Исследование функции одной переменной. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет
С. А. КАРАКАЗЬЯН, О. В. СОЛОВЬЁВА
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2016
1
УДК 517.17
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Е. Михайлов (СПбГАСУ); зав. каф. математики, д-р физ.-мат. наук А. А. Груздков (СПбГТИ(ТУ))
Караказьян, С. А.
Исследование функции одной переменной: учеб. пособие / С. А. Караказьян, О. В. Соловьёва; СПб. гос. архит.-строит. ун-т. –
СПб., 2016. – 54 с.
ISBN 978-5-9227-0663-6
Изложены основные определения и теоремы. Пособие снабжено множеством примеров. Приводятся варианты для самостоятельной работы студентов.
Пособие к самостоятельному изучению раздела «Исследование функции одной переменной» предназначено для студентов технических специальностей дневной формы обучения.
Ил. 48. Библиогр.: 3 назв.
Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0663-6
С. А. Караказьян, О. В. Соловьёва, 2016
Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2016
2
§ 1. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
Определение 1.1. Функция y f x называется возрастающей на промежутке a; b , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т. е. при x2 x1 выполнено
f x2 f x1 , где a x1 x2 |
b . |
|
|
|
|
|
|||
Определение 1.2. Функция y f x |
называется убывающей |
||||||||
на промежутке a; b , если большему значению аргумента соответ- |
|||||||||
ствует меньшее значение функции, |
т. е. |
при |
x2 x1 выполнено |
||||||
f x2 f x1 , где a x1 x2 |
b (рис. 1). |
|
|
|
|
||||
y |
|
|
y |
|
|
|
|
||
f x2 |
|
|
f x2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x1 |
|
|
x2 |
|
f x1 |
x1 |
|
x2 |
|
x1 |
x |
|
x |
||||||
|
|
|
|||||||
|
f x2 f x1 – |
|
|
f x f x – |
|||||
возрастающая |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||
|
|
|
убывающая функция |
||||||
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
|
Установим необходимые |
условия возрастания, |
убывания |
|||||||
и постоянства дифференцируемой функции. |
|
|
|
||||||
Теорема 1.1. Если дифференцируемая в некотором промежутке функция y f x :
1)возрастает на этом промежутке, то ее производная неотрицательна, т. е. f x 0 ;
2)убывает на этом промежутке, то ее производная неположительна, т. е. f x 0 ;
3)постоянна на этом промежутке, то ее производная тождественно равна 0, т. е. f x 0 .
3
|
|
Доказательство. |
Пусть функция y f x в данном проме- |
|||||||||
жутке возрастает, т. е. |
f x x f x при x 0. |
|
|
|
||||||||
|
|
По определению производной |
|
f x x f x |
|
|||||||
f |
|
|
f |
x x f x |
, где очевидно, что |
0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x lim |
|
x |
|
|
x |
|||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
f |
|
В силу |
свойства предела |
знакопостоянной |
переменной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично доказываются и остальные пункты теоремы. Установим теперь достаточные условия возрастания, убыва-
ния и постоянства дифференцируемой функции.
Теорема 1.2. Если дифференцирумая в некотором промежутке функция y f x имеет на этом промежутке:
1) |
положительную производную, т. е. |
f |
|
то на этом |
||
x 0, |
||||||
промежутке функция |
f x возрастает; |
f |
|
|
||
2) |
отрицательную производную, т. е. |
то на этом |
||||
x 0, |
||||||
промежутке функция |
f x убывает; |
|
|
|
||
3) |
имеет на этом промежутке нулевую производную, т. е. |
|||||
|
|
|
x постоянна. |
|||
f x 0 , то на этом промежутке функция f |
||||||
Доказательство. Докажем п. 1.
Пусть функция y f x имеет на данном промежутке положительную производную, т. е. f x 0.
Рассмотрим две произвольные точки этого промежутка: |
x1 |
|||
и x2 , где x2 x1, |
и применим к замкнутому промежутку x1; |
x2 |
||
теорему Лагранжа |
f x2 f x1 f |
|
c x2 . Из по- |
|
c x2 x1 , x1 |
||||
следнего равенства следует, что |
f x2 f x1 , |
т. е. функция |
||
y f x в этом случае возрастает. |
|
|
|
|
Замечание. В п. 1 теоремы 1.2 предполагается, что производная функции строго положительна в данном промежутке. Однако результат теоремы справедлив и в том случае, если производная функции обращается в нуль в отдельных точках промежутка, являясь положительной во всех остальных точках промежутка.
Аналогично доказываются и остальные пункты теоремы 1.2.
Пример 1.1. Найти промежутки убывания и возрастания функции y x2 x 1.
4
Рис. 2
Находим y 2x 1, y 2x 1 0 при x 0,5 ,
y 2x 1 0 при x 0,5. Значит, функция возрастает на промежутке 0,5; и убывает на промежутке ; 0,5 .
Этот результат подтверждается и графически (рис. 2).
5
§ 2. МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ
y f x0
x0 x0 |
x0 |
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
Определение 2.2. |
Не- |
||
прерывная функция y f x |
|||
имеет в точке |
x x0 |
мини- |
|
мум, равный |
f x0 , |
|
если |
можно указать такой промежуток x0 ; x0 , содержащий точку x x0 , что для
всех x x0 из этого проме-
жутка выполняется неравенство f x0 f x (рис. 4).
Определение 2.1. Не-
прерывная функция y f x
имеет в точке |
x x0 |
макси- |
||
мум, |
равный |
f x0 |
, |
если |
можно указать такой проме- |
||||
жуток (x0 ; |
x0 ), |
содер- |
||
жащий точку |
x x0 , |
что для |
||
всех |
x x0 из этого |
проме- |
||
жутка |
выполняется неравен- |
|||
x ство |
f x |
f x (рис. 3). |
|
0 |
|
y |
|
|
f x0
x0 x0 x0 |
x |
Рис. 4 |
|
Максимум и минимум функции называют также экстрему-
мами функции.
Установим необходимое условие экстремума дифференци-
руемой функции. Пусть дифференцируемая функция y f x имеет в точке x x0 экстремум, равный f x0 . Из определения экстремума следует, что f x0 является наибольшим или наименьшим значением функции y f x на промежутке x0 ; x0 . В силу
6
теоремы Ферма производная функции в точке x x0 обращается
в нуль, т. е. f x0 0.
Таким образом, если дифференцируемая функция имеет в некоторой точке экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль. Следовательно, равенство нулю производной функции
внекоторой точке является необходимым условием экстремума
вэтой точке.
Точки, в которых производная функции обращается в нуль,
называются стационарными точками.
Покажем на примере, что равенство нулю производной является лишь необходимым, но не достаточным условием экстремума. Иначе говоря, покажем, что не в каждой стационарной точке функция имеет экстремум.
Пример 2.1. Рассмотрим функцию y x3 .
Находим y 3x2 . Приравниваем производную к нулю:
3x2 0, отсюда следует, что x 0 . Значит, точка x 0 стационарная. Найдем значение в точке x 0 : y 0 0.
При x 0 y x y 0 , при x 0 y x y 0 , т. е. в окрестности
стационарной точки функция принимает значения как меньшие, так и большие, чем ее значение в стационарной точке. Отсюда следует, что в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума
(рис. 5).
Рис. 5
7
Установим достаточные условия экстремума дифференцируемой функции.
Первый вариант
Пусть функция y |
f x |
дифференцируема на промежутке |
||
x0 ; x0 и |
x x0 |
– |
стационарная точка. Тогда возможны |
|
4 следующих случая: |
|
|
|
|
|
при x x0 |
и f |
|
|
1) f x 0 |
x 0 при x x0 , т. е. при перехо- |
|||
де через стационарную точку производная меняет знак с минуса на плюс. Согласно достаточным условиям возрастания и убывания функций данная функция в этом случае убывает в промежуткеx0 ; x0 и возрастает в промежутке x0 ; x0 . Следовательно, в стационарной точке функция имеет минимум (рис. 6);
2) |
|
при x x0 |
и |
|
при x x0 , т. е. при перехо- |
f x 0 |
f x 0 |
де через стационарную точку производная меняет знак с плюса на минус. Очевидно, в этом случае функция имеет в стационарной точке максимум (рис. 7);
y |
y |
|
х0 |
x |
|
|
х0 |
x |
|
Рис. 6 |
|
|
|
Рис. 7 |
|
3) |
|
|
и |
|
при x x0 , т. е. при перехо- |
|
f x 0 при x x0 |
f x 0 |
|||||
де через стационарную точку знак производной не меняется, оставаясь положительным. Функция возрастает как в промежуткеx0 ; x0 , так и в промежутке x0 ; x0 . В этом случае функция
в стационарной точке x0 экстремума не имеет (рис. 8);
8
4) f x 0 при x x0 и f x 0 при x x0 , т. е. при перехо-
де через стационарную точку знак производной не меняется, оставаясь отрицательным. Функция убывает в промежутках x0 ; x0
и x0 ; x0 . В этом случае функция в стационарной точке x0 экстремума не имеет (рис. 9).
y |
y |
x0 |
x |
|
x0 |
|
x |
|
Рис. 8 |
|
|
Рис. 9 |
|
||
|
|
|
|
|
||
Пример 2.2. Найти экстремум функции y x3 |
6x2 9x. |
|||||
Найдем производную: |
|
|
|
|
||
y 3x2 12x 9 3 x2 4x 3 3 x 1 x 3 . |
|
|||||
Находим стационарные точки: 3 x 1 x 3 0 , |
x1 |
1, x2 3. |
||||
Применим достаточные условия (рис. 10). |
|
|
|
|||
y |
− |
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|||
|
|
1 |
3 |
x |
|
|
|
|
Рис. 10 |
|
|
|
|
Из рис. 10 функция имеет минимум |
y 3 0 и максимум |
y 1 4 |
||||
(рис. 11). |
|
|
|
|
|
|
9
Рис. 11
Второй вариант
Пусть функция y f x дважды дифференцируема в проме-
жутке x0 ; x0 и |
f x0 0 . Тогда возможны следующие три |
случая: |
|
1) |
|
f x0 0 . |
Учитывая |
определение второй производной, |
||||||
имеем |
|
|
|
|
f x f x0 |
|
f x |
|
||
f |
|
|
lim |
lim |
0. |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
x x |
x x |
||||||
|
|
|
0 |
x x0 |
|
x x0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
Отсюда на основе свойства предела знакопостоянной пере- |
||||||||||
менной следует, что при x , |
достаточно близких к x0 , выполняется |
|||
неравенство |
|
f x |
0 . Из последнего неравенства следует, что при |
|
|
|
|||
|
|
x x |
|
|
x x0 f x |
0 |
|
f x 0 , т. е. при переходе через ста- |
|
0 и при x x0 |
||||
ционарную точку производная функции меняет знак с минуса на плюс. В силу достаточных условий в первом варианте в стационарной точке функция имеет минимум;
2)f x0 0 . Рассуждая аналогично, можно установить, что
вэтом случае в стационарной точке функция имеет максимум;
3)f x0 0 . В этом случае исследование стационарной точки
следует проводить с помощью достаточных условий по первому варианту.
10