Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Это свойство называется принципом суперпозиции. Оно сохраняется и

при m , если ряд i yi сходится и допускает n- кратное почленное

i 1

дифференцирование, т.к. при этом возможен предельный переход в (2). 3. Если уравнение L[ y] U (x) iV (x), где все коэффициенты

pi (x) и функции U(x) и V(x) действительные, имеет решение y u(x) iv(x) , то действительная u(x) и мнимая часть v(x) решения являются соответственно решениями уравнений L[ y] U(x) , L[ y] V (x) .

Доказательство.

L[u iv] U (x) iV (x),

т.е.

L[u] iL[v] U (x) iV (x),

поэтому L[U ] U (x); L[V ] V (x).

Теорема. Общее решение на отрезке a x b уравнения L[y]=f(x) с

непрерывными на этом отрезке коэффициентами и правой частью f(x) равно

	n
сумме общего решения Ci yi соответствующего однородного уравнения и
	i 1	~
какого-нибудь частного решения
		y неоднородного уравнения.
Доказательство. Требуется доказать, что
n	~
			(3)
y Ci yi y,
i 1
где Ci – произвольные постоянные, а yi (i 1,2,...,n)			- линейно независимые

решения соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного уравнения L[y]=f(x).

Принимая во внимание свойство 1) и справедливость для рассматриваемого уравнения теоремы существования и единственности, надо

доказать, что подбором постоянных Ci		в (3) можно	удовлетворить
произвольно заданным начальным условиям.
y(m) (x ) y(m) ,m 0,1,2,...,n 1,			(4)
0	0
где a x0 b . Требуя, чтобы решение (3)		удовлетворяло	условию (4),

перейдем к системе уравнений

n		~	(0)	,
Ci yi (x0 ) y (x0 ) y0				,
i 1
n		~	(1)
Ci yi (x0 ) y (x0 ) y0				,	(5)
i 1					(5)
.......................................

n	(n 1)	~(n 1)		(n 1)	.
Ci yi		(x0 ) y	(x0 ) y0		.
i 1

Эта линейная по отношению к постоянным Ci система n уравнений с n неизвестными при произвольных правых частях допускает единственность

решения, т.к.	еѐ определитель, будучи определителем Вронского
W[ y1, y2 ,.., yn ]	линейно независимой системы решений соответственного

однородного уравнения с непрерывными коэффициентами отличен от нуля при x [a, b] что и требовалось доказать.

Пример.

y y x. .

Одно частное решение y=x. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

y C cos x C	2	sin x; W	cos x	sin x	1 0;
1	2		sin x	cos x
			sin x	cos x

Следовательно, общее решение исходного неоднородного уравнения y C1 cos x C2 sin x x.

Метод вариации произвольных постоянных.

Этот метод применяется для решения неоднородных д. у. с непрерывными коэффициентами. В соответствии с этим методом решение неоднородного д. у. ищется в виде

n
y(x) Ci (x) yi (x),	(1)
i 1

т.е. в общем решении однородного д.у. коэффициенты Ci (i 1,2,...,n)

полагаются зависящими от x.

Так как подбором функций надо удовлетворить лишь одному уравнению

y(n) p1(x) y(n 1) .. pn 1(x) y pn (x) y 0,	(2)
То можно потребовать, чтобы эти n функций Ci (x)	удовлетворяли бы ещѐ

каким-нибудь (n-1) уравнениям, которые мы выберем так, чтобы

производные функции (1) имели бы по возможности такой же вид, какой они имеют при постоянных Ci .

Итак, поскольку

n		n
y Ci (x)yi (x)		Ci (x) yi (x),
i 1		i 1
то наложим на Ci (x) условие
n
Ci (x) yi (x)	0,

i 1

Тогда

y Ci (x) yi (x),

i 1

Т.е. y имеет такой же вид, как и при постоянных Ci . Теперь т.к.

	n	n
y				(x),
	Ci (x)yi (x) Ci		(x) yi
	i 1	i 1

То полагаем

Ci (x) yi (x) 0.

i 1

Продолжая вычислять производные функции y Ci

i 1

порядка включительно и требуя каждый раз обращения

(x) yi до (n-1) –

в нуль суммы

n
Ci (x) yi(m) (x) :
i 1
Ci (x) yi(m) (x) 0, m
Получим
	n
y Ci (x) yi ,
	i 1

	n
y	Ci (x) yi ,
	i 1

	n

y	Ci (x) yi	,
	i 1

	.........................
		n
	y(n 1)	n
	y(n 1)	Ci (x) yi(n)
		i 1
		i 1

0,1,..,n 2,

Ci (x) yi(n 1) ,

i 1

(3)

(4)

В последнем равенстве мы		не можем потребовать, чтобы
n
Ci (x) yi(n 1)	0 , т.к. функции Ci (x)	уже подчинены (n-1) условиям (3), а

i 1

надо ещѐ удовлетворить исходному уравнению (2). Подставляя y, y ,...,y(n) из

(4) в уравнение (2), получим:

n	n
Ci (x) yi(n 1) Ci yi(n) p1(x) Ci yi(n 1) ....
i 1	i 1
	n
	... pn (x) Ci yi f (x)
	i 1
Или
n	n
Ci yi(n 1) Ci [ yi(n)		p1(x) yi(n 1)			... pn (x) yi ] f (x)	(5)
i 1	i 1
Все yi	являются частными решениями соответствующих однородных
уравнений. Поэтому
y	(n) p (x) y(n 1) .. p		n	(x) y 0,	i 1,2,...,n
	1		n

Таким образом, уравнение (5) принимает вид

Ci yi(n 1) f (x).

i 1
Итак, функции		Ci (x) (i 1,2,...,n)		определяются из системы n
линейных уравнений
n		0,
Ci (x) yi		0,
i 1
n
Ci (x) yi 0,
i 1
n
Ci (x) yi 0,				(6)
i 1
......................

n	(n 1)		f (x)
Ci (x) yi			f (x)
i 1

с отличным от нуля определителем системы

y1(n 1)

y2(n 1)

. .

yn(n 1)

Т.к. это – определитель Вронского для линейно независимых решений соответствующего однородного уравнения. Определив из (6) все

Ci (x) i (x) , квадратурами находим Ci (x) i

Пример.

			1

	y		y cos x .
	y		y cos x .

В соответствии с методом вариации постоянных y C1(x) cos x C2 (x) sin x,

Причем С1(x),C2 (x) подчинены системе (6)

C (x) cos x C				(x) sin x 0,
	1		2
					1		,

C1 (x) sin x C2 (x) cos x					cos x
					cos x
откуда
	(x)	sin x	,	т.е. C1(x) ln		cos x
		sin x


C1		cos x
		cos x

(x)dx Ci

C1,

	(x) 1,	^
		т.е. C2 (x) x C2 .
C2

Общее решение исходного уравнения, таким образом, имеет вид

^ ^

y C1 cos x C2 sin x cos x ln cos x x sin x.

Итак, знание n линейно независимых частных решений соответствующего однородного уравнения позволяет методом вариации постоянных проинтегрировать неоднородное уравнение

Если же известно лишь m, где m<n, линейно независимых решений y1, y2 ,.., ym соответствующего однородного уравнения, то с помощью замены

переменных можно понизить порядок уравнения до n-m, сохраняя его линейность.

Действительно, положим в уравнении

y(n) p (x) y(n 1) ... p						n		(x) y 0,			(7)
			1			n
			y y1z ,								(*)
где y1 – частное решение уравнения (7).
В результате уравнение преобразуется к виду
a	0	(x)z(n) a (x)z(n 1)			.. a				n	(x)z 0,	(8)
	0		1						n
Причем решению			y y1	уравнения (7) в силу (*) соответствует частное
решение z 1 уравнения				(8).	Подставив z 1 в						(8), получим an (x) 0 .
Следовательно, уравнение (8) имеет вид
a0 (x)z(n) a1 (x)z(n 1) .. an (x)z 0,
и подстановка z U понижает порядок на единицу
a (x)U (n 1) a (x)U (n 2) .. a							n 1		(x)U 0.
0			1				n 1

Подстановка y y1 Udx , где y1 - решение уравнения (7) снижает на

единицу и порядок неоднородного уравнения L[y]=f(x), т.к. подстановка не затрагивает правой части уравнения.

Пример.

0; y1 cos x; y zy1; y

;

zy1 2 y1

sin x

z cos x z cos x 0

z y1

2z y1

zy1 z

cos x 2z

sin x

U :U

cos x

2U sin x 0; U 2 cos x dx

2 ln

cos x

; z

tgx; y2

zy1 sin x

cos2

cos2 x

Метод Коши решения линейного неоднородного уравнения.

Этот метод позволяет найти частное решение уравнения

L[ y] f (x),

если известно зависящее от одного параметра

соответствующего	однородного уравнения L[ y(x)] 0,
условиям (n 2)
		(n 2)	(t,t) 0,
K(t,t) Kx (t,t) ... Kx			(t,t) 0,
K (n 1)	(t,t) 1.
x

В этом случае

(1)

решение K(x,t) удовлетворя-ющее

(2)

(3)

x
y(x) K (x, t) f (t)dt	(4)
x0

Будет частным решением уравнения (1), удовлетворяющим нулевым начальным условиям

y(x0 ) y (x0 ) ... y(n 1) (x0 ) 0.

Действительно, дифференцируя (4) и принимая во внимание условия (2) и (3), получим

	x


y (x) K x (x, t) f (t)dt,
	x0
	x
			(x, t) f (t)dt,
y (x)		K x	(x, t) f (t)dt,
	x0		(5)
.....................................

		x
y	(n) (x)	K x(n) (x, t) f (t)dt f (x).
		x0
		x0

Подставляя (4) и (5) в уравнение (1), имеем

L[ y] L[K (x, t)] f (t)dt f (x) f (x),

т.к. K(x,t) –

решение

соответствующего

однородного

уравнения, т.е.

L K(x,t) 0 .

Решение

K(x,t)

может быть выделено

из общего решения

y Ci yi (x)

однородного

уравнения,

если

выбрать

произвольные

i 1

постоянные Ci

так, чтобы удовлетворялись условия (2) и (3).

Пример.

Уравнение

y a2 y f (x)

(6)

Соответствующее однородное уравнение y a2 y 0

Имеет общее решение y C1 cosax C2 sin ax.

Условия (2) и (3) приводят к следующим уравнениям

C cosat C

sin at 0,

aC1 sin at aC2 cosat 1,

откуда

sin at

cosat

;

т.е. искомое решение K(x,t)

имеет вид

K(x,t) a1 sin a(x t)

Решение уравнения (6) с нулевыми начальными условиями в соответствии с (4) представимо в виде

1 x

y(x) a x0sin a(x t) f (t)dt.

Функцию K(x,t) называют в литературе функцией влияния.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Если в линейном однородном дифференциальном уравнении

a	y(n) a	y(n 1) ... a	n	y 0,	(1)
0	1		n

Все коэффициенты постоянны, то его частные решения легко могут быть найдены.

Рассмотрим уравнение

dy	y.	(2)
dx

Это уравнение с разделяющимися переменными. Мы видели, что его частным решением является функция

y e x .

(3)

Пусть в (1) a0 0 (в противном случае уравнение (1) было бы

уравнением порядка, меньшего, чем n), тогда уравнение (1) можно привести к виду

Ly y(n)

a y(n 1)

... a

y 0,

(1a)

где a

a j

, L – линейный оператор.

Оператор L можно представить в следующем виде

...

(1б)

r1 ... rm n,

m n,

где j

– корни характеристического уравнения

n a n 1 ... a

(4)

n 1

a rj – их кратности.

Представление оператора L в виде (1б) называется факторизацией этого оператора. Доказательство возможности подобной факторизации проводится по индукции. При n=2 имеем

L y

d 2 y

dx2

1 dx

причем

a1 ( 1

2 ),

a2 1 2 , где

–

корни

характеристического

уравнения 2 a a

2 y

(

)

dx2

1 2 y L2 y.

Пусть теперь при некотором n 2:

n 1

L n

...

i 1

n 2

n 3

( i j )

( i j

k )

... ( 1)

1 2.. n ,

i, j 1

i, j,k 1

i j

i j k

где мы занумеровали подряд все корни (с учетом их кратности) от 1 до n. Теперь

d n 1

n 1

Ln 1

n 1

( i j )

i 1

i, j 1

i j

n 1

n 2

( i

.. ( 1)n 1 1 2 ... n 1.

j k )

i, j,k 1

i j k

Уравнение (1а) в результате (с использованием представления (1б)) примет вид

d		r1	d	rm	y 0.
			....			(5)

dx	1		dx	m

Пусть сначала все корни j уравнения (4) – однократные, тогда, как видно из (5) L[y]=0, если

d
		j y 0, j 1,...,n,

dx

т.е. y C je j x (см. (3)), j=1,…,n – есть частные решения уравнения (1а). Рассмотрим теперь случай, когда какой-нибудь корень, например, j ,

имеет кратность ri 2. В этом случае требуется, чтобы

d	2	d	d
		y

dx	i	dx	i dx	i

Положим

dydx i y z,

Тогда из (6) имеем

dydx i z 0,

y 0.

(6)

(7)

И таким образом, z Ci1e i x

Теперь, dydx i y Ci1e i x .

Воспользуемся методом подстановки:

y UV , y U V V U ,

V (U iU ) (V U Ci1e i x ) 0,

U iU 0 U e i x ,

тогда

V e i x Ci1e i x ,

т.е.

V Ci1, V Ci1x Ci 2

Таким образом,

y Ci1xe i x Ci 2e i x .

Аналогично, при ri 3:


d	3	d		2	d
		y				y

dx	i	dx	i		dx	i

Снова полагаем (7), тогда

	d	2
		i	z 0 ,

dx

откуда z (Ci1x Ci 2 )e i x , поэтому

dydx i y (Ci1x Ci2 )e

i x .

Действуя по той же схеме, имеем

y UV , V (U iU ) [V U (Ci1x Ci2 )e i x ] 0,

т.е.

U e i x , V e i x (Ci1x Ci 2 )e i x 0,

значит,

V Ci1x Ci 2 ,

т.е. V Ci1x2 Ci 2 x Ci3 , а y (Ci1x2 Ci2 x Ci3 )e i x .

Аналогично по индукции можно показать, что для r

yi (Ci1xr 1 ... Cir )e i x ,

а общее решение уравнения (1а) имеет, таким образом, следующий вид

y (C	xr1 1 ... C	)e 1x .. (C	m1	xrm 1	.. C	mr	)e mx ,	(8)
11	1r		m1			mr
	1					m

где m – число различных корней характеристического уравнения (4). Соотношение (8) является общим решением уравнения (1а), поскольку

можно показать, что функции

	e 1x , xe 1 x ,...,xr1 1e 1 x ,
	e 2 x , xe 2 x ,...,xr2 1e 2 x ,	(9)
	....................................	(9)
	....................................
	e m x , xe m x ,...,xrm 1e m x ,

где m – число различных корней характеристического уравнения (4), линейно независимы.

Можно не приводить уравнение (1) к виду (1а), а иметь дело непосредственно с ним, тогда i будут корнями характеристического

уравнения

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]