Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 2. Учебное пособие

a x b .

полином, например, Pm (x) не равен нулю тождественно (т.е. хотя бы один из коэффициентов при x p , 0 p rm 1 , отличен от нуля). Разделим тождество (10) на e 1x и продифференцируем r1 раз. Тогда первое слагаемое в тождестве

(10) исчезнет, и мы получим линейную зависимость такого же вида, но с меньшим числом функций

после дифференцирования приобретет лишь не равный нулю множитель q. В частности, совпадают степени многочленов Pm (x) и Qm (x) , и, следовательно,

меньшим числом функций. Продолжая этот процесс m-1 раз, получим

Rm (x)e( m m 1 ) x 0,

что невозможно, т.к. степень многочлена Rm (x) равна степени многочлена Pm (x) и, следовательно, многочлен Rm (x) не равен нулю тождественно.

Доказательство не изменится и при комплексных j .

Пример.

y 3y 2y 0.

Характеристическое уравнение имеет вид : 2 3 2 0, его корни1 1, 2 2. Таким образом, общее решение имеет вид

y C1ex C2e2 x .

Т.к. коэффициенты уравнения (1) действительны, то комплексные корни характеристического уравнения могут появляться лишь сопряженными парами.

Комплексные решения e( i ) x , e( i ) x , соответствующие паре комплексно сопряженных корней

21

могут быть заменены двумя действительными решениями (см. теорему 3 лекции 7)

e( i ) x e x (cos i sin ) .

Таким образом, паре комплексно сопряженных корней (12) соответствуют два действительных решения e x cos x, e x sin x .

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части.

Вообще говоря, при решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений применяют метод вариации постоянных или метод Коши. В случае уравнения с постоянными коэффициентами часто легко удается подобрать частные решения и тем самым свести задачу к решению соответствующего однородного уравнения. Пусть, например, уравнение имеет вид

где все a j , Ai – постоянные.

Если an 0 , то частное решение уравнения (1), также имеющее вид многочлена степени p. Действительно, подставляя

yBo x p B1x p 1 ... Bp

вуравнение (1) и, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x

многочлена, степень которого равна степени многочлена, стоящего в правой части.

22

Пусть теперь an 0 , а также an 1 an 2 ... an r 1 0 , но an r 0 , т.е.0 является r - кратным корнем характеристического уравнения, причем может быть r=1. Уравнение (1) принимает вид

Полагая y(r ) z , мы приходим к предыдущему случаю, и, следовательно,

частное решение уравнения (2), для которого

y r B0 x p B1x p 1 ... Bp ,

а значит y(x) является многочленом степени p+r, причем члены, начиная со степени (r-1) и ниже будут иметь произвольные постоянные коэффициенты, которые могут быть выбраны, в частности, равными нулю. Тогда частное решение примет вид

Частное решение имеет вид

y B0 x2 B1x B2 .

Подставляя в (3) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

B0 1, B1 1, B2 2; y x2 x 2.

Общее решение

y C1 cos x C2 sin x x2 x 2.

Системы линейных дифференциальных уравнений.

Напомним, что достаточными условиями существования и единственности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

23

1)непрерывность всех функций fi в окрестности начальных значений;

2)выполнение условия Липшица для всех функций fi по всем

аргументам, начиная со второго, в той же окрестности.

Условие 2) можно заменить более сильным, но легче проверяемым

X(t), а правая часть F – вектор-функция с координатами f1, f2 ,..., fn , т.е. система (1) имеет вид

dXdt F (t, X ),

а начальное условие:

X (t0 ) X 0 ,

где X 0 – n - мерный вектор с координатами x10 , x20 ,...,xn0 .

В пространстве ( t, x1,...,xn ) решение X(t) определяет так называемую

интегральную кривую, причем при выполнении условий 1) и 2) через каждую точку пространства проходит единственная интегральная кривая.

Если систему свести к уравнению n-го порядка, то это уже не так: в одной точке могут пересекаться интегральные кривые и иметь совпадающие производные до (n-2) – ого порядка. Например:

dxdt1 f1 (t, x1, x2 ),

dxdt2 f2 (t, x1, x2 ).

Избавляясь от t, сведем к уравнению II порядка

т.е. спроецируем пространство 3-х переменных на плоскость ( x1, x2 ). При

этом не пересекающиеся интегральные кривые могут иметь пересекающиеся проекции.

Совокупность интегральных кривых образует n-параметрическое семейство. В качестве параметров этого семейства могут быть взяты, например, начальные значения x10 , x20 ,...,xn0 .

движения по некоторой траектории в зависимости от изменения параметра t,

который можно считать временем. Тогда dX – скорость движения точки, а dt

24

называют фазовым, а кривую X=X(t) – фазовой траекторией.

Система (1) в заданный момент времени t определяет в пространстве x1, x2 ,...,xn поле скоростей.

Система (1) называется линейной, если все функции fi – линейные, т.е. она имеет вид

Если все функции aij (t) и fi (t) в (3) непрерывны на отрезке a t b ,

то в достаточно малой окрестности каждой точки ( to , x10 , x20 ,...,xn0 ), где a t0 b , выполняются условия теоремы существования и единственности, т.к. правые части в (3) непрерывны, а их частные производные по любому x j

ограничены, т.к. эти частные производные равны непрерывным на a t b коэффициентам aij (t) .

Определим линейный оператор L равенством

Оператор L обладает следующими свойствами:

1)L[cX ] cL[x],

где с – произвольная постоянная,

2) L[X1 X 2 ] L[ X1] L[ X 2 ].

Действительно,

25

где ci – произвольные постоянные.

Теорема 1. Если X является решением линейной однородной системы L[ X ] 0, то и cX, с – произвольная постоянная, является решением той же

системы.

Доказательство: в силу свойства (1)

L[cX ] cL[x] 0,

ч.т.д

Теорема 2. Сумма X1 X 2 двух решений X1 и X 2 однородной

линейной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы.

Доказательство: в силу свойства (2)

L[ X1 X 2 ] L[ X1] L[ X 2 ] 0.

Теорема 3. Если линейная однородная система (6) с действительными коэффициентами aij (t) имеет комплексное решение X=U+iV, то

действительная и мнимая части

26

решениями линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами, то определитель Вронского W этой совокупности векторов не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка a t b .

Доказательство. Пусть в некоторой точке t0 [a,b] W (t0 ) 0, тогда можно подобрать коэффициенты ci , такие, чтобы

теоремы единственности этим условиям удовлетворяет только это решение, т.е. X i – линейно зависимы, вопреки условию, ч. т. д.

27

Замечание. Эта теорема не верна для произвольных векторов X1, X 2 ,...,X n , не являющихся решением системы (6) с непрерывными

коэффициентами.

n

Теорема 6. Линейная комбинация сi X i n линейно независимых

i 1

решений X1, X 2 ,...,X n линейной однородной системы (6) с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами aij (t) является общим решением системы (6)

на этом отрезке.

Доказательство. Так как система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, то для доказательства теоремы достаточно

n

убедиться, что подбором постоянных ci в решении ci X i можно

i 1

удовлетворить произвольно выбранным начальным условиям X (t0 ) X 0 , где t0 [a,b],

X1, X 2 ,...,X n , а потому не обращается в нуль ни в одной точке отрезка [a,b].

а X 0 - решением соответствующей однородной системы L[ X ] 0,

28

ч. т. д.

Теорема 8. Общее решение на отрезке a t b неоднородной системы

(5) с непрерывными на том же отрезке коэффициентами aij (t) и правыми

системы.

Доказательство. Условия теоремы существования и единственности выполнены, поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что

определитель системы (8) – это Вронскиан для линейно независимых решений X1, X 2 ,...,X n соответствующей однородной системы в точке t t0 , а

он по теореме 5 отличен от нуля, ч. т. д.

Теорема 9 (принцип суперпозиции). Решением системы линейных уравнений

29

ч. т. д.

решением соответствующей однородной системы с непрерывными коэффициентами

будем искать в виде

n

Xci (t) X i ,

i1

где ci (t) - новые неизвестные функции. Подстановка в уравнение (9) дает

или т.к. dXdt i AXi , получим

n

ci (t) X i F.

i 1

Последнее уравнение эквивалентно системе

30