Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Исследование функции одной переменной. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

919 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

	Рис. 31		x2
Пример 5.5. Исследовать функцию		y			:
			x2
1.	ООФ: x ( ; 1) ( 1; 1) (1; ).			1

2.	Функция четная, так как y( x)	( x)2		y(x) .
		( x)2 1

Следовательно, функция симметричная относительно оси ординат.

3.Функция проходит через начало координат y(0) 0.

4.Найдем асимптоты:

а)

вертикальные:

x 1,

lim

x 1 0 x2

lim

;

x 1 0 x

б) горизонтальная асимптота y 1, так как

k lim

lim

0 , b lim

lim

x x(x2 1)

x x2 1

Изобразим схему графика на рис. 32, воспользовавшись симметрией функции.

5. Найдем промежутки монотонности функции, экстремумы:

	2x(x2 1) 2x3	2x(x2 1 x2 )		2x
y	(x2 1)2	(x2 1)2	(x2 1)2 0 .
y	(x2 1)2	(x2 1)2	(x2 1)2 0 .
		31

Производная равна нулю в точке x 0, не существует в точках x 1, x 1. При переходе через x 0 функция меняет знак с плю-

са на минус, следовательно, имеем максимум.

6. Определим промежут-

yки выпуклости вверх и вниз функции, точки перегиба:

y 2((x2 1)2 4x2 (x2 1)) (x2 1)4

		x	2(x2 1)(x2 1 4x2 )
–1				(x2 1)4
	1
			2(3x2	1)	0 . Вторая производ-

			(x2	1)3

		ная больше нуля на интервалах
		x ( ; 1) (1; ) ,				функция

	Рис. 32	выпукла вниз. На x ( 1; 1) вто-
	Рис. 32	рая производная меньше нуля,
		рая производная меньше нуля,
		функция выпукла вверх.
	График функции представлен на рис. 33.

Рис. 33

Пример 5.6. Исследовать функцию y x4 1: x2

1. ООФ: x ( ; 0) (0; ) .

2. Функция четная, так как y( x) ( x)4 1 y(x) .

( x)2

Следовательно, функция симметричная относительно оси ординат. 3. Функция пересекает ось абсцисс в точках (1; 0) и (–1; 0).

Вертикальная асимптота:

x 0,

lim

x4 1

Наклонных асимптот нет.

x 0

5. Найдем промежутки монотонности функции:

4x3 x2 (x4 1)2x

2(x4 1)

0 , экстремумов нет. При

x 0

функция убывает ( y 0 ), при x 0 возрастает ( y 0 ).

6. Определим промежутки выпуклости вверх и вниз графика

функции, точки перегиба: y

2(4x3 x3 (x4 1)3x2 )

2x2 (x4 3)

2(x 4 3)(x 4 3)(x2

Вторая

производная

равна

нулю

и меняет знак в точках x 4 3 . Это точки перегиба,

y( 4 3)

При переходе через точку x 0 вторая производная знак не меняет.

На интервалах x ( 4		3; 0) (0; 4 3) функция	выпукла вверх
( y 0 ),	на интервалах	x ( ; 4 3) (4 3; )	− выпукла вниз
( y 0 ).

График функции представлен на рис. 34.

Рис. 34

Пример 5.7. Исследовать функцию y x26x 4 : 1. ООФ: x ( ; ) .

2. Функция нечетная, так как y( x)	6x	y(x) .
	x2 4

Следовательно, функция симметричная относительно начала координат.

Функция проходит через начало координат.

Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная

асимптота

y 0, так как k lim

lim

0 ,

b lim

x x(x2

x x2 4

Найдем промежутки монотонности функции, экстремумы:

6((x2 4) 2xx)

6(4 x2 )

6(2 x)(2 x)

0 . Производная

(x2 4)2

(x2

4)2

равна

нулю в точках x 2 ,

x 2.

Функция возрастает

при

x ( 2; 2), убывает при x ( ; 2) (2; )

(рис. 35). Точка ми-

нимума y( 2) 1,5,

точка максимума y(2) 1,5.

−

–2

Рис. 35 34

6. Определим промежутки выпуклости вверх и вниз функции,

точки перегиба: y

6( 2x(x2 4)2 (4 x2 )4x(x2 4))

(x2 4)4

6( 2x(x2 4) 4x(4 x2 ))

12x( x2 4 8

2x2 )

(x2 4)3

12x(x 2 3)(x 2

3) 0 .

Функция имеет три

точки

перегиба:

(x2 4)3

x 2 3 ,

y( 2 3)

3 3

;

x 0, y(0) 0;

x 2

3 ,

y(2

3 3

Функция

выпукла вверх

при x ( ; 2

3) (0; 2

3) ,

выпукла

вниз при x ( 2 3; 0) (2

3; ).

График функции представлен на рис. 36.

Рис. 36
Пример 5.8. Исследовать функцию y	x2	:
Пример 5.8. Исследовать функцию y	2x 4	:
	2x 4

1.ООФ: x ( ; 2) ( 2; ) .

2.Функция общего вида, симметрии не имеет.

3.Функция проходит через начало координат.

4.Найдем асимптоты:

а) вертикальные асимптоты: x 2, x 2 ,

lim

;

x 2

x 2 0

б) наклонная асимптота

y kx b ,

k lim

lim

0,5

x x(2x

x 2x 4

2 2x

b lim

0,5x

lim

2x 4

x 2x 4

x 2x

Тогда y

x 1 − наклонная асимптота.

5. Найдем промежутки монотонности функции, экстремумы:

2x(2x 4) 2x2

2x(x 4)

0 (рис. 37).

(2x

4)2

(2x 4)2

+	− −		+
–4
–4		–2	0

Рис. 37

Функция возрастает при x ( ; 4) (0; ) и имеет максимум при x 4, убывает при x ( 4; 2) ( 2; 0) и имеет минимум при x 0. Точка максимума y( 4) 4, точка минимума y(0) 0.

6. Определим промежутки выпуклости вверх и вниз графика функции, точки перегиба:

2((2x 4)(2x 4)2

(x2

4x)4(2x 4))

(2x 4)4

2((2x 4)2

4x2 16x)

. Точек перегиба нет. При

(2x

4)3

(2x

4)3

x 2,

0 функция выпукла вниз, при x 2 ,

y 0 – выпукла

вверх.

График функции представлен на рис. 38.

	Рис. 38		x
Пример 5.9. Исследовать функцию y				:
		x2 4
1.	ООФ: x ( ; 2) ( 2; 2) (2; ) .
			x
2.	Функция нечетная, так как y( x)				y(x) . Следо-

			x2 4

вательно, функция симметричная относительно начала координат.

3.Функция проходит через начало координат y(0) 0.

4.Асимптоты:

а)

вертикальные:

x 2 ,

x 2,

lim

2 4

x 2 0 x

lim

Пользуясь симметрией графика функции,

x 2 0 x

2 4

имеем

lim

;

x 2

x 2 0 x2 4

y 0,

так

как

б)

найдем

горизонтальную

асимптоту:

k lim

lim

0 , b lim

0 .

x x(x

2 4)

x x2 4

Определим промежутки монотонности функции:

4 2x2

(x2 4)

0 . Функция убывающая, экстремумов

(x2 4)2

нет.

6. Найдем

промежутки выпуклости

вверх и

вниз графика

функции, точки перегиба: y

2x(x2

4) 4x(x2

4)(x2 4)

(x2 4)4

2x( x2

12)

2x(x2 12)

. Вторая производная равна нулю

(x2 4)3

(x2

4)3

при x 0 и не существует при x 2,

x 2 . Нанесем эти точки на

ось (рис. 39).

−

–2

Рис. 39

Точка

перегиба

y(0) 0.

Функция

выпукла вверх при

x ( ; 2) (0; 2) и выпукла вниз при x ( 2; 0) (2; ) .

График функции представлен на рис. 40.

Рис. 40
Пример 5.10. Исследовать функцию y	8	:
Пример 5.10. Исследовать функцию y	x2 2	:
	x2 2

1. ООФ: x ( ; ) .

2. Функция четная, так как	y( x)	8	y(x) .
		( x)2 2

Следовательно, функция симметричная относительно оси ординат.

3.График функции пересекает ось ординат в точке (0; 4).

4.Асимптот нет.

5.Найдем промежутки монотонности функции, экстремумы:

16x

(x2 2)2 0 .

Производная равна нулю при

x 0. При

x 0 ,

y 0

функция возрастает, при x 0, y 0 функция убывает. То-

гда точка (0; 4) будет точкой максимума.

6. Определим промежутки выпуклости вверх и вниз функции,

точки

перегиба:

16((x2 2)2 4x2 (x2 2))

32(x2 1)

0 .

(x2 2)4

(x2 2)3

Точки перегиба:

y(1) 8 ,

y( 1) 8 . Функция выпукла вниз при

x ( 1; 1) ( y 0), выпукла вверх при x ( ; 1) (1; ) ( y 0 ). График функции представлен на рис. 41.

Рис. 41

Пример 5.11. Исследовать функцию y 4 x3 : x2

1.ООФ: x ( ; 0) (0; ) .

2.Функция общего вида, симметрии не имеет.

3.Функция пересекает ось абсцисс в точке (3 4; 0) .

4.Найдем асимптоты:

а)

вертикальная

асимптота:

x 0,

lim

4 x3

x 0

lim

;

x 0

б) наклонная асимптота: y kx b ,

4 x3

k lim

lim

1 1,

lim

x xx

x x

Тогда y x − наклонная асимптота.

Найдем промежутки монотонности функции, экстремумы:

3x2 x2

(4 x3 )2x

x4 8x

x3 8

(x 2)(x2 2x 4)

y 0 ,

Функция убывает при

x ( ; 2) (0; ) , так

как

возрастает

при

x ( 2; 0)

( y 0 ). В

точке x 2 минимум

y( 2) 3.

6. Определим промежутки выпуклости вверх и вниз функции;

точки

перегиба:

(3x2 x3

(x3

8)3x

2 )

3x2 (x3 x3 8)

24 0. Функция выпукла вниз, точек перегиба нет.

График функции представлен на рис. 42.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]