Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч. 2. Учебное пособие
.pdf
|
dx |
|
Y (t) A(t)x Y (t) |
|
(t). |
(8) |
|||||||
Y (t) |
b |
||||||||||||
dt |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проинтегрируем выражение (8) в пределах от 0 до t, причем выражение |
|||||||||||||
слева проинтегрируем по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
dY |
|
t |
t |
|||||||
Y t x t Y 0 a |
x(s)ds Y (s) A(s)x(s)ds Y (s) |
|
(s)ds (9) |
||||||||||
b |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
0 |
|
ds |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
В последнем соотношении |
положим |
a |
|
, поскольку |
общее решение |
||||||||
0 |
|||||||||||||
уравнения (3) мы получим, прибавив к частному решению слагаемое X (t)a .
Т.к. нашей целью является получение решения |
x(t) , то наложим на |
||||
матрицу Y наиболее удобное для нас требование, а именно, пусть |
|||||
|
dY |
Y (s) A(s), |
0 s t; Y (0) I. |
(10) |
|
|
|
||||
|
ds |
|
|
|
|
Матрица Y окажется теперь функцией s и t, т.е. Y=Y(s,t) и Y(t,t)=I. |
|||||
С учетом (10) из (9) будем иметь |
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
x(t) Y (s,t) |
b |
(s)ds. |
(11) |
0 |
|
|
|
||
Система (10) называется сопряженной системе (5). Из общей теоремы существования и единственности следует, что уравнение (10) имеет единственное решение.
Легко убедиться, что
|
|
Y (s) X (s) C, |
(12) |
|||
где C – постоянная матрица. В самом деле, |
|
|||||
|
d |
( XY) |
dY |
X Y |
dX |
YAX YAX 0. |
|
ds |
ds |
ds |
|||
|
|
|
|
|||
Найдем эту матрицу C. Из (12) следует, что |
|
|||||
|
|
Y (s,t) CX 1(s) |
||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (t,t) I CX 1(t), |
||||
откуда C X (t) . Таким образом, |
|
|
|
|||
|
|
Y (s,t) X (t) X 1(s). |
(12а) |
|||
Уместно сравнить изложенный подход с методом функции влияния.
51
Список литературы
[1]В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1953г.
[2]А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. Физматлит, 1998.
[3] Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и |
вариационное |
исчисление. М.: Наука, 1965 г. |
|
[4]Р.Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1978г.
[5]Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. МоскваИжевск: РХД, 2001г.
[6]В.Ф.Филиппов Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.:Наука, 1990г.
[7]Сборник задач по математике для ВТУЗов. Под редакцией А.В.Ефимова, Б.П.Демидовича. Т.2. М.:Наука, 1995 г.
[8]А.Г.Кюркчан, Н.И.Смирнова. Конспект лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Ч.1. М.: МТУСИ, 2007.
52
План УМД 2015.2016 уч. г., п.
Александр Гаврилович Кюркчан Надежда Ивановна Смирнова
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ. Ч.2.
Учебное пособие
_______________________________________________________
Подписано в печать 2015 г. Формат 60х84/16 Объем Тираж Изд.
Заказ
_______________________________________________________
ООО «Инсвязьиздат». Москва, ул. Авиамоторная, 8.
53