Квантовая логика

31

что при условии W необходимо a (обозначается Wa), если в любой квантовой логике (т.е. в любом исчислении, описывающем квантовую логику) из W следует a (содержательно: какое состояние мы бы ни взяли, если все измерения любой наблюдаемой из W в этом состоянии всегда дают 1, то измеряя a, мы тоже получим 1). Возможность определяется обычным путем: ◊Wa ≡def ¬ W ¬ a. Произвольная формула модельной логики квантовой механики получается из элементарных формул

Wa и ◊Wa с помощью пропозициональных связок. Показано, что многие формулы, истинные в обычных модальных исчислениях (например, Wa ◊W(b → a)) в такой логике неверны. Другое отличие от обычной модальной логики состоит в том, что какую бы информацию мы не имели, всегда есть наблюдаемые, для которых мы не можем предсказать, что получится при их измерении (можно делать только вероятностные предсказания), т.е. при всех W формула Wa W ¬a не является тождественно истинной. Рассмотрена аналогичная конструкция с заменой базисной логики на интуиционистский вариант и для обеих построенных модальных логик описана диалоговая семантика.

Винтуиционистской перспективе рассматривает квантовую логику Б.Коеке [Coecke 2002]. Вводя «отсутствующую»

врешетке свойств физической системы дизъюнкцию, он получает полную алгебру Гейтинга высказываний о физических свойствах. Подобный подход позволяет ввести чисто интуиционистскую функциональную импликацию на решетке свойств, вопреки распространенному мнению о невозможности использования подобной связки.

Впоследние годы некоторые алгебраические структуры были предложены для моделирования классов так называемых эффектов — ограниченных линейных операторов между 0 и 1, используемых в операциональном подходе квантовой логики. Р.Джунтини и Х.Гройлинг [Giuntini Greuling 1989] разработали так называемые слабые ортоалгебры в качестве формального языка для описания нерезких свойств квантовых систем. Дру-

гие структуры, так называемые логики Брауэра-Заде, были предложены Дж.Каттанео и Дж.Нистико [Cattaneo Nisticò

32

1989] для алгебраического описания расщепления дополнения на две разновидности нестандартных ортодополнений.

Как проявление дальнейшей экспансии логических методов в квантовой механике можно расценивать появление исследований, направленных на квантовологической описание сложных квантовых систем. Обычные аксиоматические системы квантовой логики основаны на рассмотрении только «чистых» пропозиций, т.е. наблюдаемых, представляемых самосопряженными операторами с двухточечным спектром, между тем реальные приборы соответствуют вероятностным комбинациям таких предложений. Как обобщить логические операции, т.е. структуру решетки, на множество Е предложений самого общего вида (в частности, на вероятностные комбинации чистых пропозиций)? К. Гаролой [Garola 1980] предложен способ получения ортодополнения не только в стандартном случае, но и (при некоторых дополнительных предположениях) в более общем алгебраическом формализме. Сущность его в следующем. Отношение порядка на множестве чистых пропозиций можно определить двумя равносильными способами: как e1 ≤ e2 = a(a(e1) ≤ a(e2)), где a пробегает все состояния и a(e) — вероятность ответа 1 при измерении e в

состоянии a, и как e1 e2 = a(a(e1) = 1 a(e2) = 1). На Е эти определения уже не равносильны, более того, — только

предпорядок, так что возникают две решетки: (E,≤) и L—фак-

тор решетка (E, ) по отношению e1 ≈ e2 = (e1 e2 & e2 e1). Для решетки чистых пропозиций ортодополнение e — это «отри-

цание», т.е. наблюдаемая равна 1 тогда и только тогда, когда значение e равно 0; формально e однозначно определена условием a(a(e ) = 1 — a(e)). Однако показано, что эта формула не приводит к ортодополнению на Е (e e ≠ 1 для некоторых e, например, если e — бросание монеты, когда a(a(e ) = 1/2)) и не распространяется на L, так как из e1 ≈ e2 не следует, вообще говоря, что e1 ≈ e2 . Гарола показывает, что приведенное выше определение дает ортодополнение только на множестве E0 = {e E: a(a(e)<1/2 & b(e)>1/2}, включающем все разумные наблюдаемые, а на L можно определить ортодополнение e как класс эквивалентности el , где el — тот из элементов e, у

33

которого множество {a: a(el) = 0} состояний, заведомо не удовлетворяющих el, наибольшее.

Что касается составных квантовомеханических систем, то А. Стейерс в работе «О логике пар квантовых систем» [Stairs 1983] предложил определение тензорного произведения логик отдельных подсистем, дающих логику системы. В случае классических физических систем пространство событий системы S есть, как известно, булева алгебра (и даже σ—алгебра) В(Е) измеримых подмножеств множества состояний Е, а состояние квантовой системы S представляют обычно единичными векторами гильбертова пространства Н, пространством же событий служит решетка L(Н) замкнутых линейных подпространств Н. Автор обобщает классическое В(Е) и квантовое L(Н) пространства событий в понятии системы пропозиций или логики L, являющейся полной ортомодулярной решеткой со свойством атомности. Для описания пространства событий системы S1 + S2 вводится понятие логического произведения (i1,i2,L) решеток L1 = L(H1) и L2 = L(H2), обобщающего понятие булева произведения. При некотором ограничении и условии dim(H1),dim(H2) ≥ 3 показывается, что L = L(H) для некоторого гильбертова пространства H. Изучен ряд свойств произведения, отмечена возможность по крайней мере двух различных произведений в случае обычных квантовых систем.

В начале 80-х был получен ряд критических результатов относительно некоторых выдвинутых ранее систем квантовой логики, фиксирующих их бесполезность с точки зрения физики. В значительной степени это относится к логическому формализму К. Пирона, призванного, по замыслу автора, служить единым аксиоматическим базисом для произвольных физических теорий, классических и квантовых. Н. Хаджисаввас [Hadjisavvas et al. 1980], Ф. Тьефин и М. Мугур-Шахтер (см. [Thieffine et al. 1981], [Thieffine 1983]) обнаружили, что несмотря на то, что эта система синтаксическим непротиворечива, она обладает некоторыми синтаксическими характеристиками, из-за которых попытка интерпретировать в ней квантовую механику наталкивается на столь серьезные трудности, что такая интерпретация представляется невозможной.

34

Помимо этого оказалось, что квантовая логика пропозиций К. Пирона несовместима с законом двойственности Де Моргана в естественной интерпретации этой логики, а одна из аксиом нарушает связь между отношением отрицания и эквивалентности, существующими в обычной логике.

Среди других результатов подобного рода следует отметить обнаружение Р. Лэтзером [Latser 1974] трех формальных дефектов в одном из фундаментальных результатов квантовой механики — доказательстве С. Кохеном и Э. П. Шпеккером [Kochen Specker 1967] невозможности погружения частичной булевой алгебры подпространств гильбертова пространства (размерности больше трех) в полную булеву алгебру при условии сохранения структурных соотношений теории.

Еще более поздний результат, полученный Д.Мейером [Meyer 1999] в этом направлении, показывает, что теорема Кохена-Шпеккера нестабильна при естественном топологическом ослаблении допущений: оригинальное доказательство Кохена-Шпеккера основывается на демонстрации того факта, что точки единичной сферы S2 не могут быть раскрашены в два цвета таким образом, чтобы одна из трех точек, которые определяют ортогональное множество единичных векторов, отличалась по цвету от двух других. Мейер показывает, что точки на S2, имеющие рациональные координаты, могут быть раскрашены требуемым образом. Этот результат был использован для создания неконтекстуальных моделей со скрытыми параметрами.

Появились также системы релятивистской квантовой логики, получающиеся обобщением известной квантовой логики и квантовой вероятности на случаи релятивистского простран- ства-времени. Так, И. Банаи [Banai 1982] при рассмотрении релятивистской квантовой логики использует предложенную Г. Такеути процедуру квантования как перехода от классического универсума фон Неймана к L—значному универсуму, где L — решетка замкнутых подпространств гильбертова пространства. Эта процедура применяется к квантованию про- странства-времени, проводимому с квантованием полевых величин.

35

Другим путем идет П. Миттельштедт при построении системы релятивистской квантовой логики, являющейся естественным расширением построенной им ранее квантовой логики [Mittelstaedt 1978]. В работе «Релятивистская квантовая логика» [Mittelstaedt 1983] он предлагает ее модификацию, предназначенную для описания динамики квантовых систем. Основной объект, как и прежде — вопросы, т.е. наблюдаемые с возможными значениями «да», «нет», основные операции , , ¬, →, +, (А +,В означает «сначала измерим А, потом измерим В»), основное отношение — k(A,B) (одновременная измеримость А и В). Эволюция квантовой системы описывается так: каждой точке пространства-времени и каждой наблюдаемой сопоставляется вероятность р(А) положительного ответа в данной точке пространства-времени так, что если приготовление системы описывается оператором W, в точке S проводится измерение А и ответ положительный, то в точке, причинно следующей за S, состояние есть W +, A, и вероятность положительного ответа на А есть 1, в остальных точках — состояние W и вероятность р(А). Это описание должно быть таким, что если в пространственно разделенных (т.е. причинно не связанных точках х и у) истинны соответствующие утверждения А и В, то А и В одновременно измеримы; в противном случае, измеряя или не измеряя А в точке х, мы могли бы повлиять на результаты измерения В в точке у и тем самым точка у была бы причинно следующей за х.

Еще одно направление исследований связано с системами так называемой квантовой теории множеств. Г.Такеути в работе 1981 года строит ортозначные модели, которые формально похожи на обычные булевозначные модели для стандартной теории множеств [Takeuti 1981] (см. также [Dalla Chiara 1986, p.461-462]). При этом множество истинностных значений имеет структуру полной ортомодулярной решетки. Стандартные теоретико-множественные аксиомы при этом справедливы лишь в ограниченных версиях. В частности, отношение равенства оказывается не-лейбницевским: два квантовых множества могут быть экстенсионально равными, но обладать разными свойствами.

36

Для преодоления подобного недостатка М.Л.Далла Кьяра и Дж. Торальдо ди Франчиа в статье «Индивиды, виды и имена в физике» разрабатывают концепцию квантовых квазимножеств [Dalla Chiara Toraldo di Francia 1993]. Теория квазимножеств позволяет интерпретировать в своих рамках стандартную теорию множеств: множества — это такие квазимножества, которые совпадают со своими экстенсиями, в то время как собственно квазимножества представляют собой разновидность «полуинтенсии». Микрофизика представляет собой мир интенсий, где равные объекты фундаментально неразделимы.

Возникают и предложения расширить саму концепцию квантовой логики. Например, Кенджи Токуо в работе «Расширенная квантовая логика» [Tokuo 2003] предлагает это сделать таким образом, чтобы она охватывала более общее множество предложений, связанных с нетривиальными вероятностями. Он показывает, что подобная структура может быть вложена в мультимодальные рамки, обладающие привлекательными логическими свойствами, такими как аксиоматизация, финитная аппроксимируемость и разрешимость.

Другим путем идут Дж.Каттанео, М.Л.Далла Кьяра и Р.Джунтини, отталкиваясь от концепции квантовых вычислений. В работе «Размытая квантовая логика на основе квантового вычисления» [Cattaneo et al 2003] они предлагают кардинальным образом поменять взгляд на семантику квантовой логики, ассоциируя с каждым предложением либо кубит (qubit) либо систему кубитов. Под кубитом они понимают любой унитарный вектор в гильбертовом пространстве (размерности 2), основывающийся на множестве всех упорядоченных пар комплексных чисел. В дираковском формализме кубит можно

изобразить следующим образом:

|ψ = a0|0 + a1|1 .

В случае системы кубитов рассматриваются унитарные вектора в произведении гильбертовых пространств, над которыми с помощью операторов специального вида (квантовологические вентили) вводятся логические операции.

37

Глава вторая Квантовая логика в топосах

2.1. Ортомодулярность в топосах

Теоретико-множественное моделирование интуиционистской логики, предложенное С. Крипке, позволило обнаружить топосы, в которых логические построения, обобщающие соответствующие конструкции в категориях множеств, оказываются переформулировкой семантических построений Крипке. К настоящему времени имеется уже довольно много теоретикомножественных моделей для квантовой логики (см., например, [Stout 1979]), в том числе и моделей крипкевского типа. Если учесть, вдобавок, что для квантовой логики имеются и иные интерпретации, то закономерным представляется вопрос: могут ли квантовые логики быть стандартным образом интерпретируемы в топосах и какова конструкция подобных топосов в случае положительного ответа?

Исходным пунктом для интерпретации квантовой логики в топосах, предлагаемой автором, послужил тот факт, что для произвольной малой категории С категория функторов SetC является топосом [Гольдблатт 1983, c.219]. Анализ конструкции интерпретации интуиционистской логики в SetP, где P — алгебра Гейтинга, наводит на мысль о том, что можно вместо алгебры Гейтинга использовать ортомодулярную решетку, которая определяет алгебраическую структуру подавляющего числа квантовых логик.

Если взять ортомодулярную решетку Е, то, как и всякая решетка, она будет представлять собой конечно кополную категорию порядка. Таким образом, при построении категории

38

SetC можно попытаться взять в качестве С ортомодулярную решетку, т.е. построить категорию SetE.

Однако в этом случае неясно как категорно интерпретировать ортодополнение, которое выражает свойства отрицания в квантовой логике. В случае алгебры Гейтинга такой проблемы не возникает, ввиду того, что в алгебре Гейтинга отрицание не является примитивной связкой, но вводится по определению с использованием константы (ложь) и импликации.

Чтобы обойти эту трудность, снабдим нашу категорию предпорядка функтором, передающим свойства орттодополнения. Сама идея подобного подхода восходит к предложению А. Рискоса и Л. М. Лайты функторно моделировать классическое отрицание в категориях предпорядка (см. [Riscos Laita 1987]). Выбор категорий предпорядка выгоден здесь именно тем, что в силу единственности стрелок мы сразу можем говорить и о дедуктивных исчислениях и о категориях, поскольку мы не будем нуждаться в тождествах на стрелках: все стрелки единственны.

Определение. Ортокатегория E представляет собой категорию предпорядка, снабженную контравариантным функтором: E → E, такую, что:

(i) Е имеет инициальный объект 0 и терминальный объект 1;

(ii)Е имеет конечные копроизведения [-,-] и конечные произведения -,- ;

(iii)функтор 2 естественно эквивалентен единице в Е, т. е.2a a для любого объекта a из Е,

(iv)a, a 0, [a, a] 1 для всех объектов a из Е,

(v)[a,b] a, b , a, b [ a, b] для любых двух объектов a, b из E

Ортокатегория E является ортомодулярной категорией, когда дополнительно выполняется следующее условие:

(vi)если a → b есть стрелка в Е, то [a, a,b ] b для любых двух объектов a, b из Е.

Нетрудно видеть, что все пункты данного определения представляют собой теоретико-категорную запись алгебраических свойств ортомодулярной решетки. По сути дела, они не влекут за собой каких-либо категорных «осложнений», по-

39

этому в дальнейшем, если это не будет специально оговорено, будем понимать, когда это следует из контекста, под ортомодулярной решеткой ортомодулярную категорию предпорядка, записывая функтор как алгебраическую операцию (т.е. не слева, а справа от символа).

Рассмотрим наследственные множества в ортомодулярной решетке Е. Для любого элемента р наследственное множество [p) определяется равенством:

[p) = {q: p ≤ q}

Ортодополнение в Е представляет собой инволютивную перестановку, причем b ≤ a всякий раз, когда a ≤ b (a,b Е). Как известно [Биркгоф 1964, c.76], в ортомодулярной решетке каждый интервал [a,b] является ортомодулярной решеткой, замкнутой относительно , и операции взятия относительного дополнения c′ = (a c ) b = a (c b). В наследственных множествах верхняя граница интервала равна 1, поэтому c′ = (p c ) 1 = p c . Следовательно, множество Е+ наследственных множеств будет представлять собой множество ортомодулярных решеток.

Рассмотрим теперь решетку Е+ = (Е+, ) наследственных множеств. Чтобы превратить ее в ортомодулярную решетку необходимо определить ортодополнение. В этом случае требуется, чтобы подобная процедура определяла инволютивную операцию на Е+. Из определения ортодополнения следует, что если c′ = p c , то c′[p). Естественно определять тогда [p)′ как множество таких с, что c′[p) . В этом случае p≤ c , а это не что иное, как определение отношения ортогональности, поскольку оно задается требованием a b a ≤ b . Как известно, отношение ортогональности представляет собой симметричное и иррефлексивное отношение.

Определим теперь x Y тогда и только тогда, когда для любого y Y, x y и введем операцию * с помощью определения:

(i) [p)* = {x: x [p)}

Множество X называется замкнутым относительно *, если (X*)* = X.

Однако из определения (i) следует, что [p)* = , поскольку 1 [p), а x 1 если x ≤ 0, т.е. x = 0. Чтобы избежать этого, модифицируем определение наследственного множества:

40

[p) = {q: p ≤ q & q ≠ 1}

Подобные множества называются обычно квази-наслед- ственными множествами, однако чтобы не перегружать терминологию, сохраним за ними первоначальное имя наследственных множеств. Нетрудно переформулировать все предыдущие определения с учетом принятого ограничения.

2.1.1. Лемма. Решетка Е+ = (Е+, ,*) замкнутых относительно операции * наследственных множеств является ортомодулярной решеткой.

Доказательство. Частично упорядоченное множество наследственных множеств, упорядоченных по включению, является ограниченной дистрибутивной решеткой, пересечения и объединения которой задаются соответствующими теоретикомножественными операциями ∩ и [Гольдблатт 1983, c.203]. Следовательно (Е+, ) будет решеткой относительно ∩ и . Тогда в силу замкнутости по *, симметричности и иррефлексивности отношения ортогональности соответственно [p) → [p)* будет инволюцией, а (Е+, ,*) — орторешеткой [Биркгоф 1964, c.164]. Поскольку всякая дистрибутивная решетка модулярна, а всякая модулярная орторешетка является ортомодулярной, то (Е+, ,*) будет ортомодулярной решеткой.

Заметим, что полученная подобным образом орторешетка будет на самом деле представлять собой булеву алгебру [Биркгоф 1964, c.76]. Но можно определить Е+ и как недистрибутивную ортомодулярную решетку. Для этого воспользуемся следующим определением:

X .-Y = (X*∩Y*)*.

Как известно, в общем случае (X*∩Y*)* > X Y [Биркгоф 1964, c.167]. Нетрудно убедиться, что (Е+, , .-,∩,*) представляет собой орторешетку. Необходимое и достаточное условие для ортомодулярности Е+ имеет вид : если [x) [y) и [x)* ∩ [y) = , то [x) = [y) [Биркгоф 1964, c.77]. Доказательство выполнимости дуального этому условия в Е+ можно найти в [Beran 1984, c.171]. Фактически мы получили конструкцию, двойственную вложению Яновица (см. [Beran 1984, c.173]).■