Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

	dx1	3x	x ,

		1	2
dt

dx2		2x1.

dt

при подстановке искомого решения дает:

1	1	0 1	1		;	2 2	2		0 2		2 2 .
1	2	1		2		1		2		2	1
			1			x 2			1
Таким образом, x 1				e2t ;		x 2				et .
									2
			1						2

a1e2t

a2et

b1e2t

b2et

Имеем: x

;

a1e2t 2a2et

b1e2t

2b2et

Из условий

;

(0)

получаем a1 2; a2 1; b1

1; b2 1,

откуда для eAt имеем:

2e2t et

et e2t

eAt

Если все корни характеристического уравнения

(a11 )

a12

a1n

a21

(a22 ) .

a2n

an1

an2

ann

различны, то для матрицы

eAt

можно получить другое представление. В

самом деле,

в этом

случае

решения x 1 , x 2 ,..., x n дифференциального

уравнения (1а) линейно независимы. Запишем их в виде (7) предыдущей лекции, т.е.

x 1 b 1 e 1t , x 2 b 2 e 2t ,..., x n b n e nt ,

где b j - собственные векторы матрицы А, соответствующие собственным значениям j , и образуем матрицу

						1t
				e		1t	.	0
							.	0
X x 1 , x 2	,..., x n b 1	,b 2
X x 1 , x 2	,..., x n b 1	,b 2	,....,b n .				.		.	.
					0		.	e	nt
					0		.	e

Запишем теперь j-е решение уравнения (1а)

				1t	.		0		j

		e						c1
b 1 ,b 2	,....,b n .				.		.	.		Be t c j x j ,
			0		.	e	n y		j
			0		.	e		cn

удовлетворяющее начальному условию	~ j	(0) ij , где e	t	– диагональная
	xi

матрица, c j - вектор столбец коэффициентов, и положим

Be tC eAt ,

где C – матрица коэффициентов C (c 1 ,c 2 ,...,c n ) .

Тогда при t=0 будем иметь

BIC BC I ,

откуда C B 1 .

Теперь окончательно имеем eAt Be t B 1,

где B – матрица, составленная из линейно независимых собственных векторов матрицы А, т.е. решений уравнения (8) предыдущей лекции

( A I )b 0,

соответствующих различным собственным значениям 1, 2 ,..., n .

Матрицы и дифференциальные уравнения. Дифференцирование и интегрирование векторных и матричных функций.

1.Вектор y , составляющие которого yi являются функциями некоторого параметра t, называется векторной функцией или просто функцией от t.

2.Векторная функция непрерывна, если все еѐ составляющие в рассматриваемом интервале являются непрерывными функциями аргумента t.

Аналогичные определения имеют место и для матричных функций.

3.Из определения разности двух векторов следует, что производная от вектора определяется как

	dy
			1
		dt

dy	.
		.		, т.е.
dt


	dy		n

		dt

4. Подобным образом интеграл от

dy		dy
		i	.	(1)

	dt i	dt

y t определяется как

	t
		y1	(s)ds
		0
t	t
t		y2	(s)ds
y(s)ds		y2	(s)ds	, т.е.
y(s)ds	0			, т.е.
0	0
0			.
			.
	t
		yn	(s)ds
		0

t		t
y(s)ds		yi (s)ds	(2)
0	i	0

Аналогично вводятся производные и интегралы от матриц.

Рассмотрим линейную однородную систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

dxi	n
	aij x j ;	xi (0) ai ,	i 1,2,..., n .

dt j 1

В векторных обозначениях эта система имеет следующий вид

dx	Ax;	x (0) a,	(3)
dt

где А – некоторая квадратная матрица.

Из приведенных выше определений следуют соотношения:

(x, y)

а)

, y

, где

x, y

xi yi

yi xi

i 1

	n
x, y xi yi .
	i 1
dx			dy
	, y	x,

dt			dt

б)

x A

;

n daij

dx j

Ax i

aij x j

x j aij

j 1

j 1 dt

;

dt i

в)

( AB)

B A

;

dbkj

aikbkj

bkj

aik

k 1

;

г)

X 1

X 1, где X – матрица;

X 1 X

dX 1

X X 1

;

д)

X n

X n 1 X

X n 2 .. X n 1

;

Доказательство проведем методом математической индукции.

X X

Пусть

X k

X k 1

X k 2 ... X k 1

Тогда

X k 1

dX k

X k 1 ..

X X k

X k X

X k 1

X X k

;

ч.т.д.

Нормы векторов и матриц. Бесконечные ряды векторов и матриц.

Под нормой вектора или матрицы мы будем понимать неотрицательное число, ставящееся в соответствие вектору или матрице и удовлетворяющее определенным соотношениям (аксиомам нормы).

Норма вектора и матрицы обозначаются соответственно: x , A .

Норма вектора и матрицы должна удовлетворять следующим соотношениям:

x y

A B

(4)

C1x

C A

C1 число .

Норма может быть определена с помощью различных соотношений,

необходимо лишь, чтобы норма ненулевого вектора (матрицы) была отлична от нуля и удовлетворяла соотношениям (4). Для дальнейшего удобным будет следующее определение нормы:


x			xi		,		(5)
x			xi		,		(5)
		i 1
		n
	A			aij		.	(6)
	A			aij		.	(6)
		i, j 1

Легко проверить, что при таком определении выполняются соотношения (4) и норма ненулевого вектора отлична от нуля. Легко также показать, что

x t dt

x t

dt,

(7)

A t dt

A t

dt,

(8)

Под

вектором

x m

будем

понимать вектор,

i-я составляющая

m 0

которого

есть

сумма

ряда

xi m . Поэтому

сходимость векторного ряда

m 0

эквивалентна сходимость n одномерных рядов xi m . Отсюда следует, что

m 0

достаточным

условием сходимости

векторного

ряда

x m является

m 0

x m

сходимость скалярного ряда

m 0

Подобно этому матричный ряд вида

представляет собой n2

m 0

рядов, а для сходимости матричного ряда достаточно, чтобы сходился ряд

Am .

m 0

Существование и единственность решения векторного дифференциального уравнения.

Соответствующая теорема была нами доказана ранее. Здесь мы еѐ докажем в векторно-матричных обозначениях, что представляет самостоятельный интерес, т.к. в случае линейных систем решение существует и единственно на всем отрезке, где выполняются условия теоремы существования.

Теорема 1. Если матрица А(t) непрерывна при 0 t t1 , то решение векторного дифференциального уравнения

dx	A(t)x,	x(0) a,	(3)
dt

существует для всех 0 t t1 , единственно и может быть записано в виде

x(t) X (t)a,

(9)

где X(t) – матрица, определенная единственным образом и удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению2

	dX	A(t) X ,	X (0) I.	(10)
	dt

Для доказательства воспользуемся				методом последовательных

приближений. Рассмотрим вместо (10) эквивалентное интегральное уравнение

	t
	X I A(s) X (s)ds.		(11)
	0
Положим
	t
X0 I ,	X n 1 I A(s) X n (s)ds,	n 0,1, 2,..	(12)
	0
Имеем,
	t
X n 1 X n A(s)( X n X n 1)ds,		n 1, 2,...	(13)
	0

В силу непрерывности A(t) на отрезке [0,t1] существует такое число m, что

m max	A(t)	.	(14)
m max	A(t)	.	(14)
o t t1

Тогда из (13) и (14) имеем

X n 1 X n

A(s) X n X n 1

A(s)

X n X n 1

(15)

m X n X n 1 ds.

Так как (см. (12))

X1 X 0

A(s)

ds mt mt1,

(16)

то, подставляя (16) в (15), последовательно получим

X 2 X1

(mt )2

3 X 2

(mt )3

X n 1

(mt )n

,...,

X n

,...

Поэтому ряд

I X1 X0 X 2 X1 .. X n X n 1 .. I X n X n 1

n 1

равномерно

сходится

на

отрезке

[0,t1],

а, следовательно, I Sm Xm

равномерно стремится к некоторой матрице X(t), которая удовлетворяет (как

2) Матрица X состоит из n линейно независимых вектор-столбцов решений уравнения (3), поэтому n уравнений (3) (для каждого из линейно независимых векторов) эквивалентны уравнению (10).

видно при переходе в (12) к пределу при n ) уравнению (11), а, следовательно, и (10).

Проверим, что (9) удовлетворяет уравнению (3):

ddtx dXdt a A(t) Xa A(t)x.

Установим теперь единственность решения уравнения (10).

Предположим, что имеется ещѐ одно решение Y(t). Тогда Y(t) удовлетворяет (11), а поэтому

X Y A(s) X (s) Y (s) ds.

Отсюда имеем

X Y

A(s)

X (s) Y (s)

ds.

(17)

Т.к. матрицы Y и X дифференцируемы

(это следует из (10) и

непрерывности A(t)), а следовательно, непрерывны на отрезке [0,t1] , то существует

m1 max X Y ,

0 t t1

поэтому из (17) получим с учетом (14)

X Y

A(s)

ds mm1t;

0 t t1.

(18)

Снова воспользовавшись (17), (18), будем иметь

X Y

A(s)

mm1sds m1

(19)

Продолжая эту процедуру, на n - ом шаге получим

X Y

(mt)n

(mt )n

X Y

0 , т.е.

Таким образом, при n , получим

X Y .

Матрица X называется фундаментальной матрицей системы (3) или матрицей Коши. Иногда матрицу X называют матрицантом системы (3). Для матрицанта X в соответствии с выше изложенным имеем следующий равномерно сходящийся на отрезке [0,t1] ряд (см. (12)).

t		t	s		t	s	s1
X I A(s)ds A(s) A(s1)ds1ds A(s) A(s1) A(s2 )ds2ds1ds ... (20)
0		0	0		0	0	0
Легко убедиться, что матрицант (20) удовлетворяет уравнению
	dX	A(t) X ,		X (0) I.			(10)
	dt	A(t) X ,		X (0) I.			(10)
	dt

Матричная экспонента.

Рассмотрим ряд (20), в котором A – постоянная матрица. Мы получим

X I At	A2t 2	A3t	3	..	Ant n	... .	(21)
	2!	3!			n!

По аналогии с соответствующим функциональным рядом ряд (21) называют

матричной экспонентой и обозначают

eAt I At ....	Ant n	... .	(22)
	n!

В силу (10)

dtd eAt AeAt ; eA 0 I.

Имеет место следующая Теорема 2. Матричный ряд (22) существует для всех матриц А при

любом фиксированном t, и для фиксированной матрицы А он равномерно сходится в любой конечной области комплексной плоскости t.

Доказательство. Имеем

Ant n

(23)

Из (23) видно, что ряд (22) мажорируется равномерно сходящимся рядом (разложением экспоненты exp( A t ) ) и, следовательно, сам равномерно

сходится в любой конечной области плоскости t. Ч. т. д.

Для матричной экспоненты имеет место тождество

eA s t eAseAt.

В самом деле,

eAseAt

A t

p 0

q 0

n 0

p q n p!q!

n q

(s t)

eA(s t ) .

(n q)!q!

n 0

q 0

n 0

Полагая в (24) s t , имеем

eA( t t ) eA 0 I e AteAt .

(24)

(25)

Следовательно, матрица eAt всегда невырожденна и еѐ обратная равна e At . Это матричный аналог того, что скалярная экспонента никогда не обращается в нуль. Рассмотрим теперь матрицу

e( A B)t I ( A B)t ( A B)2 t2 ..., 2!

а также матрицу

I ( A B)t

... I Bt

...

Мы видим, что

e( A B)t eAteBt (BA AB) t2 .. 2

Следовательно, равенство

e( A B)t e AteBt

справедливо лишь для тех матриц, для которых AB=BA, т.е. когда матрицы A и B коммутируют.

Неоднородное векторное дифференциальное уравнение.

1.Случай системы с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим задачу решения неоднородной системы

dx	Ax		(t);	x(0) a,	(1)
		b
dt

где А – постоянная матрица. Умножим уравнение (1) слева на матрицу e At :

dx		d
dx		d	e At x e Atb
e At	Ax
e At	Ax
dt		dt
(т.к. А и e At коммутируют), следовательно,
	t
e At x a e As						(s)ds,
e At x a e As				b		(s)ds,
	0
откуда
	t
x eAta eA(t s)					(s)ds,		(2)
x eAta eA(t s)			b		(s)ds,		(2)
	0

2.Система с переменными коэффициентами.

Пусть теперь требуется найти решение системы

dx	A(t)x		(t);	x(0) a.	(3)
		b
dt

Воспользуемся методом вариации постоянных и будем искать решение уравнения (3) в виде

x X (t) y,

(4)

где y – переменный вектор, а X(t) – фундаментальная матрица (матрицант) соответствующей однородной системы, т.е. решение уравнения

dX	A(t) X ,	X (0) I.	(5)
dt

Подставим (4) в (3), тогда получим (с учетом (5))

X y Xy A(t)Xy Xy A(t) Xy b (t),

откуда

Xy b (t),

а, следовательно,

	X	1		(6)
			(t)b (t)
y

( y(0) a , см. (4)).

Матрица X невырожденна, т.к. она составлена из линейно независимых векторов3. Интегрируя (6), получим

1(s)

y a X

(s)ds.

Таким образом, окончательно имеем

x X (t)a X (t) X 1(s)

(s)ds.

(7)

Формула (7) является обобщением соотношения (2).

Рассмотрим матрицу

Y (s,t) X (t) X 1(s).

Имеем

Y (t,t) I ,

Y (s,t) X (t)

X 1(s)

dX (s)

X (t) X 1(s) AX s X 1(s)

X (t) X 1(s)

X 1(s)

Y (s,t) A(t)

Итак, Y(s,t) есть решение сопряженной задачи:

d	Y (s,t) Y (s,t) A(t);	Y (t,t) I.
ds

Неоднородное уравнение. Сопряженная система.

Неоднородное уравнение (3) может быт решено также другим способом.

Пусть Y(t) – переменная неопределенная пока матрица. Умножим на неѐ уравнение (3) слева

3) Число линейно независимых векторов ровно n, т.к. если их было бы меньше, чем n, то нарушилась бы теорема существования.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]