Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 2. Учебное пособие

5.2.Системы линейных дифференциальных уравнений с

6.1.Матрицы и дифференциальные уравнения. Дифференцирование

6.2.Нормы векторов и матриц. Бесконечные ряды векторов и

6.3.Существование и единственность решения векторного

Список литературы………………………………………………………………52

3

Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.

Уравнение вида

линейное относительно неизвестной функции и еѐ производных, называется

линейным дифференциальным уравнением n – ого порядка.

непрерывны на отрезке [a,b] и, следовательно, ограничены по модулю. Таким образом, функция f (x, y, y ,.., y(n 1) ) удовлетворяет условию Липшица по

всем переменным, начиная со второй.

Запишем линейное однородное уравнение

линейный дифференциальный оператор (линейное дифференциальное выражение).

Линейный дифференциальный оператор обладает свойствами:

1. L[cy] cL[ y],

т.к. (cy)(n) p1 (x)(cy)(n 1) .. pn (x)(cy)

c y(n) p1 (x) y(n 1) .. pn (x) y 2. L[ y1 y2 ] L[ y1] L[ y2 ],

4

Опираясь на свойства линейного оператора L, установим ряд теорем о решениях линейных однородных дифференциальных уравнений (л. о. д. у.).

i 1

решением того же уравнения.

Теорема 3.

Если л. о. д. у. L[y]=0 с действительными коэффициентами pi (x) имеет комплексное решение y(x) U (x) iV (x) , то его действительная U(x) и

мнимая V(x) части в отдельности являются решениями того же уравнения. Доказательство. Используя свойства 1) и 2) имеем:

L[U iV ] L[U ] iL[V ] 0,

откуда L[U] 0, L[V] 0, т.к. комплексная величина тождественно равна нулю, тогда и только тогда, когда ее действительная и мнимая части тожественно равны нулю.

Определение. Функции y1(x), y2 (x),...,yn (x) называются линейно зависимыми (предполагается, что ни одна из функций yi (x) тождественно не

равна нулю на [a,b]) на некотором отрезке a x b если существуют постоянные числа 1, 2 ,.., n такие, что на этом отрезке

причем хотя бы одно i 0.

5

Если тождество (3) справедливо лишь при 1 2 ... n 0, то функции y1(x), y2 (x),...,yn (x) называются линейно независимыми на отрезке a x b.

Пример 1.

Функции 1, x, x2 ,...,xn линейно независимы на любом отрезке [a,b], т.к. тождество

1 2 x 3 x2 ... n 1xn 0

возможно лишь, если все i 0 . Если хотя бы одно i 0 , то слева стоял бы

многочлен степени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращаться в нуль не более чем в n точках отрезка.

Пример 2.

Функции eq1x ,eq2 x ,...,eqn x , где qi q j , если i j, линейно независимы на любом

отрезке a x b.

Допустим, что эти функции линейно зависимы, т.е.

Продолжая эту процедуру (т.е. деля на e(q2 q1 ) x и дифференцируя и т.д.) (n-1) раз, получим

На отрезке [a,b], примем не все i равны нулю. Дифференцируя тождество

(4) (n-1) раз, получим

6

Эта линейная алгебраическая система имеет нетривиальное решение (по предположению) при любом x [a,b]. следовательно, еѐ определитель, являющийся определителем Вронского, тождественно равен нулю при x [a,b], ч. т. д.

Теорема 5.

Если линейно независимые функции y1(x), y2 (x),...,yn (x) являются решениями л. о. д. у.

определитель Вронского этой системы функций не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка.

Доказательство. Пусть в некоторой точке x x0 отрезка [a,b] определитель Вронского W (x0 ) 0 . Выберем постоянные i , i 1,2,...,n так,

чтобы удовлетворялась система уравнений. Рассмотрим систему алгебраических уравнений:

и чтобы не все i равнялись нулю. Это всегда возможно, т.к. опре-делитель

системы (7) равен нулю, т.е. нетривиальное решение системы (7). При таком выборе i линейная комбинация

y 1 y1(x) 2 y2 (x) ... n yn (x)

Будет решением л. о. д. у. (6), удовлетворяющим, в силу уравнений системы (7), нулевым начальным условиям

7

Таким условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение y=0 уравнения (6) и по теореме единственности начальным условиям (8)

условию теоремы, линейно зависимы.

Замечание 1. Из теорем 4 и 5 следует, что линейно независимые на отрезке [a,b] решения y1(x), y2 (x),...,yn (x) уравнения (6) линейно независимы

и на любом отрезке [a1, b1] [a, b].

Замечание 2. В теореме 5, в отличие от теоремы 4 предполагалось, что функции y1(x), y2 (x),...,yn (x) являются решениями л. о. д. у. (6) с

непрерывными коэффициентами. Отказаться от этого требования и считать функции y1(x), y2 (x),...,yn (x) произвольными (n-1) раз непрерывно

дифференцируемыми нельзя. Легко привести примеры линейно независимых функций, не являющихся решениями уравнения (6) с непрерывными коэффициентами, для которых определитель Вронского не только обращается в нуль в некоторых точках, но даже тождественно равен нулю.

Теорема 6.

Общим решением при a x b л. о. д. у.

где x0 - любая точка (a,b).

Из условия (9) получим систему n линейных относительно Ci , i=1,..,n уравнений

8

n C y ( x ) y0 ,

i i 0 1

i 1

n C y ( x ) y0 ,

i i 0 2

i 1

.............................

n C y(n 1) ( x ) y0 .

i i 0 n

i 1

с n неизвестными Ci , определитель которой отличен от нуля, т.к. это определитель Вронского W (x0 ) для n линейно независимых решений

уравнения (6). Следовательно, эта система разрешима (и однозначно) относительно Ci при любом выборе xo (a, b) и при любых правых частях.

Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку.

Замечание. Любые n линейно независимые частные решения л. о. д. у. n – ого порядка называются его фундаментальной системой решений.

Для построения фундаментальной системы решений произ-вольно зададим n2 чисел

yik (x0 ); i 1,..,n; k 0,1,...,n 1,

Подчинив их лишь условию

где x0 любая точка (a,b). Тогда решения yi (x) , определяемые начальными

систему, т.к. их определитель Вронского W(x) в точке x x0 отличен от нуля и, следовательно, в силу теорем 4 и 5 решения y1(x), y2 (x),...,yn (x) линейно независимы.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения.

Будем рассматривать линейные неоднородные уравнения вида

Это уравнение, сохраняя прежние обозначения, запишем в виде

L[ y] f (x).

9

Если при a x b в уравнении (1) все коэффициенты pi (x) и правая

часть f(x) непрерывны, то оно имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям

y(m) (x0 ) y0(m) ,m 0,1,..,n 1,

В окрестности рассматриваемых начальных значений удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности:

1)правая часть непрерывна по аргументам x, y, y ,.., y(n)

2)имеет ограниченные частные производные по всем

y(m) ; m 0,1,..,n 1, т.к. эти производные равны непрерывным по предположению на отрезке [a, b] коэффициентам pn m (x)

На начальные значения не налагается никаких ограничений. Из 2-х основных свойств линейного оператора

L[Cy] CL[ y],

L[ y1 y2 ] L[ y1 ] L[ y2 ],

10