Квантовая логика

171

MV*-алгебра формы G(р), с заданным на нем инволютивным эндоморфизмом *, где G является упорядоченной абелевой группой и р является позитивным элементом G.

Доказательство. Согласно [Chang 1982], если В является MV*- алгеброй, то В представима с помощью MV*-изоморфизма h*:

h*: В→ , где

представляет собой MV*-произведение MV*-алгебр

Gi(pi),+,C,0, (pi (здесь Gi(pi) = {x: x G и −pi ≤ x ≤ pi}, Gi — упорядоченная абелева группа, pi — какой-либо позитивный элемент Gi).

Для рассматриваемого в теореме случая, если В является СMV*-

алгеброй, то В представима с помощью изоморфизма h*:

C

Как и в случае теоремы 7.3.2 нетрудно убедиться, что лексикографическое упорядочение позволяет определить структуру СMV*-алгебры на произведении. Разница лишь в интервале изменения: теперь это [−1−i,1+i]. Все остальное достаточно тривиально. ■

Две формулы P и Q эквивалентны, P ≡ Q, если P↔Q. Пусть P/≡ = {Q: P ≡ Q} и пусть F = {P/≡: P является формулой}. Определим фактор-операции и константы следующим образом:

0 = (P→P)/≡

С(P/≡) = ¬P/≡

P/≡ + Q/≡ = (¬P→Q)/≡ (P/≡)* = P*/≡

Теорема 7.4.2. Система F,+,C,*,0,1/≡ является СMV*-ал- геброй.

Доказательство. Проверке подлежат аксиомы Вх13-Вх15, но их выполнимость очевидна. ■

Теорема 7.4.3. P если и только если P СС. Доказательство. а) Если: непосредственная проверка вы-

полнимости Р11-Р13 подтверждает справедливость того, чтоP, если P СС.

б) Только если: так как по теоремам 7.4.1-7.4.3 СMV*-ал-

172

гебра для СС представима в виде лексикографического произведения двух подалгебр прямого произведения MV*-алгебр G(р) с инволютивным эндоморфизмом, то после введения на лексикографическом произведении структуры упорядоченной абелевой группы доказательство не отличается существенно от случая MV*-алгебры в [Chang 1982]. ■

7.5. Модальность и комплекснозначная система МСС

Анализ комплекснозначных расширений логических систем подсказывает следующую возможность. В [Фейс 1974, с.42] при рассмотрении системы М”ПК, эквивалентной модальной логике М фон Вригта, принято определение модальностей посредством квантификации по дополнительной переменной t, определяющей случаи, в которых истинны или ложны рассматриваемые факты. При этом операторы и ◊ интерпретируются как t и t соответственно, т.е. утверждение «событие p происходит с необходимостью» выражается как tpt, а утверждение «событие p возможно» − как tpt. Отсюда, если принять, что мнимая часть значения истинности высказываний оценивает истинность дополнительной переменной t для случаев, то нетрудно перейти к определению модальных формул как таких формул, у которых мнимая часть значений истинности не равна нулю и представляет собой истинность соответствующего квантифицированного выражения.

Но этого мало. Возникающие на этом пути трудности связаны с фактом квантификации: поскольку модальность определяется через квантификацию, то она будет зависеть от правил употребления кванторов, т.е. от соответствующего их определения на логической матрице и аксиоматики предикатного исчисления. Если обратиться к системам Ł 0 и С, то, например, согласно [Chang 1982] квантор определяется для X [−1,1]как

(X) =def sup(X).

Следовательно, если ввести в комплекснозначных системах СŁ 0 и СС квантификацию по мнимой части, то соответ-

173

ствующая СMVили СMV*-алгебра получится по-прежнему как лексикографическое произведение двух алгебр, но одна из них в этом случае должна быть полной, т.е. обладать sup для каждого подмножества, что определит на ней существование соответствующей операции .

Возьмем в качестве исходной систему СС. Аналогично приведенным выше определениям квантора существования получаем, беря определение в качестве образца, следующее определения модального оператора возможности:

◊(X+Yi) ) =def X + (supY)i

Тогда, если обратиться к аксиоматике предикатной силь- но-неотрицательной логики Чэна [Chang 1982,р.35], дополнительные модальные аксиомы и правила вывода получаются из

соответствующих кванторных правил и аксиом в виде: P14. P′→◊P

P15. ◊(P→Q) ↔ (P→◊Q), где P — немодальная формула (т.е.

мнимая часть всегда равна 0). Р15. ◊(¬P→P) ↔ (¬◊P→◊P)

Сразу же бросается в глаза то обстоятельство, что в силу определения оператора ◊ необходимо добавить еще одну аксиому:

Р16. ◊◊P↔◊P,

фиксирующую очевидный результат получения sup(sup(X)), ввиду того, что sup всегда единственен (см., например, [Кон 1968, с.32]). Если при обычной интерпретации формула u uP явно абсурдна, то здесь это далеко не очевидно и требует специального синтаксического выделения.

Обозначим полученную систему как МСС. Нетрудно видеть, что благодаря PR5, имеем:

◊(P/≡) = ◊P/≡.

Таким образом получаем на СMV*-алгебре дополнительную операцию ◊. В силу симметричности определения операторов ¬, → на логической матрице, получаем как и в [Chang

175

гебраической структуры инволютивным эндоморфизмом. При этом в двузначном случае потребовалась полная перестройка аксиоматики (переход к четырехзначной логике), а бесконечнозначном случае лишь приходилось пополнять исходную аксиоматику дополнительными аксиомами. В последнем случае это объяснимо тем, что мощность истинностных матриц при применении метода Яськовского не изменялась.

Особый интерес представляет в этой связи комплекснозначное расширение квантовой логики наблюдаемых. Во-первых, ввиду специфического смысла истинностных значений в этой логике, а во-вторых, ввиду того, что здесь мы сталкиваемся с умножением комплексных чисел, выражающих значение истинности формул, что не позволяет применить на истинностной матрице квантовой логики наблюдаемых метод раздельного (отдельно для действительной и мнимой частей) определения логических операций из предыдущих параграфов.

Помимо этого, следует иметь в виду, что фундаментальное фазовое пространство квантовой механики представляет собой бесконечномерное гильбертово пространство над полем комплексных чисел. Это обстоятельство приводит к тому, что алгебра наблюдаемых становится комплексной алгеброй с инволюцией. Под инволюцией здесь имеется в виду инволютивный антиавтоморфизм (обозначаемый звездочкой *) алгебры , т.е. ее отображения на себя, обладающие следующими свойствами:

(R*)* = R

(R + S)* = R* + S* (λR)* = λ*R* (RS)* = S* R*

для всех R,S и всех комплексных λ (λ*− это величина, комплексно сопряжненная к с λ) [Эмх 1976, с.96]. Если алгебра действительная, то λ* = λ.

Если теперь обратиться к матрице QLO, то нетрудно прийти к выводу, что синтаксическим аналогом инволюции * могла бы послужить операция контекстуального отрицания следующего вида:

~(x+yi) = x−yi

если обратиться к множеству комплексных чисел в качестве

177

квантовой логикой наблюдаемых, а Г — непустое множество ппф. Ппф A СQLO-следует из Г, Г A, если существует B1,…,Bn Г, такие, что

(а) либо B1 … Bn A;

(б) либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A;

(в) либо J|α |Bi A, i = 1,2,…,n;

(г) либо (Bi1 … Bn) (~Bn … ~B1) A;

Если A CQLO-следует из ¬(A¬A), то A CQLO-выводима или является CQLO-теоремой, что записывается как A. Г является CQLO-совместимым, если существует хотя бы одна ппф, которая не CQLO-следует из Г, в противном случае Г является CQLO-несовместимым (можно показать, что Г является CQLO-совместимым тогда и только тогда, когда не имеет места одновременно Г A и Г ¬A). Г является CQLO-полным, если оно CQLO-совместимо и замкнуто относительно , , J, ~

иCQLO-следования, т.е. тогда и только тогда, когда

(1)для некоторой ппф не имеет место Г A;

(2)если A Г и А В, то В Г;

(3)A,В Г влечет A B,A B Г;

(4)A Г влечет J|α|A Г;

(5)A Г влечет ~A Г.

Лемма 7.6.3. Если x Ф, где Ф — множество ппф, является CQLO-полным, тогда

(i)x A тогда и только тогда, когда A x;

(ii)¬(A¬A) x для всех ппф А.

Доказательство. (i) Поскольку по Ax0 A A, достаточность следует из определения CQLO—следования. Необходимость следует из 7.6.2(2), (3), (4), (5).

(ii) По определению x непусто, следовательно, существует B x. Но по 7.6.2(4) J0B x, а отсюда по Ах8 и 7.6.2(2) получаем требуемое. ■

CQLO-полные множества и CQLO-следование связывает между собой следующая версия леммы Линденбаума:

Теорема 7.6.4. Г A тогда и только тогда, когда A принадлежит каждому СQLO-полному расширению Г.

Доказательство. Если Г A, то существуют B1,…,Bn Г, такие, что либо B1 … Bn A либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A,

178

либо J|α |Bi A (1 ≤ i ≤ n), либо (B1 … Bn) (~Bn … ~B1) A. Если x являетсяi CQLO-полным и Г x, то B1,…,Bn x. Применяя

7.6.2(3),(4),(5) и затем 7.6.2(2), получаем A x.

Обратно, пусть A не CQLO-следует из Г. Пусть x = {B: Г B}. По Ax0 имеем Г x, и по предположению A x. Доказа-

тельство будет завершено, если удастся показать, что x является CQLO—полным. Положим B x и B C, тогда существует B1,…

,Bn Г, такие, что B1 … Bn B, либо (B1 … Bn) (Bn … B1) B, либо J|α |Bi B (1 ≤ i ≤ n), либо (B1 … Bn) (~Bn … ~B1) B. Отсюда поi Rx3 получаем B1 … Bn C, либо (B1 … Bn) (Bn … B1)C, либо J|α |Bi C, либо (B1 … Bn) (~Bn … ~B1) C, следовательно, Г Ci , т.е. C x.

С другой стороны, если B,C x, то существуют B1,…,Bn,C1,…

,Cn Г, такие, что B1 … Bn B и C1 … Cn C. Тогда по Rx4 получаем B1 … Bn C1 … Cn B C. Отсюда Г B C, и следовательно, B C x.

Далее, если B x, то существует B′Г, такая, что J|α′|B′ B. Но

по Rx2 получаем J|β|J|α′|B′ J|β|B, и по Ах15 получаем J|βα′|B′ J|β|B, следовательно, Г J|β|B x.

Пусть теперь B,C x. Тогда существуют B1,…,Bn, C1,…,Cn Г,

такие, что (B1 … Bn) (Bn … B1) B и (C1 … Cn) (Cn … C1)C. Но тогда по Rx5 получаем (B1 … Bn C1 … Cn) (Cn …C1 Bn … B1) B C. Следовательно, Г B C, B C x.

Точно так же существуют B1,…,Bn, C1,…,Cn Г, такие, что

(B1 … Bn) (~Bn … ~B1) B и (C1 … Cn) (~Cn … ~C1)C. Но тогда по Rx5 получаем (B1 … Bn C1 … Cn) (~Cn …~C1 ~Bn … ~B1) B C. Следовательно, Г B C, B C x.

Отсюда заключаем, что x замкнуто относительно CQLO-сле- дования, конъюнкции, дизъюнкции, J- и ~-операторов. Поскольку A x, то A не СQLO-следует из x, поэтому x является СQLO-со- вместимым, что и заканчивает доказательство теоремы. ■

Теорема 7.6.5. Если x является СQLO-полным и ¬A x, тогда существует СQLO-полное множество y, такое, что A y, и для всех B либо ¬B x, либо B y.

Доказательство. Положим y = {B: Г B}. По Ax0 A y. Пусть теперь ¬B x. Тогда B y, иначе А В, откуда ¬B ¬А по Rx1, откуда, в свою очередь, по 7.6.2(2), ¬ А x, в противоположность

179

предположению. Далее, по 7.6.3(ii) имеем ¬(A¬A) x. Согласно вышедоказанному, получаем A¬A y. Действуя аналогично доказательству теоремы 7.6.4, можно показать, что y замкнуто относительно , ;J,~ и СQLO-следованию. Тогда ввиду того, что A¬A не СQLO-следует из y, т.е. y является СQLO-совме- стимым, получаем, что y является СQLO-полным. ■

Перейдем теперь к определению моделей и фреймов для CQLO. Нетрудно заметить, что приводимые ниже определения отношения ортогональности ничем не отличаются от случая квантовой ортологики.

Определение 7.6.6. CQLO-моделью называется четверка =X, ,ξ,v , где

(i)X, ,ξ является квантовым фреймом из определения

2.2.3;

(ii)v является оценкой (функцией верификации), сопоставляющей комплексное число каждой пропозициональной

переменной и формуле CQLO для каждой точки (каждого элемента) из X, т.е. v: (S Ф) × X → , где S − множество пропозициональных переменных, Ф − множество ппф.

Обозначая множество {x X: v(A,x) = a} как ||A||a, рекурсивно определяем значение формулы в CQLO—модели следующим образом:

(1)||pi||a = {x X: v(pi,x) = a}ξ;

(2)||A B||a = {x X: x ||A||b∩||B||c & a = b + c};

(3)||A B||a = {x X: x ||A||b∩||B||c & a = bc};

(4)||¬A||a = {x X: x ||A||-a & v(¬A,x) = a};

(5)||JαA||a = {x X: x ||A||b & a = αb};

(6)||1||1 = X, т.е. v(1,x) = 1 для всех x X;

(7)||~A||a = {x X: x ||A|| a & v(~A,x) = a}.

Если Г является непустым множеством ппф, тогда говорим, что Г влечет А в x в , : Г xA, тогда и только тогда, когдаB Г(v(B,x) ≤ v(A,x)), Г -влечет А, : Г A, тогда и только тогда, когда либо B Г(x ||B||(-)), т.е. когда B не верифицирована в x (верифицируемость, а не истинность, поскольку имеем дело с многозначной истинностной матрицей), либо Г влечет A во всех x в . Если является CQLO-фреймом, то Г -влечет A тогда и только тогда, когда : Г A для всех CQLO-моделей на . Если

180

же является классом CQLO-фреймов (т.е. квантовых фреймов), то Г -влечет A, : Г A, тогда и только тогда, когда : Г A для всех . Класс детерминирует CQLO тогда и только тогда, когда для всех A,B Ф, А В тогда и только тогда, когда: А В. сильно детерминирует CQLO тогда и только тогда, когда для всех Г,А, Г А тогда и только тогда, когда : Г A.

Если определить область значений формулы A как

,

то, распространяя это определение на 7.6.6(1)-(7), в дальнейшем ||pi||, ||A B||, ||A B||, ||¬A||, ||J|α′|A||, ||~A|| будут обозначать области значений соответствующих формул, а ||A||(-) будет обозначать произвольное значение соответствующей формулы.

Лемма 7.6.7. Для любой CQLO-модели и любой A Ф, ||A||(-)ξ.

Доказательство. Получаем индукцией по длине A, используя 7.6.6. ■

Теорема 7.6.8 (непротиворечивость CQLO). Г А только, если

Θ: Г A, где Θ — класс всех CQLO-фреймов.

Доказательство. Сводится путем индукции по CQLO-сле- дованию к демонстрации того факта, что этот результат справедлив для Ах1-Ах16 и сохраняется при применении Rx1-Rx5. Приводим случаи аксиом с инволюцией.

Ах34. Пусть x ||A||a. Тогда x ||~A|| a по 7.6.6(7), что вновь по 7.6.6(7) дает x ||~~A||a.

Пусть x ||~~A||a. Тогда x ||~A|| a по 7.6.6(7) и, следовательно, по 7.6.6(7) x ||A||a.

Ах35. Пусть x ||~(A B)||a. Тогда по 7.6.6(7) x ||A B|| a & v(~(A B),x) = a. По 7.6.6(2) x ||A||c∩||B||d и c + d = a. Но поскольку c + d = a, получаем, что x ||~A|| c ∩ ||~B|| d , и по 7.6.6.(2) x ||~A ~B)||a. То же самое проходит и в обратную сторону.

Ax36. Пусть x ||~(A B)||a. Тогда по 7.6.6(7) x ||A B|| a & v(~(A B),x) = a. По 7.6.6(3 ) x ||A||c∩||B||d и cd = a. Но так как d c = a, получаем, что x ||~B|| d ∩||~A|| c, и по 7.6.6.(3) x ||~B ~A)||a. То же самое проходит и в обратную сторону.

Ax37. Пусть x ||~JαA||a. Тогда по 7.6.6(7) x ||JαA|| a & v(~JαA,x) = a.