Квантовая логика

111

Ax8. 1 A A

Ax9. J0A ¬(B¬B)

Ax10. J1A A

Ax11. Jα(A B) JαB A

Ax12. Jα(A B) JαB JαA

Ax13. ¬JαA Jα¬A

Ax1 4. Jα+βA JαA JβA

Ax15. JαβA JαJβA

Правила вывода:

Принцип неопределенности:

Ax16. ¬[(A B)¬(B A)]2(A¬A)2 (B¬B)2 (здесь A2 означает A A).

Что касается принципа неопределенности, то данная аксиома занимает особое место. Аксиома алгебраического подхода, относящегося к случаю действительной алгебры наблюдаемых, гласит следующее [Эмх 1976, с.103]:

Каждой паре наблюдаемых A и B в соответствует наблюдаемая C , устанавливающая нижнюю грань одновременной

наблюдаемости A и B в том смысле, что

ϕ;(А - Iϕ;A )2ϕ;(B - Iϕ;B )2 ≥ ϕ;C 2 ϕ.

Если попытаться теперь перенести эту аксиому непосредственно в QLO, то пришлось бы перейти к квантификации по высказываниям, что было бы крайне нежелательно. Для комплексной алгебры наблюдаемых принцип неопределенности

в обычной форме выглядит следующим образом:

ϕ;(А - Iϕ;A )2ϕ;(B - Iϕ;B )2 ≥ ϕ;i[A,B] 2.

112

Последняя формулировка более подходяща, так как в левой части, как и в правой, фигурируют одни и те же переменные, так что отпадает надобность в квантификации. Неясно лишь как быть с выражением i[A,B]. Однако при обычной формулировке [Эмх 1976, с.14] просто полагают

C = i[A,B],

что практически нивелирует действительный и комплексный случаи. Но поскольку

[A,B] = A B – B A,

то возведение в квадрат дает ϕ;i[A,B] 2 = ϕ; - [A,B]2 .

Отсюда нетрудно перейти к требуемой формулировке аксиомы Ах16.

В дальнейшем нам понадобится следующая теорема, которую можно получить из Ax2 с помощью Rx3:

Ax0. A A

Определение 5.2.1.. Пусть QLO будет квантовой логикой наблюдаемых, а Г – непустое множество ппф. Ппф A QLO- следует из Г, Г A, если существует B1,…,Bn Г, такие, что

(а) либо B1 … Bn A;

(б) либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A;

(в) либо J|α |Bi A, i = 1,2,…,n.

Если A QLOi -следует из ¬(A¬A), то A QLO-выводима или является QLO–теоремой, что записывается как A. Г является QLO–совместимым, если существует хотя бы одна ппф, которая не QLO–следует из Г, в противном случае Г является QLO–несовместимым (можно показать, что Г является QLO-совместимым тогда и только тогда, когда не имеет места одновременно Г A и Г ¬A). Г является QLO–полным, если оно QLO–совместимо и замкнуто относительно , , J, и QLO–следования, т.е. тогда и только тогда, когда

(1) для некоторой ппф не имеет место Г A;

(2) если A Г и А В, то В Г:

(3) A,В Г влечет A B,A B Г;

(4) A Г влечет J|α|A Г.

Лемма 5.2.2. Если x Ф, где Ф – множество ппф, является QLO–полным, тогда

113

(i)x A тогда и только тогда, когда A x;

(ii)¬(A¬A) x для всех ппф А.

Доказательство. (i) Поскольку по Ax0 A A, достаточность следует из определения QLO–следования. Необходимость следует из 5.2.1(2), (3), (4).

(ii) По определению x непусто, следовательно, существует B x. Но по 5.2.1(4) J0B x, а отсюда по Ах8 и 5.2.1(2) получаем требуемое. ■

QLO-полные множества и QLO-следование связывает между собой следующая версия леммы Линденбаума:

Теорема 5.2.3. Г A тогда и только тогда, когда A принадлежит каждому QLO–полному расширению Г.

Доказательство. Если Г A, то существуют B1,…,Bn Г,

такие, что либо B1 … Bn A либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A, либо J|α |Bi A (1 ≤ i ≤ n). Если x является QLO–полным и Г x,

то B1,…,i Bn x. Применяя 5.2.1(3),(4) и затем 5.2.1(2), получаем

A x.

Обратно, пусть A не QLO-следует из Г. Пусть x ={B:Г B}. По Ax0 имеем Г x, и по предположению A x. Доказательство будет завершено, если удастся показать, что x является QLO–

полным. Положим B x и B C, тогда существует B1,…,Bn Г,

такие, что B1 … Bn B, либо (B1 … Bn) (Bn … B1) B, либо J|α |Bi B (1 ≤ i ≤ n). Отсюда по Rx3 получаем B1 … Bn C, либо

С другой стороны, если B,C x, то существуют B1,…,Bn,C1,…,

Cn Г, такие, что B1 … Bn B и C1 … Cn C. Тогда по Rx4 получаем B1 … Bn C1 … Cn B C. Отсюда Г B C, и следовательно, B C x.

Далее, если B x, то существует B′Г, такая, что J|α′|B′ B. Но

по Rx2 получаем J|β|J|α′|B′ J|β|B, и по Ах15 получаем J|βα′|B′ J|β|B, следовательно, Г J|β|B x.

Пусть теперь B,C x. Тогда существуют B1,…,Bn, C1,…,Cn Г,

такие, что (B1 … Bn) (Bn … B1) B и (C1 … Cn) (Cn … C1) C. Но тогда по Rx5 получаем (B1 … Bn C1 … Cn) (Cn …C1 Bn … B1) B C. Следовательно, Г B C, B C x.

Отсюда заключаем, что x замкнуто относительно QLO–сле-

114

дования, конъюнкции, дизъюнкции и J–оператора. Поскольку A x, то A не QLO-следует из x, поэтому x является QLO-совме- стимым, что и заканчивает доказательство теоремы. ■

Теорема 5.2.4. Если x является QLO–полным и ¬A x, тогда существует QLO–полное множество y, такое, что A y, и для всех B либо ¬B x, либо B y.

Доказательство. Положим y ={B: A B}. По Ax0 A y. Пусть теперь ¬B x. Тогда B y, иначе А В, откуда ¬B ¬А по Rx1, откуда, в свою очередь, по 5.2.1(2), ¬ А x, в противоположность предположению. Далее, по 5.2.2(ii) имеем ¬(A¬A) x. Согласно вышедоказанному, получаем A¬A y. Действуя аналогично доказательству теоремы 5.2.3, можно показать, что y замкнуто относительно , ;J и QLO–следованию. Тогда ввиду того, что A¬A не QLO–следует из y, т.е. y является QLO–совместимым, получаем, что y является QLO–полным. ■

Подводя некоторые итоги, следует отметить, что QLO также присущи некоторые черты, характерные для квантовой ортологики. Так, в QLO, как и в квантовой ортологике, доказательство леммы Линденбаума, не потребовало применения таких сильных методов, как, например, лемма Цорна, что для квантовой ортологики было отмечено как беспрецедентный случай для логических систем. Что касается понятия QLOполных множеств, то с топологической точки зрения они представляют собой собственные фильтры, а не ультрафильтры, поскольку последнему мешает свойство 5.2.1(4). Это в свою очередь ведет к тому, что, как и для квантовой ортологики, для QLO нет необходимости в использовании какогонибудь варианта аксиомы выбора, без чего нельзя было бы обойтись при доказательстве существования ультрафильтров. Если же учесть, что отрицание в QLO, согласно теореме 5.2.4 обладает такими же свойствами, что и отрицание в квантовой ортологике, то следует ожидать, что стоуново пространство QLO также является компактным пространством, аналогично стоунову пространству ортоструктуры.

Заслуживает внимания и следующее обстоятельство, связанное с определением QLO-полных множеств. 9-я аксиома алгебраического подхода гласит:

115

Алгебру можно отождествить с множеством всех самосопряженных элементов действительной или комплексной ассоциативной алгебры с инволюцией, удовлетворяющей следующим двум условиям [Эмх 1976, с.97]:

1)для каждого элемента R существует элемент A , такой, что R*R = A2;

2)если R*R = О, то R = О.

Но, как оказывается, требование о том, что можно было бы отождествить с множеством всех самосопряженных элементов алгебры с инволюцией , с математической точки зрения заменяемо требованием, чтобы алгебры была обратимой в . Это означает, что допускает следующее обобщение симметризованного произведения:

для любой конечной последовательности {Ai} элементов алгебры элемент

также принадлежит . Но если обратиться к определению QLO–полного множества, то подобную функцию, как нетрудно показать, выполняют 5.2.1(а), (б). Следовательно, можно показать, что аналог 9-й аксиомы проходит и для алгебры Линденбаума QLO, что важно по той причине, что позволяет свести комплексный и действительный случаи алгебры наблюдаемых к действительной подалгебре, а матрица QLO по определению действительна.

5.3. QLO: семантика

Прежде всего следует проверить, является ли алгебра, соответствующая QLO, алгеброй наблюдаемых, удовлетворяющих аксиоме алгебраического подхода в том виде, как они даны в [Эмх 1976].

Определение 5.3.1. Две ппф A и B эквивалентны, A ~ B, если

A B.

116

Действительно, отношение ~ рефлексивно по Ax0 и транзитивно по Rx3, и, очевидным образом, симметрично. Пусть теперь P/~ = {A: P~A} и пусть F = {P/~: P есть формула}. Обозначая через [A] множество A/~, можно определить:

[A] + [B] = [A B]

[A] [B] = [A B]

− [A] = [¬A]

0 = [¬(A¬A)]

1 = [1]

α[A] = [J|α′|A]

Теорема 5.3.2. Структура = F,+, ,-,α,0,1 , где α , является алгеброй (наблюдаемых), а = F,+,-,α,0 является векторным (линейным) пространством. 0 является тождеством относительно +, а 1 является тождеством относительно -.

Доказательство. Коммутативность операции + получаем

следующим способом. Согласно Ах10 получаем A J1A иB J1B, а затем по Rx4 получаем A B J1A J1B. Но по Ах12 имеем J1A J1B J1(A B), и по Rx3,Ах10 получаем A B B A.

Следовательно, [A] + [B] = [B] + [A]. Ассоциативность операции + получаем по Ах4.

В случае [A] + 0 путем использования Ах14, Ах9, Ах10 получаем [A] + 0 = [A]. Выполнимость аксиом произведения элементов на число очевидным образом следует из аксиом для J–операторов. Отсюда получаем, что F,+,-,α,0 является векторным пространством. Элементы (-1)(- [A]) и 1((-1)[A]) совпадают вследствие аксиомы Ах13.

Далее, коммутативность операции получаем следующим образом. По Ах11 и Ах10 получаем [J1(A B)] = [J1B A] = [J1B]

[A] = [B] [A] и [J1(A B)] = [A B] = [A] [B], следовательно [A] [B] = [B] [A]. Ассоциативность следует из Ах3. Дистри-

бутивность + и определяет Ах5, а 1 [A] = [A] согласно Ах10. 1 0 = 0 согласно Ах10, а 1 + 0 = 1 в силу вышедоказанного свойства 0. Таким образом, является алгеброй (наблюдаемых). Нетрудно видеть, что введенные операции на классах эквивалентности не зависят от конкретных представителей и, следовательно, являются правильно определенными, т.е. не выводят за пределы .

117

Что касается упорядоченности на , то [A] ≤ [B] определяется как справедливость А В для всякого А [A] и В [B]. Очевидным образом определенное так отношение порядка согласуется со 2-й аксиомой алгебраического подхода [Эмх 1976, с.56]. ■

Перейдем теперь к определению моделей и фреймов для QLO. Нетрудно заметить, что приводимые ниже определения отношения ортогональности ничем не отличаются от случая квантовой ортологики.

Определение 5.3.3. QLO-моделью называется четверка =X, ,ξ,v , где

(i)X, ,ξ является квантовым фреймом из определения

2.2.3;

(ii)v является оценкой (функцией верификации), сопоставляющей действительное число каждой пропозициональ-

ной переменной и формуле QLO для каждой точки (каждого элемента) из X, т.е. v:(S Ф) × X → , где S - множество пропозициональных переменных, Ф - множество ппф.

Обозначая множество {x X: v(A,x) = a} как ||A||a, рекурсивно определяем значение формулы в QLO–модели следующим образом:

(1)||pi||a = {x X: v(pi,x) = a}ξ;

(2)||A B||a = {x X: x ||A||b∩||B||c & a = b + c};

(3)||A B||a = {x X: x ||A||b∩||B||c & a = bc};

(4)||¬A||a = {x X: x ||A||-a & v(¬A,x) = a };

(5)||J|α′|A||a = {x X: x ||A||b & a = αb};

(6)||1||1 = X, т.е. v(1,x) = 1 для всех x X.

Если Г является непустым множеством ппф, тогда говорим, что Г влечет А в x в , : Г xA, тогда и только тогда, когдаB Г(v(B,x) ≤ v(A,x)), Г –влечет А, : Г A, тогда и только тогда, когда либо B Г(x ||B||(-)), т.е. когда B не верифицирована в x (верифицируемость, а не истинность, поскольку имеем дело с многозначной истинностной матрицей), либо Г влечет A во всех x в . Если является QLO–фреймом, то Г –влечет A тогда и только тогда, когда : Г A для всех QLO–моделей на . Если же является классом QLO–фреймов (т.е. квантовых фреймов), то Г –влечет A, : :Г A, тогда и только тогда, когда : Г A для всех . Класс детерминирует QLO тогда и только

118

тогда, когда для всех A,B Ф, А В тогда и только тогда, когда : А В. сильно детерминирует QLO тогда и только тогда, когда для всех Г,А, Г А тогда и только тогда, когда : Г A.

Если определить область значений формулы A как

,

то, распространяя это определение на 5.3.3(1)-(5), в дальнейшем ||pi||, ||A B||, ||A B||, ||¬A||, ||J|α′|A|| будут обозначать области значений соответствующих формул, а ||A||(-) будет обозначать произвольное значение соответствующей формулы.

Лемма 5.3.4. Для любой QLO-модели и любой A Ф, ||A||(-)ξ.

Доказательство. Получаем индукцией по длине A, используя 5.3.3. ■

Теорема 5.3.5 (непротиворечивость QLO). Г А только, если Θ: Г A, где Θ - класс всех QLO-фреймов.

Доказательство. Сводится путем индукции по QLO-сле- дованию к демонстрации того факта, что этот результат справедлив для Ах1-Ах16 и сохраняется при применении Rx1-Rx5. Приводим наименее очевидные случаи.

Ах2. Пусть x ||A||a. Тогда если y ||¬A||-a, то по 5.3.3(4) y x, откуда (симметричность) x y. 5.3.3(4) вновь дает x ||¬¬A||a.

Пусть x ||¬¬A||a. Тогда y ||¬A||-a только если x y, т.е. y ||A||a только если x y. Но ||A||a является *-замкнутым по 5.3.4, и, следовательно, x ||A||a.

Ах6. Нетрудно убедиться, что v(¬(A¬A),x) = 0 для любой точки x X, и точно так же v(A¬A,x) = 0. Но если x ||¬(A¬A)||0,

то y ||A¬A||0 только если x y. По 5.3.3(2) y ||A||b∩||¬A||c и b + c

=0, т.е. c = -b. Но тогда по 5.3.3(4) y y, а это противоречит

иррефлексивности . Следовательно, ни для какого y ни в

какой не имеет места y ||A¬A||0, откуда по определению x ||¬(A¬A)||0 для любого x. При этом для произвольного B v(B B,x) ≥ 0 по 5.3.3(3).

Ax7. Пусть x ||1 A||a. Тогда y ||1||1∩||A||a по 5.3.3(3) и v(1 A,x)

=v(1,x) v(A,x). Но v(1,x) = 1 для любой точки x X в силу опре-

деления константы 1 (см. 5.3.3(6)). Следовательно, v(1 A,x) = v(A,x), откуда : 1 A A и : A 1 A для любой A.

119

Ax11. Пусть x ||Jα(A B)||a. Тогда по 5.3.3(5) x ||A B||b и a= αb. По 5.3.3(5) x ||A||c∩||B||d и b = cd. Следовательно, a = αdc. Но по 5.3.3(5) x ||JαA||αc∩||B||d и по 5.3.3(3) x ||JαA B||αcd=a.

Ax13. Пусть x ||A||a. Тогда по 5.3.3(5) x ||JαA||αa и по 5.3.3(4)

y ||¬JαA||-αa, только если x y. Но тогда y ||¬A||-a ввиду x y и по 5.3.3(5) y ||JαA||-αa.

Rx1. Предположим : A B и пусть x ||¬B||-a. Тогда y ||A||b только если y ||B||a (по индуктивному предположению), только если x y. Это доказывает, что x ||¬A||-b. Остальное очевидно. ■ Определение 5.3.6. Если L является квантовой логикой наблюдаемых, то каноническая QLO–модель для L есть струк-

тура L = XL, L,ξL,vL , где:

(1) XL = {x Ф: x является QLO–полным множеством};

(2) x Ly тогда и только тогда, когда существует ппф A, такая, что ¬A x, A y;

(3) ξL = {|A|L: A Ф }, где |A|L = {x XL: A x};

(4) vL: (S Ф) × XL → .

Обозначая множество {x XL: v(A,x) = a} как ||A||La, получаем определения значений формул и областей значения в канонической модели L аналогично 5.3.3(1)-(6).

Лемма 5.3.7. L = XL, L,ξL является QLO–фреймом. Доказательство. Пусть x XL. Тогда для любой А либо не

имеет места ¬A,A x, либо по Ах7 х будет QLO–несовместимой. Следовательно, x Lx не имеет места. Если x Ly, то для некоторой ппф А имеем ¬A x, A y. Используя Ах2, приходим к заключению ¬B y, B x, где B = ¬A. Таким образом x Ly. Следовательно, L является отношением ортогональности. Проверим, является ли ||A||L *L-замкнутым. Предположим, что x ||A||L, т.е. A x. По Ах2 ¬¬A x, откуда по 5.2.4 существует y XL, такой, что x Ly не имеет места и ¬А y. Тогда если z ||A||L, то A z и, следовательно, y Lz. Отсюда y L||A||L как и требовалось. Очевидным образом ξL будет замкнуто относительно пересечения (в силу свойств QLO–следования и QLO–полноты). ■

Теорема 5.3.8 (фундаментальная теорема для QLO). Для каждой ппф А и для всякого x X, x ||A||L тогда и только тогда, когда A x.

Доказательство. Доказывается индукцией по длине А. В

120

случаях A = B C, A = B C, A = JαB нетрудно видеть, что из условия B C,B C,JαB x следует B,C x. Достаточно обратиться к 5.3.3(2),(3),(5). Конверсия следует из 5.2.1(3),(4).

Предположим теперь, что A = ¬B и для B теорема выпол-

нима. Пусть ¬B x. Тогда если y ||B||L(-), то по индуктивному предположению B y и отсюда x Ly. По 5.3.3(4) следует x ||B||L(-). С другой стороны, если ¬B x, то согласно 5.2.4 существует y XL, такой, что B y, откуда по индуктивному предположению y ||B||L(-), но x Ly не имеет места. По 5.3.3(4) приходим к выводу, что x ||B||L(-). ■

Следствие 5.3.9. Г A тогда и только тогда, когда L:Г A.

Доказательство. Если Г A, то существует B1,…,Bn Г, такие,

что B1 … Bn A, либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A, либо J|α |Bi A (1 ≤ i ≤ n). Если x ||B||L(-) для всех B Г, тогда по 5.3.8 B1,…,Bin x. По

5.2.1(2)-(4) следует, что A x, откуда x ||A||L(-).

Наоборот, если A не является QLO–выводимой из Г, то по 5.2.3 существует x XL, такой, что Г x и A x. Тогда по 5.3.8 x ||B||L(-) для всех B Г, но x ||A||L(-).■

Теорема 5.3.10. Г A тогда и только тогда, когда L:Г A.

Доказательство. Пусть будет произвольной QLO–моде- лью на L; для каждого i<ω, ||pi|| ξL, тогда существует Bi, такая,

что ||pi|| (-) = |Bi|L(-) (|Bi|L(-) определяется как в 5.3.6) и |Bi|L(-) = ||Bi||L(-). Для любой ппф C пусть C′ будет результатом подстановки Bi,

вместо каждого вхождения pi. Очевидным образом в Г суще-

ствуют A1,…,An, такие, что A1 … An A, либо (A1 … An) (An …A1) A, либо J|α |Ai A (1 ≤ i ≤ n). Используя предложенную

подстановку, получаемi A′1 … A′n A′ и т.д. Тогда по 5.3.9 L:

A′1 … A′n A′, либо L: (A′1 … A′n) (A′n … A′1) A′, либо L: J|α |A′i A′. Но простой индукцией получаем, что ||C|| = ||C′|| L;

откудаi L: A1 … An A, либо L: (A1 … An) (An … A1) A, либоL: J|α |Ai A, откуда : Г A. Поскольку все это выполнимо в

любойi модели на L, то отсюда заключаем, что L: Г A. ■

Следствие 5.3.11 (сильная полнота QLO). Θ: Г A только если

Г A.

Доказательство. Поскольку L является по 5.3.7 QLOфреймом, то Θ содержит L в качестве элемента. Остальное очевидно. ■