Исследование функции одной переменной. Учебное пособие

Пример 2.3. Найти экстремум функции y x3 6x2 9x с по-

мощью достаточных условий во втором варианте. Находим первую и вторую производные:

y 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 , y 6x 12 6 x 2 .

ция имеет минимум y 3 0 и максимум y 1 4 .

Выше мы рассматривали экстремум дифференцируемой функции, точнее говоря, функции, имеющей непрерывную производную. Такие функции называются гладкими, экстремум гладкой функции также называется гладким экстремумом.

Непрерывная функция может иметь экстремум в таких точках, в которых она не дифференцируема, точнее, в точках, в которых производная имеет разрыв (конечный или бесконечный). Такой экстремум называется острым экстремумом. Для нахождения точек острого экстремума функции следует найти точки разрыва производной и применить к ним достаточные условия экстремума в первом варианте.

Пример 2.4. Рассмотрим функцию (рис. 12)

x при x 0, y x

x при x 0.

Рис. 12

11

Данная функция непрерывна на интервале ( ; ) . Найдем

Рис. 14

Рис. 15

12

Данная функция непрерывна на интервале ( ; ) .

на острый экстремум. Исследуем знак производной. При переходе через точку x 0 производная меняет знак с минуса на плюс, поэтому в этой точке функция имеет острый минимум (рис. 16).

Таким образом, непрерывная функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, в которых производная непрерывна и равна нулю (гладкий экстремум), либо в тех точках, где производная имеет разрыв (острый экстремум).

13

Заметим, что функция f выпукла вверх тогда и только тогда, когда функция –f выпукла вниз.

Если выполняются строгие неравенства l(x) f (x) и l(x) f (x) , а < x1 < x2 < b, то функция f называется строго выпук-

лой вверх, соответственно строго выпуклой вниз на интервале (a; b). В этом случае любая точка хорды АВ, кроме ее концов, лежит ниже (выше) соответствующей точки графика функции.

Всякий интервал, на котором функция выпукла вверх, соответственно выпукла вниз, называется интервалом выпуклости вверх, соответственно – вниз этой функции.

Теорема 3.1 (достаточные условия строгой выпуклости).

Если вторая производная функции отрицательна (положительна) во всех точках интервала, то функция строго выпукла вверх (соответственно строго выпукла вниз) на этом интервале.

Доказательство. Если а < x1 < x < x2 < b, то

теперь теорему о среднем Лагранжа к разности f (c) f (c1); тогда

получим l(x) f (x) f (с2 )(c c1 )(x2 x)(x x1 ) , c1 c2 c. Здесь x2 x1

знак правой части равенства совпадает со знаком f (с2 ) (все остальные сомножители положительны). Поэтому, если f 0 на

(a; b), то l(x) f (x), т. е. функция f строго выпукла вверх; если же f 0 на (a; b), то l(x) f (x) , т. е. функция f строго выпукла вниз.

Замечание 1. Условие постоянства знака второй производной, являясь достаточным условием строгой выпуклости вверх или вниз, не является необходимым: на интервалах строгой выпуклости

15

вверх или вниз вторая производная может обращаться в нуль. Например, функция y x4 строго выпукла вниз на всей числовой

прямой, однако ее производная y 12x2 обращается в нуль при

x 0.

Замечание 2. Из доказательства теоремы видно, что если условие положительности второй производной на интервале заменить условием ее неотрицательности, то функция будет выпукла вниз на этом интервале. Соответственно, если вторая производная неположительна на интервале, то функция выпукла вверх.

Расположение графика дважды дифференцируемой функции относительно касательной к этому графику также зависит от знака второй производной.

Теорема 3.2. Пусть функция f имеет во всех точках x интервала (а; b) положительную (отрицательную) вторую производную

к нему в точке (x0 ; f (x0 )), кроме самой этой точки, которая лежит

на касательной.

Доказательство. Если функция f имеет в точке x0 вторую

производную, то, значит, в этой точке существует и первая производная, а тогда график функции имеет в точке (x0 ; f (x0 )) наклон-

f (x0 )(x x0 ) ( f (c) f (x0 ))(x x0 ), где c лежит между x и x0 . Применим еще раз теорему Лагранжа, но уже к разности

f (c) f (x0 ) , получим:

f (x) L(x) f (с1)(c x0 )(x x0 ) ,

где точка c1 лежит между x0 и c . Имеем (c x0 )(x x0 ) 0 , так как

сти f (x) L(x) при x x0 совпадает со знаком второй производной f (с1) . Следовательно, если на (a; b) вторая производная положи-

16

тельна, то f (x) L(x), т. е. график функции лежит над касательной

(выпуклый вниз), а если вторая производная отрицательна, то f (x) L(x), т. е. график функции лежит под касательной (выпук-

лый вверх) y f (x0 )(x x0 ) f (x0 ), x (a; b) , x x0 . Определение 3.2. Пусть функция f дифференцируема при x = x0,

пусть y = L(x) – уравнение наклонной касательной к графику функции f в точке (x0 ; f (x0 )). Если разность f (x) L(x) меняет знак при

переходе через точку x0 , то x0 называется точкой перегиба функ-

ции f.

Если x0 – точка перегиба функции, то точка (x0 ; f (x0 )) назы-

вается точкой перегиба графика функции f. В точке (x0 ; f (x0 )) гра-

фик функции f переходит с одной стороны наклонной касательной на другую сторону (рис. 18).

f (x)

L(x)

вниз на (0; ) . Уравнение касательной к ее графику в точке (0; 0) имеет вид y 0. При x < 0 f (x) 0 , а при x > 0 f (x) 0 , тогда точка x = 0 является точкой перегиба (рис. 19).

17

справа – выпуклый вниз. Следовательно, точка (x0 ; f (x0 )) графика

функции является точкой перегиба.

Аналогично, если f (x) 0 при x x0 и f (x) 0 при x x0 , то точка (x0 ; f (x0 )) является точкой перегиба.

19

§ 4. АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Определение 4.1. Асимптотой графика функции y f (x)

называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на графике функции, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки в бесконечность.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

Таким образом, точки бесконечного разрыва функции, как правило, точки, в которых знаменатель обращается в нуль, будут давать значения x a . Вертикальные асимптоты находятся из области определения функции.

Пример 4.1. y x x 2 .

Область определения функции x ( ; 2) ( 2; ) . Следовательно, прямая x 2 – вертикальная асимптота. Найдем одно-

2. Наклонные асимптоты. Как известно, уравнение наклонной прямой имеет вид y kx b . Найдем k и b. Возьмем на кривой

y f (x) произвольную точку M (x; y) . Расстояние от точки

20