Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Задачник-практикум по основам программирования. Учебное пособие по курсу «Информатика»

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

∞

Рассмотрим задачувычисления суммы ∑ak , гдеa0, a1, a2, … образуют

числовую последовательность.

k =0

Соотношение, которое выражает элемент последовательности через предыдущий (один или несколько) называется рекуррентным [7].

Рекуррентное соотношение для определения члена ряда в типичном случае имеет вид:

ak	= ak 1 t,	k = 1, 2, ...
	− задано	,
a0	− задано

где t – множитель, определяемый как отношение текущего члена ряда к предыдущему члену.

		∞
Вычисление суммы y = ∑ak сходящегося ряда осуществляется на
		k =0
основе рекуррентного соотношения:
yk	= yk −1 + ak ,	k = 1, 2, ...
	= a0
y0	= a0

Если значения члена ряда {ak} по модулю монотонно убывают, то для получения приближенного значения суммы ряда следует выполнять вычисления, пока выполняется условие |ak| > eps (0 < eps < 1).

Многие функции имеют представление в виде сходящихся рядов.

Пример 5.1. Вычислить приближенное значение функции y = sin x, используя ее разложение в ряд [8]:

y = x −	x3	+	x5	−	x7	+ ...
	3!		5!		7!

Любой очередной член ряда ak (кроме первого) можно выразить через предыдущий элемент. Для этого необходимо найти их отношение:

t =	ak	=	(−1)k x2k +1	(2k − 1)!				= −	x2	.
	ak −1		(2k + 1)!	(−1)	k −1	x	2k −1		2k (2k + 1)

Откуда следует рекуррентное соотношение

		x2
ak	= −ak −1		, k = 1, 2, 3, ...
ak	= −ak −1	2k (2k +1)	, k = 1, 2, 3, ...
		2k (2k +1)
	= x
a0	= x

program Appr_1_1;

var x, y, eps, a :real; k :integer;

begin

write(’Введите значение аргумента x=’); readln(x);

write(’Введите значение eps=’); readln(eps);

a:=x; y:=a; k:=0; while abs(a)>=eps do begin

k:=k+1; a:=-a*x*x/2/k/(2*k+1);

y:=y+a
end;	’,y:10:7);
writeln(’y=	’,y:10:7);

writeln(’sin x=’,sin(x):10:7) end.

Для проверки правильности вычислений следует выдать также значе- ние, вычисленное с использованием стандартной функции sin(x).

Для решения этой задачи могут использоваться и другие формулы. Для записи вида членов ряда aj можно использовать вспомогательную последовательность i = 1, 3, 5,…

Для нее рекуррентное соотношение имеет вид

i	= i	j−1	+ 2 ,	j = 1, 2, 3, ...
j		j−1
	= 1
i	= 1
0

Вид для общего члена ряда будет следующий:

a j =	xi	.
	i!

Тогда члены ряда определяются следующими рекуррентными соот- ношениями:

ij	= ij−1 + 2, j = 1,			2, 3...
			x2
			x2
a j	= −a j−1				, .
a j	= −a j−1	(ij	− 1)		, .
		(ij	− 1)	ij
	= 1, a0 = x
i0	= 1, a0 = x

program Appr_1_2;

var x, y, eps, a: real; i: integer;

begin

write(’Введите значение аргумента x=’); readln(x);

write(’Введите значение eps=’); readln(eps);

a:=x; y:=a; i:=1; while abs(a)>=eps do begin

i:=i+2; a:=-a*x*x/((i-1)*i); y:=y+a

end;

writeln(’y= ’,y:10:7); writeln(’sin x=’,sin(x):10:7) end.

Пример 5.2. Интегральный синус

Si(x) = ∫x	sin t	dt
0	t

представляется в виде ряда [9]:

Si(x) = x −

−

+ ...

Вычислить приближенное значение функции Si(x), используя ее раз- ложение в ряд.

Очередной член ряда a k (кроме первого) выражается через предыдущий член. Для этого необходимо найти их отношение:

t =	ak		(−1)k	x2k +1	(2k − 1)!	(2k − 1)		− x2 (2k − 1)
		=					=		.
	ak −1	=	(2k + 1)!	(2k + 1)	(−1)k −1	x2k −1	=	2 k (2k + 1)2	.

Откуда следует рекуррентное соотношение

	x	2	(2k −1)
ak = −ak −1	x		(2k −1)		, k = 1, 2, ...
ak = −ak −1	2 k (2k +1)			2	, k = 1, 2, ...
	2 k (2k +1)
			a0 = x
			a0 = x

program Appr_2_1;

var x, y, eps, a, c: real; k: integer;

begin

write(’Введите значение аргумента x =’); readln(x);

write(’Введите значение eps =’); readln(eps);

a:=x;

y:=a;

k:=0;

c:=-x*x/2; {постоянная часть множителя для члена ряда}

while abs(a)>=eps do begin

k:=k+1; a:=a*c*(2*k-1)/k/(2*k+1)/(2*k+1); y:=y+a

end;

writeln(’Si(x)=’,y:10:7)

end.

Как и в примере 5.1, можно получить другой вид рекуррентных со-

отношений:
ij	= ij−1 + 2, j = 1,			2,	3...
		x2	(ij	− 2)
		x2	(ij	− 2)
a j	= −a j−1					,
a j	= −a j−1	(ij		2		,
		(ij	−1) ij
	= 1, a0 = x
i0	= 1, a0 = x

program Appr_2_2;

var x, y, eps, a, c: real; i: integer;

begin

write(’Введите значение аргумента x =’); readln(x);

write(’Введите значение eps =’); readln(eps);

a:=x;

y:=a;

i:=1;

c:=-x*x; {постоянная часть множителя для члена ряда}

while abs(a)>=eps do begin

i:=i+2; a:=a*c*(i-2)/((i-1)*i*i); y:=y+a

end;

writeln(’Si(x)=’,y:10:7)

end.

Для проверки правильности вычисления приближенного значения ин- тегрального синуса Si(x) следует воспользоваться таблицами специальных функций, например, в [9–11].

Контрольные вопросы

1)x = 0.1 Si(x) = 0.09994

2)x = 0.5 Si(x) = 0.49311

3)x = 5 Si(x)= 1.54993

Пример 5.3. Вычислить приближенное значение постоянной Эйле- ра–Маскерони как предела последовательности

c = lim(∑n 1 − ln n) ≈ 0.5772157

n→∞ i=1 i

n
Обозначим Sn = ∑1
i=1	i

Последовательное приближение к точному значению постоянной Эй- лера–Маскерони c определяется рекуррентными соотношениями:

cn = S n	– ln n, n = 2, 3, ...			= Sn−1	+	1	,	n = 2, 3, ...
		,	Sn			n
	c1 = 1							,
					S1 = 1

Новое значение c вычисляется до тех пор, пока не будет выполнено условие |c – cp| < eps, где cp – предыдущее значение c.

program Appr_3; var n:integer;

eps,S:real;

c,cp:real;{текущее и предыдущее значения посто-

янной} begin

write(’Введите значение eps =’); readln(eps);

n:=1; S:=1; c:=1; repeat

cp:=c; n:=n+1; S:=S+1/n; c:=S-ln(n)

until abs(c-cp)<eps; writeln(’константа c=’,c:10:7)

end.

ЗАДАЧИ

5.1. Найти приближенное значение суммы ряда y. Суммирование прекратить, как только очередное слагаемое станет меньше eps (0 < eps < 1). Близость приближенного и точного значений указывает на правильность вычислений.

1)	y = 1−	1		+		1		−	1			+ ...								≈ln 2
		2				3			4
					+			1	,					n = 2, 3, ...							π
2)	Sn = Sn−1				+			n	,					n = 2, 3, ...						≈	π
2)								n												≈	4
							S1		= 1												4
							S1		= 1
3)	y = 1+	1			+			1		+			1				+ ...			≈	π 2
3)	y = 1+	2	2		+			2		+		4				2	+ ...			≈	6
		2					3					4									6
4)	y = 1−	1			+			1			−		1				+ ...			≈	π 2
4)	y = 1−	2	2		+			2			−	4				2	+ ...			≈	12
		2					3					4									12
5)	y = 1+	1			+			1	+			1					+ ...			≈	π 2
5)	y = 1+	2			+			2	+			7			2		+ ...			≈	8
		3					5					7									8
6)	y = 1−	1			+			1		−		1					+ ...			≈	π 3
6)	y = 1−	3			+			3		−		7			3		+ ...			≈	32
		3					5					7									32
		1				1			1								1			≈	1	π	+ ln 2)
7)	y = 1−			+				−						+					− ...		3 (
		4				7																3
		4				7					10							13				3

	y =	1		1		1			1					1		≈	1	(	π	− ln 2)
8)			− 5		+ 8		−					+			− ...		3
		2																	3
										11				14
	y =			1		1			1					1			1		{π + 2 ln( 2 + 1)}
9)		1−		5 +		9 −					+				− ...
																4	2
								13					17

10)	y = sin x + sin 3x + sin 5x			+ sin 7x		+ ...	≈		π
		3	5	7					4
11)	y = cos x − cos 3x + cos5x − cos 7x + ...						≈		π
		3	5	7					4
12)	y = 1	− cos 2x − cos 4x − cos 6x			− ... ≈		π	sin			x
	2	1 3	3 5	5 7			4
13)	y = sin 2x + 2 sin 4x + 3 sin 6x				+ ...		π		cos		x
	1 3		3 5	5 7			8
14)	y = ln 2 + cos 2x + cos 4x			+ cos 6x		+ ...	≈ − ln			sin x
14)	y = ln 2 + cos 2x + cos 4x			+ cos 6x		+ ...	≈ − ln			sin x
			2	3

(0 < x < π )

( − π2 < x < π2 ) ( − π2 ≤ x ≤ π2 ) (0 < x < π )

(0 < x2 < π 2 )

5.2.Найтиприближенноезначениетригонометрическойилигиперболической функции, используя ее разложение в бесконечное произведение:

∞		x	2
1) y = sinx = x ∏ 1	−
1) y = sinx = x ∏ 1	−
i=1	i π

∞

2 x

y = cosx = ∏

−

i=1

π (2i − 1)

− e− x

∞

y = shx =

= x ∏

i=1

i π

+ e

− x

∞

2 x

y = chx =

= ∏

i=1

π (2i

− 1)

5.3.Найтиприближенноезначениеспециальныхфункций[9–11], используя их разложение в ряд. Это значит, что нужно просуммировать члены ряда до первого члена, модуль которого меньше заданного eps (0 < eps < 1).

1) Интегральная показательная функция

∞

Ei(x) = c + ln x + ∑

(x > 0)

i=1 i i!

c ≈ 0.5772157 – постоянная Эйлера-Маскерони

Контрольные вопросы

x = 0.1 Ei(x) = –1.6228

x = 0.5

Ei(x) = 0.4542

x = 5

Ei(x) = 40.1853

2) Интегральная показательная функция

E1 (x) = − c + ln x −

−

+ ...

1 1!

2 2!

3 3!

c ≈ 0.5772157 – постоянная Эйлера-Маскерони

Контрольные вопросы

x = 0.1

E1(x) = 1.823

x = 0.5

E1(x) = 0.5598

x = 5

E1(x) = 0.001148

3) Интегральный косинус

Ci(x) = c + ln x − S (x) = c + ln x −

−

+ ...

c ≈ 0.5772157 – постоянная Эйлера-Маскерони

Контрольные вопросы

x = 0.5 S1(x) = 0.06185

x = 1 S1(x) = 0.23981

x = 5 S1(x) = 2.37669

4) Функция ошибок (интеграл вероятностей)

(x > 0)

	2		x	3		x	5		x	7
erf x =		x −			+			−
			1! 3			2! 5			3! 7
	π

Контрольные вопросы

x = 0.1 erf x = 0.1125 x = 1 erf x = 0.8427 x = 2 erf x = 0.9953

5) Интеграл вероятностей

+ ...

P(x) = erf

x −

−

+ ...

2 1 ! 3

2 !

3 !

Контрольные вопросы

x = 0.1 P( x ) = 0.0797 x = 1 P( x ) = 0.6827 x = 4 P( x ) = 0.9999

6) Эллиптический интеграл

	π			1 2		1 3 2		2		1 3 5 2		3			< 1 .
	π			1 2		1 3 2		2		1 3 5 2		3
K(x) =		1	+		x +		x		+		x		+ ...	x
	2			2		2 4				2 4 6

Контрольные вопросы x = 0.1 K(x) = 1.61244 x = 0.5 K(x) = 1.85408 x = 0.9 K(x) = 2.57809

7) Эллиптический интеграл

	π			1	2		1 3 2	x2		1 3 5 2
E(x) =		1	−			x −			−
E(x) =	2	1	−			x −		3	−
	2			2			2 4	3		2 4 6

Контрольные вопросы x = 0.1 E(x) = 1.53075 x = 0.5 E(x) = 1.35064 x = 0.9 E(x) = 1.10477

8) Интеграл Френеля
π 2	x5		π	4	x9		π	6
C(x) = x −		+				−
C(x) = x −	2! 5	+			4! 9	−
2	2! 5		2		4! 9		2

Контрольные вопросы

x = 0.2 C(x) = 0.199921 x = 2 C(x) = 0.488253 x = 4 C(x) = 0.498199

9) Интеграл Френеля

	x	3		x	< 1 .
	x		− ...
			− ...
5


x13		+ ...	x > 0
6!	13

π 3

x11

S(x) =

−

− ...

x > 0

5! 11

Контрольные вопросы

x = 0.2 S(x) = 0.0041876 x = 2 S(x) = 0.343415 x = 4 S(x) = 0.420517

5.4. Периметр эллипса, заданного своими полуосями a и b (a ≥ b), определяется суммой ряда

p = 2π a			1	2	(1− k		2		1 3 2	(1	− k 2 ) 2		1 3	5	2	(1− k 2 )3
p = 2π a	1	−			(1− k			) −			3	−				5	− ... ,
			2						2 4		3		2 4 6			5

где		k = b			a	−		коэффициент			сжатия.
					a

Получить таблицу длин эллипсов для заданной большей полуоси a, меняя b от 0 до a.

5.5.Найти первый член последовательности {an}, для которого выполнено условие |an – an-1| < eps, если последовательность образована по закону:

;

− 1 +

n2 + 1

= (1−

1 )(1−

1)...(1−

);

n + 1

= (1−

)(1

)...(1

(−1)n

(n + 1)!

5.6. Среди членов последовательности, вычисляемых по формулам xi = (2 − xi3−1 ) / 5 (i = 1, 2,...), x0 = 1 ,

найти xi для которого выполняется неравенство |xi – xi-1| < 0.0001. 5.7. Для заданных x > 0 и eps вычислить y = x , используя формулу

yn	=	1	( yn−1 +	x	) , y0 = x.
		2
				yn−1

Вычисления прекратить, если будет выполнено условие |yn – yn-1| < eps. 5.8. Для заданных x и eps вычислить y = 3 x , используя формулу

sin 1

аn = 1 nn

В качестве начального приближения принять

y0	x / 3,	если	x ≥ 1
y0	=	если	x < 1	.
	x,	если	x < 1

Вычисления прекратить, если будет выполнено условие |yn – yn-1|< eps. 5.9. Для заданных x и eps вычислить y = 5 x , используя формулу

yn	=	4 yn−1 +	x	.
			4
		5	5yn−1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 208 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]