Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исследование функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

M 0 (x0 ; y0 ) до прямой Ax By C 0 d

Ax0

By0 C

. Перепи-

A2 B2

шем эту

формулу для точки

M (x; y)

прямой

y kx b :

kx y b

. Расстояние d

будет стремиться к нулю,

когда чис-

k 2 1

x . Имеем

литель

будет

стремиться

нулю

при

lim (kx y b) 0

и kx y b (x) , где (x)

– бесконечно малая

функция при x . Разделив обе части равенства y kx b (x) на x , получим:

(x)

k 0 0 k .

lim

lim k

k lim

lim

x x

Поскольку b y kx, то b lim ( y kx) .

Таким образом,

k lim

b lim ( y kx) .

x x

Пример 4.2. Найти асимптоты графика функции y

1. Прямая x 1 – вертикальная асимптота (знаменатель дро-

би равен нулю при

x 1):

lim

x2 3

(числитель дроби

x 1

x 1 0

больше нуля, а знаменатель меньше нуля),

lim

(чис-

x 1 0

литель и знаменатель дроби больше нуля).

2. Найдем наклонную асимптоту y kx b . Из формул имеем:

					3
	y		x2 3		1
k lim		lim		lim		x2		1,

x x		x x(x 1)		x	1
					1
							x

3 x2 x

3 x

b lim ( y kx) lim

lim

x 1

x x 1

Тогда y x 1 − наклонная асимптота.

На рис. 21 изобразим схему графика функции.

–1		1	x
	–1

	Рис. 21
Замечание.	Асимптоты	графика функции y f (x) при
x и при	x могут	быть разными. При нахождении

наклонных асимптот иногда надо отдельно рассматривать пределы

при x и при x .
Когда степень x числителя равна или меньше степени x зна-
менателя, получим k lim	y	0. Тогда	y b – горизонтальная

x x

прямая, и говорят, что функция имеет горизонтальную асимптоту.

Пример 4.3. Найти асимптоты графика функции

2(x2 1)

1. Прямые x 1

и x 1 – вертикальные асимптоты (знамена-

тель дроби равен нулю при x 1): lim

2(x2

(числи-

1 x2

x 1 0

тель

дроби

больше

нуля,

а знаменатель

меньше

нуля),

lim

2(x2 1)

(числитель и знаменатель дроби больше нуля):

1 x2

x 1 0

lim

2(x2 1)

, lim

2(x2

1 x2

x 1 0

2. Найдем наклонную асимптоту y kx b . Из формул имеем:

k lim

lim

2(x2 1)

lim

2(x2 1)

x x3

x x

x x(1 x2 )

2(x2 1)

b lim ( y kx) lim

lim

2 .

1 x2

–1		1	x

	–2

Рис. 22

Тогда y 2 − горизонтальная асимптота. На рис. 22 изобразим схему графика функции.

§ 5. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Исследовать функцию y f (x) :

1)область определения функции;

2)точки пересечения с осями координат (если есть). Напри-

мер, с осью Ox : y 0,	x x0 ; с осью Oy :	x 0,	y(0) y0 . Точки
(x0 ; 0), (0; y0 ) ;

3) четность (нечетность) графика функции. Если y( x) y(x) ,

то функция четная и симметрична	относительно оси Oy . Если
y( x) y(x), то функция нечетная	и симметрична относительно

началакоординат. Иначефункцияобщего видаинеимеетсимметрии;

4)асимптоты (если есть): а) вертикальные, если в п. 1 есть точки бесконечного разрыва; б) наклонные, если функция представляет собой дробь, у которой степень переменной в числителе на единицу больше степени переменной в знаменателе; горизонтальные, если степень переменной в знаменателе больше или равна степени переменной в числителе;

5)интервалы монотонности функции и экстремумы функции;

6)интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз, точки перегиба функции.

На основании пунктов исследованиястроитсяграфик функции.

Пример 5.1. Исследовать функцию			y		x3			:
				x2			4
1.
	ООФ: x ( ; 2) ( 2; 2) (2; ) .
2.	Функция нечетная, так как	y( x)			x3				y(x) . Следо-
					x2
						4

вательно, функция симметричная относительно начала координат.

3.	Функция проходит через начало координат y(0) 0.
4.	Асимптоты:			а)		вертикальные:	x 2 ,	x 2;
	x3			x3
lim		,	lim			. Пользуясь симметрией графи-

x 2 0 x2 4			x 2 0 x2		4

ка функции,					имеем						lim				x3		,										lim			x3					;
ка функции,					имеем						lim					4	,										lim						4		;
									x 2 0 x2							4										x 2 0 x2							4
б) наклонная асимптота y kx b .
k lim					x3		lim					x3			lim						x3						lim		1						1,
k lim							lim						4		lim									4			lim						4		1,
	x	x(x2 4)					x x3						4			x		x	3					4			x						4
																				(1						)			1
																				(1					x3	)			1			x3
		x		3				x	3	x			3	4x									4x							4
				3					3				3																	x
b lim					x	lim										lim										lim				x				0 ,
b lim		2			x	lim						2				lim						2				lim								0 ,
		2	4			x				x		2	4			x x						2		4			x		4
x x			4			x				x			4			x x								4			x		4
																												1
																												1			x2

y x − наклонная асимптота. Изобразим схему графика (рис. 23).

–2

Рис. 23

5. Найдем промежутки монотонности графика функции и экстремумы:

			x3			3x2	(x2 4) 2x4				x2 (x2 12)
			x3			3x2	(x2 4) 2x4				x2 (x2 12)
y
y			2					2		2		2		2
			2	4			(x	2	4)	2	(x	2	4)	2
	x2	x		4			(x		4)		(x		4)
	x2	(x 2			3)(x 2		3)		0 . Производная равна нулю в точках x 0,
				(x2	4)2				0 . Производная равна нулю в точках x 0,
				(x2	4)2

x 2 3, x 2 3 и не существует в точках x 2, x 2 . Нанесем эти точки на ось и воспользуемся методом интервалов, расставляя знаки производной (рис. 24). В точке x 2 3 функция имеет ми-

нимум, а в точке x 2 3 – максимум. При переходе через точки x 0, x 2, x 2 функция не меняет знак, так как эти множители

в четной степени. На интервалах x ( ; 2 3) (2 3; ) функция возрастает, на x ( 2 3; 2 3) – убывает. Найдем максимум y( 2 3) 3 3 и минимум функции y(2 3) 3 3 .

– 2 3 2

2 3

Рис. 24

6. Найдем промежутки выпуклости вверх и вниз графика

функции, точки перегиба:

x4 12x2

(4x3 24x)(x2

4)2 2(x2 4)2x(x4 12x2 )

4x(x2

4)((x2 6)(x2 4) x4

12x2 )

(x2 4)4

4x(x4

10x2 24 x4 12x2 )

8x(x2 12)

Вторая производ-

(x2

4)3

(x2 4)3

ная равна нулю в точке x 0,

не

существует в точках x 2, x 2 .

Нанесем эти точки на ось (рис. 25). Тогда точка x 0 является точкой перегиба. На интервалах x ( ; 2) (0; 2) функция выпукла

вверх, а на x ( 2; 0) (2; ) – выпукла вниз (см. рис. 25).

0 2

Рис. 25

График функции представлен на рис. 26.

Рис. 26

Пример 5.2. Исследовать функцию y 16x(x 1)3 :

1.ООФ: x ( ; ).

2.Функция общего вида, симметрии не имеет.

3.Функция проходит через начало координат y(0) 0 и пере-

секает ось абсцисс в точке (1; 0).

4.Асимптот не имеет.

5.Найдем промежутки монотонности графика функции, экстремумы:

y 16((x 1)3 3x(x 1)2 ) 16(x 1)2 (x 1 3x)

64(x 1)2 x 1 0 .

	Производная равна нулю при x 1, x			1	. В точке	x	1	функ-
				4			4
ция	меняет знак с минуса на плюс –			это точка		минимума.
1		27	(рис. 27).
y
y		16
4		16

6. Найдем промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции, точки перегиба:

	1		2
y 64(2(x 1) x		(x 1)		) 64(x 1)(2x 0,5	x 1)
y 64(2(x 1) x	4	(x 1)		) 64(x 1)(2x 0,5	x 1)
	4

	1
192(x 1) x		0. Вторая производная равна нулю в точках
192(x 1) x	2	0. Вторая производная равна нулю в точках
	2

x 0,5, x 1. Эти точки будут точками перегиба, так как при переходе через них вторая производная меняет знак (рис. 28).

−	+	+	+	−	+
1/4			1/2
1/4		1	1/2		1
	Рис. 27			Рис. 28
	Рис. 27			Рис. 28

y(1) 0, y 12 1.

График функции изображен на рис. 29.

Рис. 29
Пример 5.3. Исследовать функцию y	3 x	:
Пример 5.3. Исследовать функцию y	2x 2	:
	2x 2

1.ООФ: x ( ; 1) ( 1; ) .

2.Функция общего вида, симметрии не имеет.

3.Функция пересекает ось абсцисс в точке (3; 0), ось ординат

вточке (1,5; 0).

4.Найдем асимптоты:

а) вертикальная асимптота: x 1,

lim

3 x

, lim

3 x

;

2x 2

x 1 0

2x 2

x 1 0

б) горизонтальная асимптота: y 1

3 x

lim

3 x

1 .

k lim

0 , b lim

2x 2

x x(2x 2)

5. Найдем промежутки монотонности графика функции, экстремумы:

y			(2x 2) 2(3 x)		8	0 . Производная функции нигде
			2x 2 2		2x 2 2

не равна нулю, не существует в точке x 1. Функция убывающая. 6. Определим промежутки выпуклости вверх и вниз графика

функции, точки перегиба: y		32	0 . Вторая производная на
	2x 2 3

интервале ( 1; ) положительна, следовательно, функция выпукла вниз. Вторая производная на интервале ( ; 1) отрицательная,

значит, функция выпукла вверх. Точек перегиба нет. График функции представлен на рис. 30.

Рис. 30

Пример 5.4. Исследовать функцию y x2(xx 12) :

1.			1	1
	ООФ: x	;			; .
	ООФ: x	;	2	2	; .
			2	2

2.Функция общего вида, симметрии не имеет.

3.Функция проходит через начало координат и пересекает ось абсцисс в точке (2; 0).

4.Найдем асимптоты:

а) вертикальная асимптота: x 0,5 ,

lim

x(x 2)

, lim

x(x 2)

;

2x 1

x 0,5 0

2x 1

x 0,5 0

б) наклонная асимптота y kx b ,

k lim

x(x 2)

lim

x 2

0,5 ,

x x(2x 1)

x 2x 1

x(x 2)

x2 2x x2 0,5x

1,5x

b lim

0,5x

lim

;

2x 1

x 2x 1

x 2x

y 12 x 34 − наклонная асимптота.

5. Определим промежутки монотонности графика функции, экстремумы:

y			(2x 2)(2x 1)			(x2 2x)2	2(2x2	x 2x 1 x2	2x)
y					(2x 1)2			(2x 1)2
					(2x 1)2			(2x 1)2
	2(x2			x 1)	0 .	Производная везде больше нуля,			значит, функ-
		(2x 1)2			0 .	Производная везде больше нуля,			значит, функ-
		(2x 1)2

ция возрастает, экстремумов нет.

6. Найдем промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции, точки перегиба:

y		2((2x 1)(2x 1)2 (x2		x 1)4(2x		1))
			(2x 1)	4

	2(2x 1)((2x 1)2		4(x2 x 1))			6	0 .
		(2x 1)4			(2x 1)3

Вторая производная нигде не равна нулю (точек перегиба нет). На интервале ( ; 0,5) , y 0 – функция выпукла вниз. При

x (0,5; ), y 0 – функция выпукла вверх. График функции представлен на рис. 31.

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]