Квантовая логика

131

возникнуть в силу того, что не исключен случай, когда v(A,x) ≥ v(OA,x+). ■

Что касается всех остальных результатов (фундаментальная теорема, сильная полнота), то нетрудно убедиться, что все они получаются путем объединения соответствующих доказательств для TQLO и NQLO.

Несколько слов следует еще сказать о роли O-оператора фон Вригта в квантовой логике наблюдаемых. С матричной точки зрения, по-видимому, его можно расценивать как эндоморфизм на матрице QLO. Наличие обратного оператора фон Вригта приводит, соответственно к обратимости данного эндоморфизма на истинностной матрице.

Введение в рассмотрение обратного оператора фон Вригта в аксиоме Ах26 обусловлено было стремлением охватить случай обратимых квантовых систем, поскольку требование обратимости всегда играет физически важную роль при рассмотрении временных трансляций в рамках алгебраического подхода к квантовым теориям. Фактически задание обратного оператора фон Вригта привело к заданию на QLO-фрейме не только отношения S следования за, но и отношения S-1 следования перед, для которых имеет место xSyS-1x. Но поскольку изменения, вызываемые подобным пополнением QLO-фрей- ма в сущности не велики и очевидны, то в явном виде введение отношения S-1 не было сделано.

6.4. Эффекты в квантовой логике наблюдаемых

В работе [Mundici 1986] Д.Мундичи показал, что каждая ап- проксимативно-мерная C*-алгебра с решеточной группой размерности может быть вложена в счетную MV-алгебру. Поскольку такая MV-алгебра будет также алгеброй Линденбаума бесконечнозначной логики Лукасевича, то этот результат можно было бы понимать как дающий возможность рассматривать свойства квантовых систем в рамках логики Лукасевича. Нет необходимости говорить, что с физической точки зрения мы

132

вэтом случае должны рассматривать элементы MV-алгебры как класс операторов, чей спектр содержится в дйствительном числовом интервале [0,1].

Однако отсутствие достаточно разработанной интерпретации подобных операторов вынуждает нас рассматривать их как так называемые эффекты в гильбертовом пространстве, представляющие собой ограниченные линейные операторы, такие,

что для каждого эффекта E и для всех операторов плотности D, 0 ≤ Tr(DE) ≤ 1 (борновская вероятность). Р.Джунтини в работе [Giuntini 1996] было показано, что класс всех эффектов в любом гильбертовом пространстве представляет собой алгебраическую структуру, называемую квантовой MV-алгеброй.

Подобные алгебры обладают всеми свойствами обычных MV-алгебр, но в них нарушается ключевая аксиома MV-ал- гебр — так называемая аксиома Лукасевича. Квантовые MVалгебры представляют собой неидемпотентные расширения ортомодулярных решеток подобно тому, как обычные MVалгебры являются расширениями булевых алгебр.

Вслучае переноса метода Мундичи на квантовые эффекты, мы можем интерпретировать их как задающие некоторую разновидность борновской вероятности для квантовых наблюдаемых, представленных операторами в гильбертовом пространстве, но образующие обычные MV-алгебры, а не квантовый MV-алгебры. Фактически, эти вероятности можно было бы рассматривать как вероятности того, что результат измерения наблюдаемой даст нам некоторое действительное число (подобно тому, как проекторы

вгильбертовом пространстве рассматриваются как «да-нет»-от- веты на тот же самый вопрос) (см. [Cattaneo 1993, p.245]).

Вдальнейшем изложении также будет использована сле-

дующая теорема QLO: Bx1. ¬(A¬A) B B

Bx1 доказывается с помощью Ax9, Ax10, Ax14.

Чтобы ввести эффекты в QLO, обогатим язык QLO за счет унарного оператора , а аксиоматику расширим с помощью

следующих аксиом и правила вывода: Ax28. A A

Ax29. ¬A 1¬A

133

Ax30. 1 1

Ax31. (A B) ( A B)

Ax32. ¬(B¬B) A 1

Ax33. 1 1 A

Обозначим систему QLO + {Ax28-Ax33, Rx8} как QLO-MV. Чтобы доказать, что QLO-MV действительно описывает эффекты, вначале напомним определение алгебраической структуры, ответственной за них. Согласно П.Мангани (см. [Mangani 1973]) MV алгебры могут быть описаны следующим образом:

(MV1) (a b) c = a (b c) (MV2) a 0 = a

(MV3) a b = b a

(MV4) a 1 = 1 (MV5) (a*)* = a (MV6) 0* = 1 (MV7) a a* = 1

(MV8) (a* b)* b = (a b*)* a (аксиома Лукасевича)

Как и в QLO мы определяем [A] [B] = [ A B] и [A]* = [¬A].

Теорема 6.4.1. Структура F = Frm, ,*,0,1 , где Frm = {P/~: P есть формула с префиксом }, 0 = [¬(A¬A)], 1 = [1], представляет собой MV алгебру.

Доказательство. Ассоциативность для (MV1) следует из определения и ассоциативности в QLO, так же как и ком-

мутативность для (MV3). (MV2) выполняется, поскольку [A] 0 определяется с помощью A¬(A¬A) (A¬(A¬A)), а

затем по Bx1 это будет эквивалентно A, что в силу определения P дает [A]. В случае (MV4) имеем A 1 A 1 по Ax19. Но, принимая во внимание Ax33, A 1 1. Что касается

(MV5), то [A]** определяется посредством ¬ ¬A, а по Ax29, Ax28 это дает ¬ ¬A 1¬ ¬A 1¬(¬A) 1¬1 A.

Но мы получаем 1¬1 ¬¬1¬¬¬1 ¬(¬1¬¬1) ¬(1¬1) с помощью Ax2, Ax1. Таким образом, по Bx1 мы полу-

134

чаем (1¬1) A A. (MV6) следует из того, что ¬¬(A¬A)

(A¬A) A¬A A 1¬A 1.

Чтобы получить (MV7), мы имеем A¬A по определению

иAx28. Тогда, как и в случае (MV6), получаем A¬A 1.

Вслучае аксиомы Лукасевича для левой части мы имеем

¬(¬A B) B по определению и Ax28. Теперь по Ax29 и Ax28 получаем ¬(¬A B) B ¬ ¬A¬B B 1¬ ¬A¬B B 1¬(1¬A) 1¬B B. По Ax1, Ax2, Ax1 имеем 1¬(1¬A) 1¬B B A 1 1. Для правой части подобным образом получаем ¬(¬B A) A B 1 1,

что и определяет выполнимость аксиомы Лукасевича.■ В дальнейшем везде под ппф будем иметь в виду ппф с

префиксом .

Определение 6.4.2.. Пусть Г представляет собой непустое множество ппф. Ппф A с префиксом QLO-MV-следует из Г, Г A, если A QLO-следует из Г и существуют B1,…,Bn Г, такие, что

(а) Bi A, i = 1,2,…,n.

Если A QLO-MV—следует из 1, то A QLO-MV-выводима или является QLO-MV-теоремой, что записывается как A. Г является QLO-MV-совместимым, если существует хотя бы одна ппф, которая не QLO-MV—следует из Г, в противном случае Г является QLO-MV-несовместимым. Г является QLO- MV-полным, если оно QLO-MV-совместимо и замкнуто относительно QLO-MV-следования, т.е. тогда и только тогда, когда

(1)Г является QLO-полным;

(2)A Г влечет A Г.

Лемма 6.4.3. Если x Ф, где Ф — множество ппф, является QLO-MV-полным, тогда

(i)x A тогда и только тогда, когда A x;

(ii)¬(A¬A) x для всех ппф А с префиксом .

Доказательство. (i) Поскольку в QLO-MV имеет место A A,

достаточность следует из определения QLO-MV-следования. Необходимость следует из 6.4.2(1), (2).

(ii) По определению x непусто, следовательно, существует B x. Но по 6.4.2(1) J0B x, а отсюда по Ах9 и 6.4.2(1) получа-

135

ем ¬(A¬A) x. Отсюда используя Rx8, получаем требуемый результат. ■

QLO-MV-полные множества и QLO-MV-следование связывает между собой следующая версия леммы Линденбаума:

Теорема 6.4.4. Г A тогда и только тогда, когда A принадлежит каждому QLO-MV-полному расширению Г.

Доказательство. Если Г A, то существуют B1,…,Bn Г,

такие, что либо B1 … Bn A, либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A, либо J|α |Bi A, либо Bi A (1 ≤ i ≤ n). Если x является QLO-

MV—полнымi и Г x, то B1,…,Bn x. Применяя 6.4.2(1), (2), получаем A x.

Обратно, пусть A не QLO-MV-следует из Г. Пусть x = {B: Г B}. По Ax0 имеем Г x, и по предположению A x. Доказательство будет завершено, если удастся показать, что x

является MV—полным, поскольку QLO-полнота очевидна в силу определения. Положим B x и B C, тогда существует B1,…,Bn Г, такие, что Bi C, следовательно, Г C, т.е. C x.

С другой стороны, если B x, тогда существует B′Г, такая, что B′ B. Поскольку по Rx8 B′ B, то по Ax28 мы имеемB′ B. Таким образом, Г B x.

Отсюда заключаем, что x замкнуто относительно QLO- MV-следования, конъюнкции, дизъюнкции, J-оператора и-оператора. Поскольку A x, то A не QLO-MV-следует из x, поэтому x является QLO-MV-совместимым, что и заканчивает доказательство теоремы. ■

Теорема 6.4.5. Если x является QLO-MV-полным и ¬A x, тогда существует QLO-MV-полное множество y, такое, что A y, и для всех B либо ¬B x, либоB y.

Доказательство. Положим y = {B: A B}. По Ax0 A y. Пусть теперь ¬B x. Тогда B y, иначе А В, откуда ¬B ¬А по Rx1, откуда по Rx8 и, в свою очередь, по 6.4.2(1), ¬А x, в противоположность предположению. Далее, по 6.4.3(ii) имеем ¬(A¬A) x. Согласно вышедоказанному, получаем A¬A y. Действуя аналогично доказательству теоремы 6.4.4, можно показать, что y замкнуто относительно , ,J, и QLO-MV-следованию. Тогда ввиду того, что A¬A не QLO-MV-следует из y, т.е. y является QLO-MV-со- вместимым, получаем, что y является QLO-MV—полным. ■

136

Поскольку наша система представляет собой расширение QLO, то для описания ее семантики воспользуемся определениями семантики QLO, модифицируя их по мере необходимости для передачи специфики QLO-MV.

Определение 6.4.6. QLO-MV-моделью называется четверка= X, ,ξ,v , где

(i)X, ,ξ является квантовым фреймом из определения

2.2.3;

(ii)v является оценкой (функцией верификации), сопоставляющей действительное число каждой пропозициональ-

ной переменной и формуле QLO-MV для каждой точки (каждого элемента) из X, т.е. v:(S Ф) × X → , где S — множество

пропозициональных переменных, Ф — множество ппф.

Обозначая множество {x X: v(A,x) = a} как ||A||a, рекурсивно определяем значение формулы в QLO-MV—модели путем добавления к определению значения формулы в QLO-модели следующего пункта:

(7) || A||a = {x X: x ||A||b& a = q(A,x,b)}, где q: v → [0,1], такая, что

(i)q(q(A,x,a)) = q(A,x,a);

(ii)если v(A,x) негативно, то за q(A,x,a) принимается

1−q(A,x,−a);

(iii)q(1,x,1) = 1 и q(¬(A¬A),x,0) = 0;

(iv)q( (A B),x,a) = min{q( A,x,b) + q( B,x,c),1} ;

(v)q(¬A,x,a) = 1−q(A,x,a).

Очевидно, что при таком определении q играет роль v для формул с префиксом , т.е., например, q( A B,x,a) = q( A,x,с) + q( B,x,d) = c + d = a.

Если Г является непустым множеством ппф, тогда говорим, что Г влечет А в x в , : Г xA, тогда и только тогда, когда B Г(q(B,x,b) ≤ q(A,x,a)), Г —влечет А, : Г A, тогда и только тогда, когда либо B Г(x ||B||(-)), т.е. когда B не верифицирована в x (верифицируемость, а не истинность, поскольку имеем дело с многозначной истинностной матрицей), либо Г влечет A во всех x в . Если является QLO-MV—фреймом, то Г —влечет A тогда и только тогда, когда : Г A для всех QLO-MV—моделей на . Если же является классом QLO-

137

MV—фреймов (т.е. квантовых фреймов), то Г —влечет A, : Г A, тогда и только тогда, когда : Г A для всех . Класс детерминирует QLO-MV тогда и только тогда, когда для всех A,B Ф, А В тогда и только тогда, когда : А В. сильно детерминирует QLO-MV тогда и только тогда, когда для всех Г,А, Г А тогда и только тогда, когда : Г A.

Если определить область значений формулы A как

,

то, распространяя это определение на 6.4.6(1)-(7), в даль-

нейшем ||pi||, ||A B||, ||A B||, ||¬A||, ||J|α′|A||, || A|| будут обозначать области значений соответствующих формул, а ||A||(-) будет обо-

значать произвольное значение соответствующей формулы.

Лемма 6.4.7. Для любой QLO-MV-модели и любой A Ф,

||A||(-)ξ.

Доказательство. Получаем индукцией по длине A, используя 6.4.6. ■

Теорема 6.4.8 (непротиворечивость QLO-MV). Г А только, если

Θ: Г A, где Θ — класс всех QLO-MV-фреймов.

Доказательство. Сводится путем индукции по QLO-MV- следованию к демонстрации того факта, что этот результат справедлив для Ах1-Ах16, Ах28-Ах33 и сохраняется при применении Rx1-Rx5, Rx8. Приводим наименее очевидные случаи (с учетом доказательства для QLO).

Ax28. Пусть x || A||a. Тогда по 6.4.6(7) x || A||b и a = q( A,x,b). Вновь, по 6.4.6(7) это влечет x ||A||c и b = q(A,x,c). Мы получаем q( A,x,b) = q(q(A,x,c)) = q(A,x,c) по свойству q и отсюда a = q(A,x,c).

Ax29. Пусть x ||A||a. Тогда по 6.4.6(3) y ||¬A||-a только если x y, т.е.. y ||A||a только если x y. Далее, по 6.4.6(7) y ||¬A||b и b = q(¬A,y,−a) = 1−q(A,x,a) согласно свойствам q. Но нетрудно

убедиться, что этот результат получается и для правой стороны

Ax18, т.е. y ||1¬A||c и c = 1−q(A,x,a).■

Определение 6.4.9. Если L является квантовой логикой наблюдаемых и эффектов, то каноническая QLO-MV—модель для L есть структура L = XL, L,ξL,vL , где:

138

(1) XL = {x Ф: x является QLO—MV-полным множеством};

(2) x Ly тогда и только тогда, когда существует ппф A, такая, что ¬A x, A y;

(3) ξL = {|A|L: A Ф }, где |A|L = {x XL: A x};

(4) vL: (S Ф) × XL → .

Обозначая множество {x XL: v(A,x) = a} как ||A||La, получаем

определения значений формул и областей значения в канонической модели L аналогично 6.4.6(1)-(7).

Лемма 6.4.10. L = XL, L,ξL является QLO-MV—фреймом.

Доказательство. Пусть x XL. Тогда для любой А либо не имеет места ¬A,A x, либо по Ах7 х будет QLO-MV—несо- вместимой. Следовательно, x Lx не имеет места. Если x Ly, то для некоторой ппф А имеем ¬A x, A y. Используя Ах2, приходим к заключению ¬B y, B x, где B = ¬A. Таким образом x Ly. Следовательно, L является отношением орто-

гональности. Проверим, является ли ||A||L *L-замкнутым. Предположим, что x ||A||L, т.е. A x. По Ах2 ¬¬A x, откуда по 6.4.5 существует y XL, такой, что x Ly не имеет места и ¬А y. Тогда если z ||A||L, то A z и, следовательно, y Lz. Отсюда y L||A||L как и требовалось. Очевидным образом ξL будет замкнуто относительно пересечения (в силу свойств QLO-MV—следования и QLO-MV—полноты). ■

Теорема 6.4.11 (фундаментальная теорема для QLO-MV). Для каждой ппф А и для всякого x X, x ||A||L тогда и только тогда, когда A x.

Доказательство. Доказывается индукцией по длине А. В

случаях A = B C, A = B C, A = JαB, A = B нетрудно видеть, что из условия B C,B C,JαB, B x следует B,C x. Достаточно об-

ратиться к 6.4.6(2),(3),(5),(7). Конверсия следует из 6.4.2(1). Предположим теперь, что A = ¬B и для B теорема выпол-

нима. Пусть ¬B x. Тогда если y ||B||L(-), то по индуктивному предположению B y и отсюда x Ly. По 6.4.6(4) следует x ||B||L(-). С другой стороны, если ¬B x, то согласно 6.4.5 существует y XL, такой, что B y, откуда по индуктивному предположению y ||B||L(-), но x Ly не имеет места. По 5.3.3(4) приходим к выводу, что x ||B||L(-). ■

139

Следствие 6.4.12. Г A тогда и только тогда, когда L:Г A.

Доказательство. Если Г A, то существует B1,…,Bn Г, такие,

что B1 … Bn A, либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A, либо J|α |Bi A, и Bi A (1 ≤ i ≤ n). Если x ||B||L(-) для всех B Г, тогда поi6.4.11

B1,…,Bn x. По 5.2.1(2)-(4) следует, что A x, откуда x ||A||L(-). Наоборот, если A не является QLO—выводимой из Г, то

по 5.2.3 существует x XL, такой, что Г x и A x. Тогда по 6.4.8 x ||B||L(-) для всех B Г, но x ||A||L(-).■

Теорема 6.4.13. Г A тогда и только тогда, когда L:Г A.

Доказательство. Пусть будет произвольной QLO—мо- делью на L; для каждого i<ω, ||pi|| ξL, тогда существует Bi, такая, что ||pi|| (-) = |Bi|L(-) (|Bi|L(-) определяется как в 5.3.6) и |Bi|L(-) = ||Bi||L(-). Для любой ппф C пусть C′ будет результатом подстановки Bi, вместо каждого вхождения pi. Очевидным образом в Г существуют A1,…,An, такие, что A1 … An A, либо

(A1 … An) (An … A1) A, либо J|α |Ai A и Ai A (1 ≤ i ≤ n). Используя предложенную подстановку,i получаем A′1 … A′n

A′ и т.д. Тогда по 5.3.9 L: A′1 … A′n A′, либо L: (A′1 … A′n)(A′n … A′1) A′, либо L: J|α |A′i A′ и L: A′i A′. Но простой индукцией получаем, что ||C||i = ||C′|| L; откуда L: A1 … An

A, либо L: (A1 … An) (An … A1) A, либо L: J|α |Ai A, и L:Ai A, откуда : Г A. Поскольку все это выполнимоi в любой

модели на L, то отсюда заключаем, что L: Г A. ■

Следствие 6.4.14 (сильная полнота QLO-MV). Θ: Г A только если Г A.

Доказательство. Поскольку L является по 6.4.10 QLO-MV- фреймом, то Θ содержит L в качестве элемента. Остальное очевидно. ■

Таким образом, 6.4.14 устанавливает тот факт, что QLO-MV сильно детерминирована классом всех QLO-MV-фреймов.

6.5. Бимодальная квантовая логика эффектов

Рассматривая эффекты гильбертова пространства как ограниченные линейные операторы Е, такие, что для всех операторов плотности D, 0 ≤ Tr(DE) ≤ 1, можно определить на классе всех

140

E( ) эффектов частичное упорядочение следующим образом [Giuntini 1996, р.397]. Для любых E,H E( ):

E H тогда и только тогда, когда для всех операторов плотности D: Tr(DE) ≤ Tr(DF).

Соответственно класс всех эффектов совпадает с классом всех ограниченных линейных операторов между 0 и 1. Очевидным образом E( ) содержит класс всех λ1 (с λ[0,1]), где для всякого вектора состояния ϕ (λ1)ϕ := λϕ. Определяем теперь для любых E,H E( ):

где + представляет собой обычную операторную сумму, E* := 1 — E.

Как нетрудно убедиться, E F = E + F тогда и только тогда, когда E + F 1.

Точно так же нетрудно убедиться, что структура ( ) =E( ),, ,1,0 не выполняет аксиому Лукасевича MV-алгебры.

Действительно, рассмотрим два нетривиальных эффекта E,F, таких, что E F и F E. В этом случае по определению операцииимеем E F* = 1 и F E* = 1. Но тогда (E* F)* F = 0 F = F ≠ E = 0 E = (E F*)* E. Отсюда следует, что аксиома Лукасевича не выполняется в структуре ( ).

Напомним, что Р.Джунтини показал, что класс всех эффектов (определяемых борновской вероятностью) любого гильбертова пространства представляет собой пример алгебраической структуры, называемой квантовой MV алгеброй. Квантовая MV алгебра (QMV алгебра) [Giuntini 1996, p.399] представляет собой структуру M = M, ,*,1,0 , где M есть непустое множество, 0 и 1 являются константами M, и * являются бинарной и унарной операциями соответственно,

удовлетворяющей следующим аксиомам (где a b := (a* b*)*, a+,b := (a b*) b и a.-b := (a b*) b):

(QMV1) (a b) c = (a b) c

(QMV2) a 0 = a

(QMV3) a b = b a