Задачник-практикум по основам программирования. Учебное пособие по курсу «Информатика»

7.2.Описать функцию для вычисления среднего значение произвольной вещественной функции от одной вещественной переменной на отрезке [a, b], протабулировав ее с заданным шагом h. Считать, что функция на отрезкеопределена инепрерывна. Написать программу, вычисляющую среднее значение функции на отрезке для следующих функций:

7.3. Описать процедуру построения графика произвольной вещественной функцииотоднойвещественной переменной наотрезке[a, b]. Считать, чтофункциянаотрезкеопределенаинепрерывна. Написатьпрограмму, строящую график одной из функций, выбираемой пользователем из предлагаемого списка:

y = sin x ex

y = (2.2x − ex ln 2 ) (x2 − 4)

y= x2 cos 2x + 1

7.4.Описать функцию приближенного вычисления корня уравнения f(x)=0 на отрезке методом половинного деления, если функция f(x) передается как параметр.

Метод половинного деления [8, 9]

Для уточнения корня уравнения F(x) = 0, принадлежащего отрез-

ку [a, b] методом половинного деления, этот отрезок делится пополам:

=a + b

x2 . Если x не является корнем (приближенно), то выбирается та

из половин [a, x] или [x, b], на концах которой функция F(x) имеет проти- воположные знаки. Новый суженный отрезок снова делится пополам, и проводятся те же действия и т.д. В результате на каком-то этапе получается или приближенное значение корня уравнения, или последовательность вложенных друг в друга отрезков [a0 , b0], [a1 , b1], ..., [an , bn] таких, что

F(ai) ∙ F(bi) < 0,

1

bi–ai = 2i (b0 – a0 ), i = 0, 1, 2, ..., n

a0=a, b0=b

Если длина отрезка, на концах которого функция имеет противополож- ные знаки, стала меньше заданного числа eps ( 0 < eps <<1), то в качестве

приближенного значения корня уравнения можно принять an 2+ bn .

131

Применить функцию для нахождения корня каждого из следующих уравнений:

1)0.44x + 0.3cos x = 0 на отрезке [–1, 0]

2)3x – lg x –10 = 0 на отрезке [3, 4]

7.5.Описать функцию приближенного вычисления корня уравнения f(x) = 0 на отрезке методом Ньютона, если функция f(x) передается как параметр.

Метод Ньютона (метод касательных)

В качестве приближенного значения корня уравнения F(x) = 0

принимается предел последовательности {xn}, описываемой следующим рекуррентным соотношением:

Начальное приближение x0 целесообразно выбирать так, чтобы было выполнено условие F(x0) ∙ F″(x0) > 0. В противном случае сходимость ме- тода Ньютона не гарантируется.

Метод Ньютона неприменим, если на отрезке [a, b] функция имеет экстремум или точку перегиба. Следует проверять значение F′(xn–1), чтобы избежать деления на 0.

Использовать функцию для нахождения корня уравнения: –0,0255x2 − 0,5298x–2,0449 = 0 на отрезках [–16, –15] и [–6, –4]

7.6.Описать функцию приближенного вычисления корня уравнения f(x) = 0 на отрезке методом хорд, если функция f(x) передается как параметр.

Метод хорд [8, 9]

Метод хорд основан на построении сходящейся последовательности {xn} с помощью рекуррентного соотношения:

x0 = a или b;

X* = соответственно b или a

Выбор значений x0 и X* зависит от вида функции F(x). Если в произ- вольной точке отрезка [a, b], например, в середине, производные F′(x) и F″(x) имеют один знак, то x0=a, X*=b. Если – разный знак, то x0=b, X*=a.

Использовать функцию для нахождения корня уравнения:

2x − cos x = 0, [0, π2 ]

132

Примечание к задачам № 7.10 – 7.12

Если дуга гладкой кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b) вращается вокруг оси OX, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле

7.10.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги синусоиды y = sin 2x для 0 ≤ x ≤ π/2.

7.11.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги кривой y = 2ch (x/2) для 0 ≤ x ≤ 2.

7.12.Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги кривой y = x3 для 0 ≤ x ≤ 1/2.

Примечание к задачам №№ 7.13–7.15

Решить совместно два уравнения и найти точки их пересечения. Угол между касательными к двум кривым y=f1(x) и y=f2(x) в точке их пересечения x0

133

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1

Вычислить приближенное значение корня уравнения на отрезке ука- занным методом:

134

Задание 2

Вычислить приближенной значение интеграла, используя указанную квадратурную формулу:

135

136

Задание 3

Даны две функции f(x) и g(x), графики которых пересекаются в двух точках. Для точек пересечения нужно определить интервал локализации. Для этого построить таблицу значений функции f(x) – g(x) и проанализиро- вать изменение знака функции. Для полученного интервала локализации корня уточнить значение указанным в задании методом. Вычислить пло- щадь фигуры, ограниченной графиками функций, используя указанную в задании квадратурную формулу.

Примечание. Выполнение задания может быть оформлено в виде отдельных программ, соответствующих каждому из этапов, или в виде одной программы.

Для определения интервалов локализации точек пересечения можно использовать процедуру построения графиков функций.

137

138

8. РЕКУРСИЯ

Рекурсия – это способ описания объектов и вычислительных процессов через самих себя [16].

Описание рекурсивной подпрограммы должно содержать хотя бы одну альтернативу, не использующую рекурсивный вызов. Эта альтернатива завершает последовательность рекурсивных вызовов. В противном случае процесс вычислений будет бесконечным.

Пример 8.1. Используя рекурсивную процедуру, вычислить сумму

S = 1+ 12 + 13 + + n1

program Rec_1; var n: integer;

Sm: real;

procedure SumRec( n:integer; var S: real); begin

if n=1 then S:=1 else

begin

SumRec( n-1, S ); S:=S+1/n

end end; begin

write(‘n=’); readln (n); SumRec( n, Sm );

writeln(‘Сумма =’,Sm:10:8) end.

Можно проследить, как работает процедура SumRec, например, для n = 5.

Оператор процедуры в этом случае будет таким:

SumRec( 5, Sm );

140