-

ется одновременно правильной областью в направлении обеих осей.

Для вычисления двойного интеграла в этом случае можно применять любую из формул (2.4)

и (2.5):

Пример 3. Вычислить интеграл

, где 0 1;0 2 .

Решение. Данный двойной интеграл сводится к повторному интегралу по формуле (2.6):

.

При вычислении внутреннего интеграла по у, считаем переменную х постоянной величиной, которую по первому свойству двойного интеграла выносим за знак интеграла:

2

Замечания:

1. Если область D является правильной областью в направлении любой оси, то для вычисления двойного интеграла можно применять и формулу (2.4), и формулу (2.6):

15

2.Если область D не является правильной, то при помощи прямых, параллельных координатным осям, ее разбивают на конечное число простых областей и для вычисления двойного интеграла используется третье свойство двойного интеграла.

3.Аналогичные определения и формулы справедливы и тогда, когда замкнутая область D лежит либо в плоскости xOz, либо в плоскости yOz. Например, если ограниченная замкнутая область D лежит в плоскости xOz

иявляется простой относительно оси Oz, а в ней задана непрерывная функция y=f(x,z), то

Рассмотрим еще несколько примеров вычисления двойного интеграла в декартовой системе координат.

Пример 4. Вычислить интеграл

,где 1 2,0 2 .

Решение: Для прямоугольной области применяем формулу (2.7):

.

В данном примере приведем первый способ вычисления повторного интеграла. Отдельно вычислим внутренний интеграл по переменной y, потом внешний – по переменной x.

Сначала вычислим внутренний интеграл, считая переменную x константой:

После подстановки пределов интегрирования по y, получаем функцию от х: I(x)=2x+4, которую интегрируем по отрезку [1,2]:

16

Пример 5. Вычислить интеграл

,где 0 1;0 1 .

Решение: Как и в примере 4, двойной интеграл сводится к повторному по формуле (2.7):

.

При вычислении внутреннего интеграла по у, считаем х константой, которую по первому свойству двойного интеграла, выносим за знак интеграла. Здесь покажем второй способ записи вычисления повторного интеграла:

∙ 4

Пример 6. Вычислить интеграл

,где область ограничена линиями:

x=0, y=0, x=π, y=1+cos x.

Решение.

Область D является правильной в направлении оси Оу, так как любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области только в двух точках (рисунок 2.8). При любом фиксированном значении х из отрезка [0, π] координата y меняется от y=0 до y=1+cos x. Поэтому для вычисления интеграла воспользуемся формулой

(2.4):

17

Отметим, что для вычисления данного интеграла можно было воспользоваться и формулой (2.6), так как область D является правильной и в направлении оси Ox. Но в этом случае границы области нужно задавать в виде х=х(у), что в данном примере приводит к более громоздким вычислениям.

Пример 7. Вычислить интеграл

у=2π.

Решение.

Область D является правильной в направлении оси Оx. Левая ее граница x=0, а правая – x=2+siny. При любом фиксированном значении у из отрезка [0,2π] определяем, что координата х изменяется от x=0 до x=2+siny (рисунок 2.9). Поэтому по формуле (2.6) имеем:

18

Замечание. Решая данный пример, еще раз убеждаемся в том, что одна и та же область интегрирования может быть правильной в направлении одной оси, но неправильной в направлении другой. Поэтому при вычислении конкретных двойных интегралов в таких случаях удобнее выбирать порядок интегрирования так, чтобы область в направлении соответствующей оси была правильной.

19

Задания для самостоятельной работы

В задачах 1 – 3 расставить пределы интегрирования в повторном интеграле:

;,если областью интегрирования являются:

1. прямоугольник с вершинами: О (0; 0), А (0; 2), В (4; 2), С (4; 0);

2. треугольник с вершинами: О (0; 0), А (1; 2), В (1; 0);

3. трапеция с вершинами: О (0; 0), А (0; 2), В (2; 4), С (2; 0).

В задачах 4–6 изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:

В задачах 7 – 12 вычислить двойные интегралы по прямоугольным областям:

В задачах 13–20 вычислить двойные интегралы по областям D, ограниченным данными линиями:

20