Исследование функции одной переменной. Учебное пособие

4

2x(x2 3x 2) x2 (2x 3)

3x2 4x

3x x

3

y

0 .

(x2 3x 2)2

(x2 3x 2)2

(x2 3x 2)2

Производная равна нулю

при

x 0,

x

4

.

Нанесем

эти

точки

на ось (рис. 43).

3

−

+

−

0

4/3

4

Рис. 43

8, точка минимума y(0) 0.

Точка максимума y

3

Рис. 44

x4

Пример 5.13. Исследовать функцию

y

:

x3

8

x4

x4

а) вертикальная: x 2 ,

lim

,

lim

;

x 2

0 x3 8

x 2

0 x3

8

k lim

x4

lim

x3

1,

8)

x x(x3

x x3

8

x4

x

4 x4 8x

b lim

x

lim

0

. Следовательно, наклон-

3

3

8

x

x

8

x x

y

4x3 (x3 8) 3x4 x2

x6

32x3

x3 (x3 32)

(x3 8)2

(x3 8)2

(x3 8)2

x3 (x 3

32)(x2

3 32x 3 1024)

0 . Производная равна нулю при

(x3

8)2

x 0

и

при

x 3 32 .

y 0 :

функция

возрастает при

x ( ; 0) (3

32; ).

y 0 : функция убывает при x (0; 3 32) .

В

точке

x 0

максимум

функции,

в точке

x 3 32

минимум;

y(0) 0,

y(3 32)

43 32

.

3

6. Найдем промежутки выпуклости вверх и вниз функции,

точки

перегиба: y

(6x5

96x2 )(x3

8)2 (x6 32x3)2(x3 8)3x2

(x3 8)4

6x2

((x3

16)(x3 8) x6 32x3 )

(x3 8)3

6x2

(x6 8x3 16x3 128 x6 32x3 )

48x2 (x3

16)

0.

Вторая

(x3 8)3

(x3 8)3

производная равна нулю в точках

x 0, x 3 16 , не существует

при x 2 . При переходе через

x 0 знак второй производной не

меняется.

y 0 при x ( ; 3 16) (2; ) и функция выпукла

вниз,

y 0 при

x ( 3 16; 2) и функция выпукла вверх. В точке

x 3 16

перегиб функции, y( 3 16) 23 16 .

4

3

3

2

4x

x

x

x

1

так как k lim

lim

1,

x

x

x

x

b lim 3 4x2 x x lim 3

4x2 2x .

x

x

23 4

1

23 4

33 x

.

5. y 3

3

3 x

3 x

Решим уравнение y

0 :

23 4 33

x

0.

33 x

Производная равна нулю в точке x

32

и не существует в точке

27

x 0. Функция возрастает при x

0;

32

, убывает при

27

x ( ; 0) (

32

) (рис. 46).

Максимум

32

16

32

;

y

27

9

27

27

48 32

16

, острый минимум

y 0 0 .

27

27

6. y

23

4

.

9x

4

3

Вторая производная не существует в точке x 0 (рис. 47).

−

+

−

−

−

32

x

0

х

2)

y

x 3

;

4)

y

x3 3

.

2x 1

2(x 1)

Вариант № 4

4 x2

1)

y (x 1)(x 2)

2

;

3)

y

;

2x

1

2)

y

2x 5

;

4)

y

x3

3

.

x 2

x

1

Вариант № 5

1 4x

1)

y (x 1)2 (x 2) ;

3)

y

;

1 4x2

2)

y

2x 3

;

4)

y

4x3

.

x 2

3 x

Вариант № 6

3x4 16

1)

y (x 3)3 (x 1) ;

3)

y

;

4x3

2)

y

2x

1

;

4)

y

8x2 9

.

x

4

2x2

2

3

Вариант № 7

1)

1

2

;

3)

x

2 10x 34

;

y x

(x 2)

y

2

x 5

2)

y

5x

;

4)

y

x

3 16

.

2x

4

x

Вариант № 8

x2 2x 1

1)

y x4 2x3 1;

3)

y

;

x2 4

2)

y

3x

;

4)

y

x

2

2

.

x

2

2x

3

x3

x2

Вариант № 9

2

1)

y

2x ;

3)

y

x

5

;

3

2

x 3

2)

y

4

x

;

4)

y

3x3

.

2x

1

x

5

2

Вариант № 10

3x4 1

1)

1

3

;

3)

y

;

y x

(x 2)

3

x3

2)

y

2x

1

;

4)

y

x3

.

3x

1

1 2x

Вариант № 11

2x2

1)

y (x2 1)2 ;

3)

y

;

x

2 x

2

2)

y

3x

5

;

4)

y

4x2 3

.

x

2

x

1

1) y

1

(x 4)3

(x 1)2

;

3)

y

3x2

;

16

x2

4

2)

y

x

4

;

4)

y

x

3 16

.

2x 1

2x

Вариант № 23

x2

1)

y x2 (4 x2 );

3)

y

;

x2 3x 2

2)

y

3x

;

4)

y

x3

.

4 x

2

3x

Вариант № 24

2(x2 1)

1) y 12x3 18x2 ;

3) y

;

1 x2

2)

y

2x 1

;

4)

y

x2

3

.

3x 1

2

x

Вариант № 25

x2

1)

y x2 (x 3)2 ;

3)

y

;

x2

5x 4

2)

y

2x 3

;

4)

y