Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

n		f1 (t),
ci (t)x1i		f1 (t),
i 1
n		f2 (t),
ci (t)x2i		f2 (t),		(10)
i 1				(10)
............................

n		fn (t).
ci (t)xni		fn (t).
i 1
Из этой системы n уравнений с n неизвестными				ci (t),	i 1,2,..,n с
определителем W, являющимся определителем Вронского для линейно
независимых решений	X1, X 2 ,...,X n и, следовательно,			отличным от нуля,
определяются все ci (t) :
ci (t) i (t),	i 1,...,n,
откуда, интегрируя, получим
ci (t) i (t)dt ci ,			i 1,2,...,n.

Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система дифференциальных уравнений вида

dxi

aij xj fi (t),

1, n

j 1

или

AX F,

в которой матрица

постоянна,

называется линейной системой с

aij

постоянными коэффициентами.

Рассмотрим сначала соответствующую однородную систему

dx1

x a

.... a

x ,

dx2

a21x1 a22 x2

.... a2 n xn ,

(1)

..................................................

dxn

x a

.... a

x .

n1 1

n2 2

nn n

или

AX .

(1a)

В линейной алгебре доказывается следующая

Теорема. Пусть ˆ - линейный оператор, действующий в n – мерном

векторном пространстве V. Существует базис (состоящий из собственных и

1				ˆ		в котором матрица A оператора			ˆ
присоединенных векторов оператора				A ),		в котором матрица A оператора			A
имеет так называемую каноническую жорданову форму
		0		0	0
	01		2	0	0
A			2				,	(2)
A							,	(2)
J	0	0		.	0
J

	0	0		0	p

где клетка j представляет собой следующею матрицу (жорданов блок)

			j	1	0 .	0
			j	j
		0		j	1 .	0
	.			.	. .	.	(3)
j
		0		0	0 .	1

		0		0	0 .	j

размера n j , причем
n1 n2 ... np n ,	(3a)
а j – корень характеристического уравнения
det( A I ) 0.	(4)

Если все корни j уравнения (4) различны, то матрица A приводится к диагональному виду (все n j 1).

Пример приведения матрицы к жордановой форме. Пусть в некотором базисе

	0	2	1	2
			1	2
	1	3	1	2
A	0	2	1	2

	0	1	0	2
	0	1	0	2

Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

)

Вектор

называется присоединенным вектором

порядка

оператора A ,

соответствующим собственному значению , если

m 1

x 0,

( A I )

x 0; ( A

I )

т.е.

x – собственный вектор оператора

y ( A I )

A ).

			2		1	2
			2		1	2
	1		3		1	2		( 1)2	( 2)2	0,
	0		2		1	2		( 1)2	( 2)2	0,
	0		2		1	2
	0		1		0	2
а его корни - 1,2 1; 3,4				2 . При этом
		1		2	1	2
			1	2	1	2
rang( A I ) rang			1	2	1	2	2 ,
1			0	2	0	2
1
			0	1	0	1
			0	1	0	1

следовательно, существуют два линейно независимых собственных вектора

		1	,		1	, соответствующих собственному значению									. Далее,
	e	1	,	e	1	, соответствующих собственному значению									. Далее,
1			2											1
									2		2	1	2
												1	2
						rang ( A		I ) rang		1	1	1	2	3	,
						rang ( A	2	I ) rang		0	2	1	2	3	,
										0	2	1	2


										0	1	0	0
										0	1	0	0

следовательно, существует одномерное подпространство, соответствующее собственному значению 2 , т.е. нужен ещѐ один присоединенный вектор для

образования базиса в рассматриваемом пространстве (напомним, что если

j корень характеристического уравнения					det( A I ) 0 кратности q j ,		а
rj	ранг матрицы ( A j I ) ,	то		собственных векторов (n rj ) ,			а
присоединенных q j (n rj ) ). Поэтому жорданова форма матрицы А будет
		1	0	0	0
		0	1	0	0
	A	0	1	0	0	.
	J	0	0	2	1
	J

		0	0	0	2

Пусть В – невырожденная матрица замены базиса, в результате которой матрица A принимает жорданову или диагональную форму. Если через X мы обозначим вектор X в новом базисе, то, как известно

								(5)
		X BX .						(5)
Подставляя (5) в (1), получим
		dX		(B		1		(1а)
		dt		(B			AB) X .	(1а)
	B		1		AB теперь либо диагональная (в случае
В уравнении (1а) матрица A	B				AB теперь либо диагональная (в случае

различных 1,..., n ), либо жорданова. Рассмотрим сначала случай, когда все

( A I )b 0,

корни j уравнения (4) различны. В этом случае					система (1а)
следующий вид
	dx j	j x j , j		.	(1б)
			1, n
	dt

Решая уравнение (1б), имеем x j C j e jt , где C j const.

В соответствии с (5) для вектора X в исходном базисе имеем

	b11			b1n
	.		1t		.		nt
X BX			1t				nt
X BX	C1	e		... Cn		e .
	.				.
	bn1			bnn

Векторы

		b
		1 j
B	( j )	.
B

		.
		b
		nj

имеет

(6)

являются, как известно, собственными векторами оператора A , соответствующими собственным значениям j .

Итак, общее решение однородной системы (1) имеет вид (6), причем векторы

X	j	B	j	e	jt	-	(7)

частные решения системы (1), которые могут быть получены следующим образом. Подставим в уравнение (1) выражение (7), в котором j заменим на

пока неопределенный параметр . В результате получим b e t Abe t ,

или

(8)

где b – неопределенный пока вектор столбец, I – единичная матрица. Для того чтобы уравнение (8) имело нетривиальные решения (собственный

вектор b 0 ), необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство (4). Найдя корни j характеристического уравнения (4), из (8) найдем

соответствующие собственные векторы b j . В результате получим набор частных решений вида (7). Векторы b j в случае различных j линейно

независимы. Покажем, что и X j также линейно независимы. Пусть

n
j		j e jt	0, t [a,b],
	b
j 1
т.е.
n				t	0,
jb1 je j
j 1
n
jb2 je jt					0,
j 1					(9)
.......................

n
jbnje jt					0.
j 1

Тогда в силу линейной независимости функций e j t

( j

1, n

)

на отрезке [a,

b] (см. выше), из (9) следовало бы, что

jb1 j

0, jb2 j 0,......., jbnj 0;

1,n

(10)

Но т.к. при каждом j хотя бы одно из чисел t1 j ,t2 j ,....,tnj

отлично от нуля, то

из (10) следует, что j

0 для j

1, n

Итак, решения b

( j 1,n) линейно независимы, и общее решение

системы (1) имеет вид (6), где C j - произвольные постоянные.

вектора

j определяются из (8) неоднозначно, т.к.

Составляющие b

определитель (8) равен нулю, а, следовательно, по крайней мере, одно из уравнений системы (8) является следствием остальных. Эта неоднозначность связана с тем, что решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений остается таковым при умножении на произвольный постоянный множитель.

Комплексному корню характеристического уравнения (4) j p iq

соответствует комплексное решение вида (7), которое, если все коэффициенты aij действительные, может быть заменено двумя

действительными решениями: Re X j и Im X j . Комплексно сопряженный корень j 1 p iq не дает новых линейно независимых решений.

Прейдем теперь к случаю, когда уравнение (4) имеет кратные корни. В этом случае, как отмечено выше, матрица A приводится к жордановой форме AJ (2). При этом в системе (1а) «связанными» оказываются лишь

составляющие вектора X в пределах одной жордановой ячейки. Рассмотрим поэтому систему вида

				x						1			. 0
				x						1			. 0				x
				1					j								1
								0					. 0
	d			2							j						2		,
																			,
				.													.
	dt			.			.			.			. .				.
			x					0		0			.			x
				n j											j			n j
т.е.

		dx1

	dt				j x1			x2 ,


		dx2

					j x2 x3 ,														(11)
	dt																		(11)
	.......................


	dxn j
						j xn j .
						j xn j .
	dt
в которой, как это следует из (3а) n j							rj , где rj						– кратность корня j .
												jt
										j		jt		dxn j 1
Система (11) легко решается:							xn j	C1 e					,					j xn j 1		xn j	,
Система (11) легко решается:							xn j	C1 e					,			dt		j xn j 1		xn j	,
																dt

UV ,

U e

откуда, полагая xn j 1

получаем

V C1 t C2

, т.е.

xn j 1 (Cn j t

Cn j 1)e

Поступая аналогично, будем иметь xn j 2 (C1

C2 t

C3 )e

…

tq 1

xn j q

... Cq 1 e

; q 0,1,.., nj 1. (12)

(q)!

(q 1)!

Таким образом, решение имеет следующий вид

t n1

C11

... Cn11

e 1t

(n1 1)!

......................

1 t2

C2t C3

C11t C21 e 1t

C1 e

t n2

C12

... Cn22

e 2t

(n2 1)!

......................

C12t C22 e 2t

C12e 2t

......................

t np 1

... Cn

(np 1)!

.......................

(12а)

C1pt C2p e pt

C1 e

Систему частных решений, получим из (12а), полагая один из коэффициентов Cij 1, а остальные – нулю. Объединяя эти частные решения в матрицу (Вронского), будем иметь

	tn1 1
				e 1t
	(n 1)!			e 1t
1
	t	n1 2			e 1t
	t

(n1 2)!
(n1 2)!
		...
		...

		t2
			e 1t
		2	e 1t
		2
		te 1t
		te 1t
		e 1t

		0
		0

		...
		...

		...


		.

		0
		0


		.
		0
		0

tn1 2		e 1t	...	te 1t	e 1t		0		.	.		. .			.			.	0

(n1 2)!
(n1 2)!
t	n1 3	e 1t		e 1t
t			...		0		0		.	.	. . .				.			.	0

(n1 3)!
(n1 3)!
	...		... .		.		.		.	.	. . .				.			.	0

	te 1t		...	0	0		0		.	.	. . .				.			.	0
	te 1t		...	0	0		0		.	.	. . .				.			.	0
	e 1t
	e 1t		...	0	0		0		.	.	. . .				.			.	0
	0		...	0	0		0		.	.	. . .				.			.	0
	0		...	0	0		0		.	.	. . .				.			.	0
						tn2 1
	0		...	0	0			e 2t	...	e 2t	0 . .				.			.	0
	0		...	0	0			e 2t	...	e 2t	0 . .				.			.	0
						(np	1)!
	...		... ...		...		...		...	0	0 . .				.			.	0
							e 2t
	...		... ...		...		e 2t		...	0	0 . .				.			.	0


	.		.	.	.		.		.	.	. . .				.			.		.
														tnp 1
														tnp 1			pt			pt
	0		.	.	.		.		.	.	.	.	0			e		...	e
	0		.	.	.		.		.	.	.	.	0	(np 1)!		e		...	e

	.		.	.	.		.		.	.	.	.	0	...				...	0
	0		.	.	.		.		.	.	.	.	0	e	pt			...	0
	0		.	.	.		.		.	.	.	.	0	e				...	0

Определитель Вронского этой системы решений X 1 ,...,X n будет равен

W[ X 1 ,...,X n ] en1 1t n2 2t ... n p pt 0.

Соответствующие частные решения системы (1) в исходном базисе также будут линейно независимы в силу невырожденности матрицы В. Из (12) и

(5) следует, что общее решение системы (1) имеет, вообще говоря, следующий вид

X X 1 .... X j ... X p ,

(13)

причем

n j

n j 2

, i 1,n,

j 1, p .

(Ci1t

Ci 2t

... Cin j )e

(14)

Из выражений (13) и (14) следует, что на практике для нахождения

общего решения системы (1) следует

для

каждого

корня j

характеристического уравнения (4) составить выражения вида (14), т.е.

rj 1

rj 2

...

(Ci1t

Ci 2t

Cirj )e

(14a)

~ j

и подставить их в систему (1). В

с неопределенными коэффициентами Cim

результате мы получим алгебраическую систему для нахождения

~ j

. Число

Cim

неизвестных, остающихся произвольными при решении этой системы, не более кратности корня.

Пример.

			dx1			x x ,							dx2					x		4x ,		dx3		x			4x .	(15)
						x x ,												x		4x ,				x			4x .	(15)
			dt					1		2					dt				2	3		dt			1		3
			dt												dt							dt
Характеристическое уравнение
	1					1				0
	1					1				0
		0			1					4						3 6 2 9 3 2 0
		1				0			4
имеет корни: 1 0, 2 3 3.
Поэтому X 1				(x , x , x )T							. Подставляя в (15), получим
							1	2	3
								x x				0,
									1		2
								x2		4x3 0.
откуда: x C , x								C , x						1		C		, т.е.		X 1 (C ,C ,					1	C )T .
откуда: x C , x							2	C , x						1		C		, т.е.		X 1 (C ,C ,						C )T .
		1			1		2	1		3		4				1					1		1		4		1
Для двукратного корня в соответствии с (14а)
										a		a					t
							X 2				1					2
							X 2			b1 b2t								e 3t .
										c		c t
											1					2
Подставив в (15) и сокращая на e 3t , имеем
	3a1 3a2t a2 a1 a2t b1 b2t 0,
			3b2t b2						b1 b2t 4c1 4c2t 0,
	3b1		3b2t b2						b1 b2t 4c1 4c2t 0,
			3c t c						4c			4c t a a t 0.
	3c		3c t c						4c			4c t a a t 0.
		1				2		2			1						2		1	2
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим
	2a1 a2 b1 0,																		2a2 b2 0,
				b2 4c1					0,												4c2		0,
	2b1			b2 4c1					0,										2b2		4c2		0,
	c c			2	a 0														c a 0.
		1		2			1												2		2

Вторая из выписанных систем позволяет определить составляющие собственного вектора матрицы исходной системы дифференциальных уравнений, а первая – присоединенного.

Из правого столбца, полагая a2 C2 ,											имеем: b2		2C2 ,	c2 C2 . Тогда из
левого столбца, полагая a1 C3 , имеем
			b1 C2 2C3,			c1 C3 C2.
Итак, общее решение имеет вид:
x C (C C t)e 3t C C te 3t C e 3t ,
1		1	3	2		1	2			3
x C [(C 2C ) 2C t]e 3t								C C (1 2t)e 3t					2C e 3t	,
2		1	2	3		2				1	2		3
x	1	C [(C C ) C t]e 3t							1	C C		( 1 t)e 3t C e 3t .
x	4	C [(C C ) C t]e 3t								C C		( 1 t)e 3t C e 3t .
3	4	1	3	2	2			4		1	2		3

Матричная экспонента.

Решение системы (1а) предыдущей лекции

можно записать в

виде

x(t) eAt x(0),

где x (0) x 0 – вектор начальных значений, т.е.

x (0) x0

, x (0) x0 ,.....,

x (0) x0 , а

eAt

– матрица, j – й столбец которой

есть решение системы (1а)

~ j

с начальными условиями

(0)

ij , т.е. матрица

имеет вид

~ 1

(t)

~ 2

~ n

(t)

1 0

. 0

(t) . x

~ 1

(t)

~ n

(t)

0 1

. 0

eAt

. x

; eA 0

. .

~ 1

~ 2

~ n

(t)

0 0

. 1

(t) . xn

и удовлетворяет уравнению

eAt AeAt

Тогда вектор x (t)

– решение системы (1а) с начальным условием

x (0) x 0

может быть записан в виде

		0		1		0	2
	x(t) x1 x				x2 x
т.е. в виде
	x (t)		x		1	x 2
	x (t)			1			1
	1
	x (t)				1		2
	x (t)				1		2
x (t)	2			x2			x2
x (t)	.
	.		.				.
	x (t)		.				.
	x (t)				1		2
	n		xn			xn

		0 n			,
	... xn x				,
.	n		x	0
.	x1		x
			1
.	x n		x0			eAt x 0.
	2		2			eAt x 0.
.	.		.

.	x n		0
.	x n		xn
	n

Пример.

Найти матрицу eAt для матрицы				A		3	1
Найти матрицу eAt для матрицы				A					.
						2	0
						2	0
Решение:
				(3 )			1		2	3 2 0
Характеристическое уравнение:				(3 )			1		2	3 2 0		имеет
				2
корни 2, 1, т.е.		x1	1e2t	; x1	1e2t ; x2					2et ;	x2	2et .
1	2	1	1	2			2	1		1	2	2

Система

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]