Квантовая логика

141

(QMV4) a 1 = 1 (QMV5) (a*)* = a (QMV6) 0* = 1

(QMV7) a a* = 1

(QMV8) a.-(b+,a) = a

(QMV9) (a+,b)+,c = (a+,b)+,(b+,c)

(QMV10) a (b+,(a c)*) = (a b)+,(a (a c)*) (QMV11) a (a*+,b) = a b

(QMV12) a (a* b).-(b* a) = 1

Оказывается можно построить логику эффектов, соответствующую квантовой MV алгебре, в рамках QLO. Например, мы можем обогатить язык QLO с помощью бинарного оператора и унарного оператора *. В этом случае нужно расширить аксиоматику QLO за счет следующих правил вывода:

(двойная черта означает выводимость в обе стороны). Обозначим систему QLO + {Rx9-Rx11} как QLO-QMV (с Ax0).

Как и в QLO мы определяем [A] [B] = [A B] и [A]* = [A*].

Теорема 6.5.1. Структура F = Frm, ,*,0,1 , где Frm = {P/ : P

есть формула и (A A) P 1}, 0 = [ (A A)], 1 = [1], пред-

¬ ¬ ¬ ¬ ~

ставляет собой QMV алгебру.

Доказательство. Выполнимость аксиом (QMV1) и (QMV3), как легко видеть, является следствием ассоциативности и коммутативности . (QMV2) выполняется в силу Вх2. (QMV4) выполняется ввиду того, что из ¬(A¬A) B (что имеет место в

силу Rx9) получаем ¬(A¬A) 1 B 1 по Rx4 и поскольку по Вх1 ¬(A¬A) 1 1, то по Rx8 1 B 1. В случае (QMV5) по Rx11

имеем 1 ¬A A*, откуда вновь применением Rx11 получаем

1¬(1 ¬A) A**. Но по Вх1 это сводится к 1¬1 ¬¬A)

A**, что ввиду 1¬1 ¬¬1¬¬¬1 ¬(¬1¬¬1) ¬(1¬1)

142

(по Ax2, Ax1) и Ax2, Ax1 сводится, в свою очередь, к A A**. Аналогичные манипуляции позволяют удостовериться в выполнимости (QMV6) и (QMV7).

Чтобы проверить выполнимость остальных аксиом,

определяем A B (A* B*)* A B¬1, A B (A* B*)*, A+,B (A B*) B и A.-B (A B*) B. Более того, полу-

чаем, что

A+,B

A.-B

Действительно, по определению A+,B (A B*) B

(A B*) B¬1. Если A B, то A B* B B* 1 и в силу Rx9 и Rx11 A B* A¬B 1, откуда A+,B A. В противном случае по Rx11 A B* 1 и A+,B B.

Далее, по определению A.-B (A B*) B. Если B A, то B B* A B*, откуда ¬(B¬B) A B*. Это дает нам возмож-

ность использовать Rx9 для вычисления (A B*) B, что дает (A B*) B (A B*) B A B* B ¬1 A 1¬B B¬1

A. В противном случае получаем A B* ¬(B¬B). Но из Rx9

получаем, что из A B ¬(B¬B) следует A B ¬(B¬B), откуда A B* ¬(B¬B) и (A B*) B B.

В случае (QMV8) если A B, то A.-(B+,A) A.-B A. Если A B, то A.-(B+,A) A.-A A.

Для выполнимости (QMV9) нам требуется, чтобы (A+,B)+,C(A+,B)+,(B+,C). Возможны два случая:

1)B C,

2)B C.

Случай 1). Если A B, то в силу Rx3 A C. Тогда (A+,B)+,CA+,C A A+,B (A+,B)+,(B+,C). Если же A B, то (A+,B)+,(B+,C) B+,B B B+,C (A+,B)+,C.

Случай 2). Поскольку B C, то получаем, что B+,C C. Отсюда (A+,B)+,(B+,C) (A+,B)+,C.

Для выполнимости (QMV10) нам необходимо, чтобы A (B+,(A C)*) (A B)+,(A (A C)*). Возможны два случая:

143

1)A C 1,

2)неверно, что A C 1.

Случай 1). A (B+,(A C)*) A (B+,¬(A¬A)) A и (A B)+,(A (A C)*) (A B)+,(A¬(A¬A)) ((A B)

A*) A ((B (A B*)) A (B 1)) A A. Случай 2) имеет два подслучая:

а) B (A C)*,

б) B (A C)*.

Подслучай а). По предположению A (B+,(A C)*) A B и (A B)+,(A (A C)*) (A B)+,(A (A C)*). Если (A (A C)*)

1, то все в порядке. Поэтому предположим, что (A (A C)*)

1 не имеет места. Тогда (A (A C)*) (A (A C)*) C*. Поэтому (A B)+,(A (A C)*) (A B)+,C*. По предположе-

нию B (A C)* 1¬A¬C, откуда A B C*. Следовательно, (A B)+,C* A B.

Подслучай б). По предположению мы имеем, что A (B+,(A C)*) A (B+,(A C)*) A (A C)* A (A C)*C*. Теперь (A B)+,(A (A C)*) (A B)+,C*. По пред-

положению B (A C)*. Тогда C (A B)*, откуда (A B) C*. Таким образом, (A B)+,C* C*.

Случаи (QMV11) и (QMV12) получаем простой проверкой.■

В дальнейшем везде под ппф будем иметь в виду ппф P, для которой справедливо ¬(A¬A) P 1.

Определение 6.5.2.. Пусть Г представляет собой непустое множество ппф. Ппф A QLO-QMV-следует из Г, Г A, если A QLO-следует из Г и существуют B1,…,Bn Г, такие, что

(а) B1 … Bn A.

Если A QLO-QMV—следует из 1, то A QLO-QMV-выводима или является QLO-QMV-теоремой, что записывается как A. Г является QLO-QMV-совместимым, если существует хотя бы одна ппф, которая не QLO-QMV—следует из Г, в противном случае Г является QLO-QMV-несовместимым. Г является QLO-QMV- -полным, если оно QLO-QMV-совместимо и замкнуто относительно QLO-QMV-следования, т.е. тогда и только тогда, когда

(1)для некоторой ппф A не имеет место Г A;

(2)если A Г и А В, то В Г;

144

(3) A,В Г влечет A B,A B,A B Г;

(4) A Г влечет J|α|A Г;

Лемма 6.5.3. Если x Ф, где Ф — множество ппф, является QLO-QMV-полным, тогда

(i)x A тогда и только тогда, когда A x;

(ii)1 x для всех ппф А.

Доказательство. (i) Поскольку в QLO-QMV A A, достаточность следует из определения QLO-QMV-следования. Необходимость следует из 6.5.2.(2), (3), (4).

(ii) По определению x непусто, следовательно, существует B x. Но по 6.5.2(4) J0B x, а отсюда по Ах9 и 6.5.2(2) получаем ¬(A¬A) x. Но поскольку для ппф P всегда справедливо ¬(A¬A) P 1, по 6.5.2(4) получаем требуемый результат. ■ QLO-MV-полные множества и QLO-MV-следование связывает между собой следующая версия леммы Линденбаума:

Теорема 6.5.4. Г A тогда и только тогда, когда A принадлежит каждому QLO-QMV—полному расширению Г.

Доказательство. Если Г A, то существуют B1,…,Bn Г, та-

кие, что либо B1 … Bn A либо (B1 … Bn) (Bn … B1) A, либо B1 … Bn A либо J|α |Bi A (1 ≤ i ≤ n). Если x является QLO- QMV—полным и Г xi , то B1,…,Bn x. Применяя 6.5.2(3), (4), и

затем 6.5.2(2), получаем A x.

Обратно, пусть A не QLO-QMV-следует из Г. Пусть x = {B: Г B}. По Ax0 имеем Г x, и по предположению A x. Доказательство будет завершено, если удастся показать, что x является QLO-QMV—полным. Положим B x и B C, тогда су-

ществует B1,…,Bn Г, такие, что B1 … Bn B, либо B1 … Bn B, либо (B1 … Bn) (Bn … B1) B, либо J|α |Bi B. Отсюда по Rx3 получаем B1 … Bn C, либо B1 … Bn i C, либо (B1 … Bn) (Bn … B1) C, либо J|α |Bi C, следовательно, Г C, т.е. C x.

С другой стороны, еслиi B,C x, то существуют B1,…,Bn,C1,…

,Cn Г, такие, что B1 … Bn B и C1 … Cn C. Тогда по Rx4 получаем B1 … Bn C1 … Cn B C. Отсюда Г B C, и, следовательно, B C x. Учитывая условия, налагаемые на ппф,

получаем отсюда B C x.

Далее, если B x, то существует B′Г, такая, что J|α′|B′ B. Но

145

по Rx2 получаем J|β|J|α′|B′ J|β|B, и по Ах15 получаем J|βα′|B′ J|β|B, следовательно, Г J|β|B x.

Пусть теперь B,C x. Тогда существуют B1,…,Bn, C1,…,Cn Г,

такие, что (B1 … Bn) (Bn … B1) B и (C1 … Cn) (Cn … C1) C. Но тогда по Rx5 получаем (B1 … Bn C1 … Cn) (Cn …C1 Bn … B1) B C. Следовательно, Г B C, B C x.

Отсюда заключаем, что x замкнуто относительно QLO- QMV—следования, конъюнкции, дизъюнкции, J—оператора. Поскольку A x, то A не QLO-QMV-следует из x, поэтому x является QLO-QMV-совместимым, что и заканчивает доказательство теоремы. ■

Теорема 6.5.5. Если x является QLO-QMV—полным и A* x, тогда существует QLO-QMV—полное множество y, такое, что A y, и для всех B либо B* x, либо B y.

Доказательство. Положим y = {B: Г B}. По Ax0 A y. Пусть теперь B* x, что влечет ¬B x по Rx11. Тогда B y, иначе А В, откуда ¬B ¬А по Rx1, ¬А x, а затем А* x в противоположность предположению. Далее, по 6.5.3(ii) имеем 1 x. Согласно вышедоказанному, по Rx11 получаем (1¬1) y. Действуя аналогично доказательству теоремы 6.5.4, можно показать, что y замкнуто относительно , ;J, и QLO-MV—следованию. Тогда ввиду того, что (1¬1) не QLO-QMV—следует из y, т.е. y является QLO-QMV—совместимым, получаем, что y является QLO-QMV—полным.■

Поскольку наша система представляет собой расширение QLO, то для описания ее семантики воспользуемся определениями семантики QLO, модифицируя их по мере необходимости для передачи специфики QLO-QMV.

Определение 6.5.6. QLO-QMV-моделью называется четверка= X, ,ξ,v , где

(i)X, ,ξ является квантовым фреймом из определения 2.2.3;

(ii)v является оценкой (функцией верификации), сопоставляющей действительное число каждой пропозици-

ональной переменной и формуле QLO-QMV для каждой точки (каждого элемента) из X, т.е. v:(S Ф) × X → ,

146

где S — множество пропозициональных переменных, Ф — множество ппф.

Обозначая множество {x X: v(A,x) = a} как ||A||a, рекурсивно определяем значение формулы в QLO-QMV-модели путем добавления к определению значения формулы в QLO-модели следующих двух пунктов:

(7)||A B||a = {x X: x ||A||b∩||B||c & a = min(1,b + c)};

(8)||A*||a = {x X: x ||A||1-a & v(A*,x) = 1-a }.

Если Г является непустым множеством ппф, тогда говорим, что Г влечет А в x в , : Г xA, тогда и только тогда, когда B Г(v(B,x) ≤ v(A,x)), Г —влечет А, : Г A, тогда и только тогда, когда либо B Г(x ||B||(-)), т.е. когда B не верифицирована в x (верифицируемость, а не истинность, поскольку имеем дело с многозначной истинностной матрицей), либо Г влечет A во всех x в . Если является QLO-QMV—фреймом, то Г —влечет A тогда и только тогда, когда : Г A для всех QLO-QMV—моделей на . Если же является классом QLO-QMV—фреймов (т.е. квантовых фреймов), то Г —вле- чет A, : Г A, тогда и только тогда, когда : Г A для всех . Класс детерминирует QLO-QMV тогда и только тогда, когда для всех A,B Ф, А В тогда и только тогда, когда : А В. сильно детерминирует QLO-QMV тогда и только тогда, когда для всех Г,А, Г А тогда и только тогда, когда : Г A.

Если определить область значений формулы A как

,

то, распространяя это определение на 6.5.6(1)-(8), в дальней-

шем ||pi||, ||A B||, ||A B||, ||¬A||, ||J|α′|A||, ||A B||, ||A*|| будут обозначать области значений соответствующих формул, а ||A||(-) будет обо-

значать произвольное значение соответствующей формулы.

Лемма 6.5.7. Для любой QLO-QMV-модели и любой A Ф,

||A||(-)ξ.

Доказательство. Получаем индукцией по длине A, используя 6.5.6. ■

Теорема 6.5.8 (непротиворечивость QLO-QMV). Г А только, если Θ: Г A, где Θ — класс всех QLO-QMV-фреймов.

147

Доказательство. Сводится путем индукции по QLO-QMV- следованию к демонстрации того факта, что этот результат справедлив для Ах1-Ах16 и сохраняется при применении Rx1- -Rx5, Rx9-Rx11. Нас, естественно, будут интересовать только

случаи Rx9-Rх11 (с учетом доказательства для QLO).

Rx9. Предположим :¬(C¬C) A, :A 1, :¬(C¬C)B, :B 1, :A B 1. Согласно определению :¬(C¬C)

xA тогда и только тогда, когда v(¬(C¬C),x) ≤ v(A,x), т.е. 0 ≤ v(A,x), и :A x1 тогда и только тогда, когда v(A,x) ≤ v(1,x), т.е. v(A,x)≤1. То же самое справедливо для B. Помимо этого получаем v(A B,x) ≤ v(1,x). Тогда по 6.5.6(2),(7) получаем, что v(A B,x) = v(A,x) + v(B,x) = v(A B,x). В обратную сторону доказательство очевидно.

Rx10. По предположению :1 A B. Тогда имеем:1 xA B тогда и только тогда, когда 1≤ v(A B,x). Но поскольку v(A B,x) = min(1,v(A,x) + v(B,x)), то очевидным образом 1 = v(A B,x).

определения значений формул и областей значения в канонической модели L аналогично 6.5.6(1)-(8).

Лемма 6.5.10. L = XL, L,ξL является QLO-QMV—фрей- мом.

Доказательство. Пусть x XL. Тогда для любой А либо не

148

имеет места A*,A x, либо по Ах7 х будет QLO-QMV—несовме- стимой. Следовательно, x Lx не имеет места. Если x Ly, то для некоторой ппф А имеем A* x, A y. Используя Ах2, приходим к заключению B* y, B x, где B = A*. Таким образом x Ly. Следовательно, L является отношением ортогональности. Проверим, является ли ||A||L *L-замкнутым. Предположим, что x ||A||L, т.е. A x. По Ах2 ¬¬A x, откуда по 6.4.5 существует y XL, такой, что x Ly не имеет места и ¬А y. Тогда если z ||A||L, то A z и, следовательно, y Lz. Отсюда y L||A||L как и требовалось. Очевидным образом ξL будет замкнуто относительно пересечения (в силу свойств QLO-QMV—следования и QLO-QMV—полноты). ■

Теорема 6.5.11 (фундаментальная теорема для QLO-QMV). Для каждой ппф А и для всякого x X, x ||A||L тогда и только тогда, когда A x.

Доказательство. Доказывается индукцией по длине А. В

случаях A = B C, A = B C, A = JαB, A = B C нетрудно видеть, что из условия B C,B C,JαB,B C x следует B,C x. Доста-

точно обратиться к 6.5.6(2),(3),(5),(7). Конверсия следует из 6.5.2(3),(4).

Предположим теперь, что A = B* и для B теорема выполнима. Пусть B* x. Тогда если y ||B||L(-), то по индуктивному предположению B y и отсюда x Ly. По 6.5.6(8) следует x ||B||L(-). С другой стороны, если B* x, то согласно 6.5.5 существует y XL, такой, что B y, откуда по индуктивному предположению y ||B||L(-), но x Ly не имеет места. По 5.3.3(4) приходим к выводу, что x ||B||L(-). ■

Следствие 6.5.12. Г A тогда и только тогда, когда L:Г A.

Доказательство. Если Г A, то существует B1,…,Bn Г, такие,

что B1 … Bn A, либо B1 … Bn A, либо (B1 … Bn) (Bn …B1) A, либо J|α |Bi A(1 ≤ i ≤ n). Если x ||B||L(-) для всех B Г, тогда по 6.5.11. iB1,…,Bn x. По 5.2.1(2)-(4) следует, что A x,

откуда x ||A||L(-).

Наоборот, если A не является QLO-QMV—выводимой из Г, то по 5.2.3 существует x XL, такой, что Г x и A x. Тогда по 6.5.8 x ||B||L(-) для всех B Г, но x ||A||L(-).■

Теорема 6.5.13. Г A тогда и только тогда, когда L:Г A.

Доказательство. Пусть будет произвольной QLO-QMV—

149

моделью на L; для каждого i<ω, ||pi|| ξL, тогда существует Bi, такая, что ||pi|| (-) = |Bi|L(-) (|Bi|L(-) определяется как в 5.3.6) и |Bi|L(-) = ||Bi||L(-). Для любой ппф C пусть C′ будет результатом подстановки Bi, вместо каждого вхождения pi. Очевидным образом в Г

существуют A1,…,An, такие, что A1 … An A, либо A1 … An A, либо (A1 … An) (An … A1) A, либо J|α |Ai A (1 ≤ i ≤ n). Используя предложенную подстановку, получаемi A′1 … A′n A′

и т.д. Тогда по 5.3.9 L: A′1 … A′n A′, либо L: A′1 … A′n A′, либо L: (A′1 … A′n) (A′n … A′1) A′, либо L: J|α |A′i A′. Но простой индукцией получаем, что ||C|| = ||C′|| L; iоткуда

L: A1 … An A, либо L: A1 … An A, либо L: (A1 … An) (An … A1) A, либо L: J|α |Ai A, откуда : Г A. Поскольку все это выполнимо в любой моделиi на L, то отсюда заключаем,

что L:Г A.■

Следствие 6.5.14 (сильная полнота QLO-QMV). Θ: Г A только если Г A.

Доказательство. Поскольку L является по 6.5.10 QLO- QMV-фреймом, то Θ содержит L в качестве элемента. Остальное очевидно. ■

Таким образом, 6.5.14 устанавливает тот факт, что система QLO-QMV сильно детерминирована классом всех QLO-QMV- фреймов.

6.6. Стрела времени в квантовой логике наблюдаемых

Полученная система QLO-MV модальной логики эффектов ввиду ее семантической (алгебраической) близости к бесконечнозначной логике Лукасевича заставляет задуматься о возможности расширения ее языка с помощью оператора направленного времени. Напомним, что система Ł 0F бесконечнозначной логики направленного времени была построена с помощью оператора «будущего времени» F («будет так, что») и добавления к системе Ł 0 следующих аксиом и правила вывода:

F(A→B)→(FA→FB)

150

FFA→FA

Если попытаться ввести оператор F в QLO-MV, то первая проблема, с которой мы сталкиваемся в этом случае, состоит в том, что в QLO-MV отсутствует связка импликации, т.е. прямое добавление этих аксиом к QLO-MV невозможно. Однако это препятствие легко преодолимо, если учесть, что в MV-ал- гебре импликация вводится с помощью определения

a → b = a* b

Это означает, что вместо импликации основное внимание следует уделить операции . Тогда можно ввести следующие

аксиомы

AxF1. F( A B) (F A F B) AxF2. FF A F A

и правило вывода RxF1. A B

F A F B

как эквивалент аксиоматики системы Ł 0F. Обозначим систему, полученную добавлением к системе QLO-MV аксиом

AxF1, AxF2 и правила RxF1 как QLO-MVF.

Определим теперь F[A] = [FA], [A] [B] = [ A B], [A] [B] = [¬A B], [A]* = [¬A].

Теорема 6.6.1. Структура FW = Frm, ,*,F,1 , где Frm = {P/~: P есть формула с префиксом }, 1 = [1], представляет собой темпоральную алгебру Вайсберга.

Доказательство. По теореме 6.4.1. структура F = Frm,,*,0,1 , где 0 = [¬(A¬A)], представляет собой MV алгебру. Как известно (см. [Font et al 1984, р.13]), при определении a→ b = a* b любая MV алгебра будет алгеброй Вайсберга. Остается только проверить выполнимость темпоральных аксиом (1.15), (1.16), т.е.

F(x y) ≤ ( Fx Fy) FFx ≤ Fx

Но их выполнимость является прямым следствие аксиом AxF1 и AxF2. ■