Квантовая логика

УДК 510 ББК 22.12

В19

Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского Гуманитарного Научного Фонда (РГНФ)

Проект № 04-06-16107д

Васюков, В.Л.

В19 Квантовая логика / В..Л. Васюков. — 3-е эл. изд. — Москва : ПЕР СЭ : Ай Пи Ар Медиа, 2024. — 192 с.

ISBN 5-9292-0142-0

Книга посвящена квантовой логике — интердисциплинарной области науки, интересующей физиков, математиков, логиков и философов. Квантовая логика рассматривается автором монографии, прежде всего, с точки зрения логических исчислений и логической техники. Главное внимание уделяется синтаксической реконструкции систем квантовой логики и построению различного рода абстрактных семантик для полученных систем. Философские вопросы, возникающие в процессе построения систем квантовой логики, например, природы времени в квантовом мире, рассматриваются и решаются сквозь призму неклассических методов современной логики. Вместе с тем в книге кратко описывается история квантовой логики и дается обзор современных направлений исследований в этой области. Особый интерес представляют последние три главы книги, посвященные построенной автором так называемой квантовой логике наблюдаемых, призванной преодолеть разрыв между используемыми в большинстве квантовологических исследований формализмами и математическим аппаратом современной квантовой теории.

Содержание

4

5

Предисловие

Квантовая логика вступает в период своей зрелости — почти семьдесят лет исследований в сопоставлении с возрастом человека представляются достаточным основанием для вынесения такого вердикта. Однако у тех, кто имеет представление о современном состоянии дел в квантовой логике, подобное утверждение способно вызвать лишь скептические замечания. Несмотря на сотни статей и десяток монографий, посвященных этой области современных исследований, ситуация все еще напоминает конец тридцатых годов двадцатого века — период возникновения квантовой логики.

Квантовая логика по-прежнему является обширным полем исследований, интересующим физиков, математиков, логиков и философов. Характерна в этом отношении классификация Миклоша Редеи [Rédei 2001], который в своей рецензии на монографию «Квантовая логика» К.Свозила [Svozil 1998] выделяет четыре главных группы тем, охватывающих то, что, по его мнению, можно назвать квантовой логикой:

Алгебраический подход. Недистрибутивные (главным образом ортомодулярные) решетки, образующие весьма привлекательный класс решеток, имеющих массу применений к технически нетривиальным проблемам. Для алгебраистов «квантовая логика» всего лишь экзотический синоним хорошо известной математической структуры.

Точка зрения специалистов в области теории вероятностей: квантовая логика с квантовыми состояниями, определенными на ней, есть, по сути дела, неклассическая теория вероятностей. Задача заключается в последовательной разработке и интеграции некоммутативных версий классических концепций.

6

Логический подход. Следуя установке алгебраической логики надо преобразовывать логические понятия и проблемы в алгебраические, что позволяет исследовать логику и ее свойства с помощью алгебраических методов. При таком подходе квантовая логика становится логикой, семантически детерминированной определенной алгебраической структурой.

Философская перспектива: философы стремятся понять, как все вышеупомянутые различные аспекты квантовой логики образуют единое целое, и может ли какой-нибудь из этих подходов прояснить интерпретационные проблемы, касающиеся квантовой механики.

В сущности, эти четыре подхода можно в разной пропорции обнаружить в любой статье или монографии, посвященной квантовой логике. Но читатель легко обнаружит, что в предлагаемой его вниманию книге доминирует логический подход. Квантовая логика интересует автора прежде всего с точки зрения логических исчислений и логической техники. В книге квантовая логика рассматривается как раздел современной неклассической логики со всеми вытекающими отсюда последствиями. Главное внимание уделяется синтаксической реконструкции систем квантовой логики и построению различного рода абстрактных семантик для полученных систем. Философские вопросы, возникающие в процессе построения систем квантовой логики, например, природы времени в квантовом мире, рассматриваются и решаются сквозь призму неклассических методов современной логики.

Сужение поля зрения, вызываемое подобной личной позицией автора, неизбежно и очевидно. Однако, можно ли вообще при исследовании таких интердисциплинарных областей как квантовая логика обойтись без концентрации усилий и фокусирования внимания на тех проблемах, которые интересны именно конкретному исследователю?

Результаты исследования обсуждались на семинарах сектора логики Института философии РАН, кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В.Ломоносова и кафедры логики университета г.Зальцбурга (Австрия). Автор выражает признательность участникам этих семинаров, чья критика и предложения способствовали уточнению принципиальных положений книги.

7

Введение

Работа Г. Биркгофа и Дж. фон Неймана «Логика квантовой механики» [Birkhoff Neumann 1936], как считают в настоящее время, положившая начало исследованиям этого раздела логики, вышла в свет 1936 году. Само возникновение подобного направления было свидетельством насущной необходимости философского анализа основных понятий и методов современной физики (и шире — естественнонаучных теорий). И если мы примем во внимание, что и Г. Биркгоф и И. фон Нейман были математиками, то становится ясным, что эта необходимость была осознана не только одними философами, но в равной мере и естествоиспытателями. Последнее обстоятельство подтверждается и тем фактом, что о квантовой логике шла речь на чествовании юбилеев Галилео Галилея, П.А.М. Дирака, Л. де Бройля.

Введенное И. фон Нейманом и Г. Биркгофом логическое исчисление формально было неотличимо от исчисления замкнутых подпространств гильбертова пространства, что способствовало доминированию алгебраических методов в квантовой логике. Попытки введения многозначных логических систем (Г. Рейхенбах) были подвергнуты критике со стороны физиков. И лишь значительно позже наметились пути эффективного использования результатов и методов современной логики для квантовологических исследований.

Этот процесс привел к тому, что перед квантовой логикой встала масса чисто логических проблем, связанных с традиционными логическими задачами. Так, например, использование секвенциальных методов в квантовой логике привело

8

квозникновению проблем устранимости сечения, знакомой всем логикам.

При разработке квантовой логики стали использоваться новейшие логически и математические методы — семантика возможных миров, диалоговая семантика, плексорная семантика (диаграммы Фейнмана) и т.д. Появились модальные системы квантовой логики, а использование временных операторов позволило говорить о квантовологическом описании динамики квантовых систем.

Если стандартный квантовологический формализм фон Неймана-Биркгофа основывался на использовании ортомодулярных решеток, то в настоящее время используются и более сложные структуры — банаховы пространства, нечеткие множества. Новое рождение переживает и использование методов многозначной логики. Появившиеся в последнее время системы релятивистской квантовой логики позволяют надеяться на то, что логический анализ методов современной физики принесет свои плоды и в области синтеза теории относительности и квантовой логики.

Ксожалению, следует признать, что в отечественной литературе мало внимания уделяется разработке подобных проблем. Узок круг авторов, явно недостаточно количество работ. Стоит отметить, что на русском языке имеется лишь одна монография по данному вопросу — это книга В. С. Меськова «Очерки по логике квантовой механики» [Меськов 1986]. На фоне огромного количества статей и антологий, выпущенных за все это время за рубежом, этого явно мало.

Анализ проблем современного развития квантовой логики приводит к выводу, что наблюдается определенная тенденция

кразличению понятий квантовой логики и логики квантовой механики. Ряд авторов даже предлагает в этой связи для первой из них термин «ортомодулярная логика» или «ортологика».

Подобная тенденция не в последнюю очередь обусловлена тем обстоятельством, что построенная для ряда систем квантовой логики теоретико-множественная семантика вытеснила классическую семантику гильбертовых пространств и во многих работах о последней даже не вспоминают. Воз-

9

никла, например, операциональная интерпретация квантовой логики, с самого начала не апеллирующая к гильбертовым пространствам квантовой теории.

В то же время подобная интерпретация заставляет по-но- вому взглянуть на соотношение квантовой логики и классической, приводя к более широкой постановке вопроса — об отношении квантовой логики к другим логическим системам. Исследуя этот вопрос, в книге рассматривается проблема представления квантовой логики как расширения логических систем. Выясняется, в частности, что квантовая логика представима как модальное расширение системы бесконечнозначной логики Лукасевича, релевантной логики, классического пропозиционального исчисления и логики Хао Вана.

Продолжая анализ в данном направлении, в книге вводится в рассмотрение бимодальное расширение логических систем, для чего используется в качестве второго модального оператора временной оператор фон Вригта, имеющий интуитивное значение «в следующий момент». Это позволяет в рамках квантовой логики перейти от квантовой статики к квантовой динамике, т.е. перейти к описанию эволюции во времени квантовых систем. В книге рассмотрены системы квантовой логики времени, полученные путем темпорального расширения известных квантовологических систем.

Наряду с этим рассмотрены системы многозначной квантовой логики, позволяющие получить более пригодное для нужд квантовой теории формальное описание квантовых систем. Реконструируемая теоретико-множественная семантика подобных систем служит основой для дальнейшего рассмотрения и анализа современных проблем квантовой теории.

10

Глава первая. Квантовая логика:

история и современность

1.1. О предмете и задачах квантовой логики

Рассмотрим мысленный эксперимент с прохождением электрона через одну и две щели экрана. Пусть высказывание А означает «электрон проходит через первую щель», высказывание В означает «электрон проходит через вторую щель», высказывание С означает «электрон оставляет на фотопластинкемишени точечный след». В этом случае высказывание (А В) С истинно в случае, когда открыта одна из щелей.

Если открыты обе щели, то ситуация, казалось бы, должна описываться высказыванием (А С) (В С), т.е. электрон проходит через первую щель и оставляет точечный след, либо электрон проходит через вторую щель и оставляет точечный след на фотопластинке-мишени. Согласно закону дистрибутивности (А В) С ≡ (А С) (В С) и тождество истинно в силу того, что обе части описывают один и тот же результат — точечный след на мишени. На самом же деле на фотопластинке мы получаем дифракционную картину и нарушение закона дистрибутивности (корректное описание подобного эксперимента можно найти в [Панченко 1981]).

Означает ли это, что в микромире происходит нарушение законов классической логики? Интересное свидетельство в пользу подобной точки зрения можно найти в математическом формализме квантовой механики.

В теории фон Неймана физическая система S (в качестве нее может выступать электрон из описанного эксперимен-