Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений. Элементы теории устойчивости решений. Учебное пособие

№ 3606 М И Н И С Т Е РС Т В О Н АУ К И И В ЫС Ш Е ГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

Е.В. Твердохлебова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

Элементы теории устойчивости решений

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета

Москва 2020

3

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n, разрешенное относительно старшей производной:

x(n) = f(t, x, x′, x′′, ..., x(n – 1)) = 0,

с неизвестной функцией x(t), где t – время.

Если функция f имеет непрерывные частные производные по всем аргументам, то справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши. При этом решение x(t), удовлетворяющее совокупности условий

x(t0) = x0, x′(t0) = x0,1, … , x(n – 1) (t0) = x0, n – 1,

существует и единственно.

Если достаточно малые изменения начальных условий приводят к решениям, мало отличающимся от данного решения, то решение считается устойчивым. Если нет, то неустойчивым.

При этом всякое уравнение n-го порядка может быть приведено к дифференциальному уравнению первого порядка в n-мерном пространстве введением новых функций: y1 = x,

y2 = x′(t), …, yn = x(n – 1)(t). Тогда получим систему:

y1′ =x′(t);y2′ =x′′(t);

y3′ =x′′′(t);

y ′ =f(t, y , y , ,y ).

n 1 2 n

n

Y′ = F(t, Y).

F называют векторным полем системы.

5

Получено уравнение первого порядка в n-мерном пространстве. Рассмотрим вопрос об устойчивости решения для уравнений первого порядка.

1.1. Устойчивость по Ляпунову

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в пространстве R1. Пусть решением задачи Коши

y′(x) = F(x, y), y(x0) = y0

является функция y0(x).

Определение устойчивости (по Ляпунову).

Решение y(x) уравнения называется устойчивым при x → ∞, если

ε(δ) >0: y0 (x0 ) −y(x0 ) <δ y0 (x) −y(x) <ε .

Это означает, что все решения y(x), находящиеся в достаточно малой δ-окрестности решения y0(x) при x = x0, не покидают достаточно малую ε-окрестность этого решения при сколь угодно возрастающем x.

Решение y(x) называется асимптотически устойчивым при x → ∞, если

Это означает, что все решения, находящиеся в достаточно малой δ-окрестности решения y0(x) при x = x0, стремятся приблизиться сколь угодно близко к этому решению при бесконечно возрастающем x.

Изучить устойчивость решения задачи Коши, пользуясь

Решение. Найдеем общее решение дифференциального уравнения, заметив, что это уравнение с разделяющимися переменными:

6

12 C =1 C =2 ,

Рассмотрим произвольное решение x(t), достаточно близкое к x0(t) в бесконечно малой окрестности точки t = 0, т.е. решение, для которого выполняется:

7

Заметим, что предел произведения ограниченной функции и бесконечно малой равен нулю.

Ответ: решение асимптотически устойчиво.

Пример 1.2. 2(3t +1)x′=x, x(1) =2 .

Решение. Найдем общее решение, применив алгоритм интегрирования уравнений с разделяющимися переменными:

Задача Коши:

x(1) =C 63 1+1 =C 32 = −2,

x0 (t) = − 322 63t +1 .

Рассмотрим произвольное решение x(t), достаточно близкое к x0(t) при t = 1:

x(t) −x0 (t)t=1 = C + 322 63 1+1 <δ ,

Пусть t → + ∞:

Ответ: решение неустойчиво.

8

Ответы: 1) неустойчиво; 2) неустойчиво; 3) асимптотически устойчиво.

1.2. Простейшие типы точек покоя

Рассмотрим частный случай системы Y′= F(t, Y), в частности, случай автономной линейной системы в пространстве R2.

Рассмотрим систему двух однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и невырожденной матрицей коэффициентов:

Система с неизвестными функциями x(t) и y(t) называется автономной, так как не содержит явно переменной t.

В матричной форме система имеет вид: Y = A Y ,

Решением системы является пара функций x(t) и y(t), где x(t), y(t) являются производными по времени.

Нулевое решение x = 0, y = 0 удовлетворяет системе дифференциальных уравнений. Рассмотрим расположение траекторий по отношению к нулевой точке.

x(t)

Решение этой системы задает на плоскости кривую,

y(t)

вдоль которой движется точка, занимая в каждый момент вре-

9

поле скоростей, причем при каждом значении переменной t

движения. Поэтому правую часть векторного уравнения называют векторным полем. Его анализ позволяет оценить характер движения точки по траектории, которая удовлетворяет системе дифференциальных уравнений.

если поле в этой точке обращается в ноль. Очевидно, что мгновенная скорость движения в стационарных точках равна нулю. Это точки мгновенной остановки или покоя. В механике такие точки называют мгновенными центрами скоростей.

В стационарной точке векторного поля должно выполняться:

При ненулевом определителе матрицы коэффициентов

эта система имеет единственное нулевое решение x = 0, y = 0. Поэтому речь идет именно о нулевой точке покоя или нулевом равновесии.

Мы рассмотрим поведение множества решений системы однородных линейных дифференциальных уравнений по отношению

кнулевому равновесию.

Вразделе 2.8.3 пособия 3457 было показано, что множество решений системы однородных линейных дифференциальных уравнений имеет вид

где k1, k2 – собственные числа матрицы А;

10