Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений. Элементы теории устойчивости решений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

748 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

ln υ=2lnt υ=t2 ;

Подставляем x = t, μ = 0:

u′=

u +t t

Условия однозначности: u(1) =

∂

(1+2µ)

µ=0 =2 .

∂µ

µ=0

Решаем задачу Коши: u′=

+t2

+t3,

u(1) =2 .

Запишем уравнение в виде

u′−

u =t2

+t3 .

Это линейное уравнение первого порядка, которое можно решить, например, методом Бернулли: u(t) = c(t) · υ(t). Неизвестные функции c(t) и υ(t) найдем из уравнений:

1) υ′− 2t υ=0 ,

2) c′υ=t2 +t3 ,

c′t2 =t2 +t3 c′=1+t ,

c(t) =t + t22 +C0 . Окончательно получим

u(t) =t2

t +

Условие однозначности: u(1) = 2,

u(t) =12

+C0

C0 =

Ответ:

∂x

=t3

∂µ

µ=0

Замечание: задача Коши для определения функции u(t) легко получается, если продифференцировать исходные уравнения задачи Коши по переменной μ:

∂µ∂ (x′)= ∂µ∂ (f (x,t,µ)),

∂ dx

∂f

∂x

∂f

∂x

∂µ

∂µ dt

где

∂

∂x

∂м dt

∂м

∂x

∂

a(µ) .

∂µ

t=t

∂µ

Например,

∂

+µ (xt +x

)

∂µ

∂µ dt

∂x

∂µ

+(xt +x3 ) +µ t

∂µ

+3x2

∂µ

тогда

dudt = 2t2x u +(xt +x3 ) +µ (t u +3x2 u).

Если раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, то получим

2x				2		3
u′=			+µ t +3x		u +xt +x		.
u′=	t	2	+µ t +3x		u +xt +x		.
	t
Аналогично для начальных условий

∂x	=	∂	(1+2µ) u	t=1=2 .


∂µ		∂µ
	t=1

Пример 2.2. x′=

+µ (1+

2x2 ), x(1) =1−µ . Найти

∂x

∂µ

µ=0

Решение.

I. Решим задачу Коши при μ = 0:

x′=

x(1) =1.

Это уравнение с разделяющимися переменными:

lnx =ln(Ct) .

Общее решение: x = C t.

Начальные условия: x = 1, t = 1.

1 = 1 · C, C = 1.

Решение задачи Коши: x = t.

II. Вводим функцию u(t) = ∂x

и уравнение для ее опреде-

ления

∂f

∂µ

µ=µ0

u′=

u +

+2µ 4x u +1+2x

∂x

∂µ

Подставляем x = t, μ = 0:

u′=

+1+2t2 .

Начальное условие: u(1) =

∂

(1−µ)

= −1 .

∂µ

Решим задачу Коши: u′=

+1+2t2

µ=0

, u(1) = −1.

Запишем уравнение в виде

u′−

u =1+2t2 .

Линейное неоднородное уравнение решим методом Бернулли: u(t) = c(t) · υ(t). Неизвестные функции c(t) и υ(t) найдем из уравнений:

′

υ=0 ,

1) υ −

ln υ=lnt

υ=t .

2) c′t =1+2t2 c′=

+2t ,

c(t) =lnt +t2 +C ,

u(t) =t (lnt +t2 +C0 ).

Начальное условие: u(1) = – 1.

1 (ln1+12 +C0 )= −1

C0 = −2 .

Ответ:

∂x

=t (lnt +t2 −2).

∂µ

µ=0

+µ te−x

, x(1) =1. Найти: ∂x

Пример 2.3. x′=

∂µ

µ=0

Решение

I. Решим задачу Коши при μ = 0:

x′=

, x(1) =1.

Это уравнение с разделяющимися переменными:

lnx =ln(Ct) .

Общее решение: x = C t.

Начальные условия: x = 1, t = 1,

1 = 1 · C, C = 1.

Решение задачи Коши: x = t.

II. Вводим функцию u(t) =

∂x

и уравнение для ее определе-

ния

∂f

∂µ

µ=0

u′=

−x

u +

−µte

u +te

∂x

∂µ

Подставляем x = t, μ = 0:


				u
u′=						+te−t .
				t
Начальное условие: u(1) =		∂			(1)			=0 .

	∂µ						µ=0
		u
Решаем задачу Коши: u′=			+te−t,					u(1) =0 .

Запишем линейное уравнение в виде u′−1t u =te−t .

Будем искать решение уравнения методом Бернулли в виде

u(t) = c(t) · υ(t).
1) υ′−	1	υ=0 ,
1) υ′−		υ=0 ,
	t					ln υ=lnt υ=t .
						ln υ=lnt υ=t .
2) c′t =te−t			c′=e−t ,
							c(t) = −e−t +C ,
						0
						u(t) =t (−e−t +C0 ).
Начальное условие: u(1) = 0,
				1 (−e−1 +C0 )=0 C0 =				1	.
				1 (−e−1 +C0 )=0 C0 =					.
								e
Ответ: ∂x						t
			=	t	−	t	.
			=		−		.
		∂µ	µ=0	e		et
			µ=0			et

Пример 2.4. x′=x2 +µ tx3, x(0) =1+µ . Найти:

Решение

I. Решим задачу Коши при μ = 0:

x′=x2,		x(0) =1 ,
dx	=dt −		1	=t +C .
x2			x

∂x . ∂µ µ=0

Начальное условие x = 1, t = 0, C = – 1.

Решение задачи Коши: x =

−t

II. Вводим функцию u(t) =

∂x

и уравнение для ее определе-

ния

∂µ

µ=0

∂f

u′=

u +

= 2x +

3µtx2

u +tx3 .

∂µ

∂x

Подставляем x =

,µ =0 :

−t

u′=

1−t

(1−t)3

Начальное условие: u(0) =

∂

(1+µ)

=1 .

∂µ

Решаем задачу Коши

µ=0

u′−

u =

u(0) =1

1−t

−t)3

методом Бернулли: u(t) = c(t) · υ(t),

1) υ′−

υ=0 ;

1−t

υ=

−t)

2) c′

−t)2

(1−t)3

c′=

1−t

c(t) = −t −ln

t −1

+C0 ,

u(t) =(−t −ln

t −1

+C0 )

−t)2

Начальное условие: u(0) = 1,

			1 (−ln1+C0 )=1 C0 =1.
Ответ:	∂x		=(−t −ln	t −1	+1)	1	.



	∂µ	µ=0				(1−t)2

Самостоятельно найти производную по параметру:

1) x′= −x2 +µ (tx +x3 ), x(0) =1−µ,	∂x	=? ;
	∂µ
		µ=0

x =t +µ (x3 +1), x(0) =3+µ,

∂x

=? ;

∂µ

x′=2x +x2 cost,

∂x

µ=0

x(0) =a,

=? .

∂a

a=−

Ответы:

∂x

+ln

t +1

−

;

∂µ

µ=0 3

(t +1)

∂x

9t5

9t3

+28t +1;

∂µ

µ=0

4e−2t

∂x

∂a

(sint +

2cost)2

a=−

Рассмотрим задачу Коши для n-мерного пространства:

x1′ =f1 (t,x1, , xn,µ),

x2′ =f2 (t,x1, , xn,µ),

………

xn′ =fn (t,x1, , xn,µ)

с начальными условиями

x1(0) =a1 (µ),

x2 (0) =a2 (µ),

………

xn (0) =an (µ).

В матричной форме задача имеет вид X′= F(t,X(t),µ) ,

X(0) = A(µ) .

Предполагаем, что правые части уравнений системы и начальных условий имеют непрерывные производные по всем переменным.

				∂x
				∂x
				1
	∂X			∂µ	µ=µ0
Необходимо найти	∂X
Необходимо найти	∂µ		= …				.
		µ=µ0		∂x


				n
				∂µ
						µ=µ0
						µ=µ0

Введем в рассмотрение новую вектор-функцию:

∂x1

∂µ

∂X

µ=µ0

= …

∂µ

= …

µ=µ0

∂x

µ=µ0

∂µ

µ=µ0

и матричное уравнение для ее определения: dUdt = ∂∂XF U + ∂∂µF

с начальным условием в векторном виде U(t0 ) = ∂∂µA .


При этом производная				∂F
При этом производная				∂X
				∂X
		∂f1

			∂x
			1
			∂f
	∂F		2
	∂F		∂x1
		=
	∂X	=
	∂X

			∂fn
			∂fn

			∂x
			1

имеет вид матрицы:

	∂f1		∂f1

	∂x		∂x
	2		n
	∂f		∂f
	2		2
	∂x2
	∂x2		∂xn .


	∂fn		∂fn
	∂fn		∂fn

	∂x		∂x
	2		n

Возвращаясь к записи в виде системы, получим

u′		=		∂f1
u′		=
	1		∂x1
			∂x1
u′		=		∂f2
u′		=	∂x1
	2		∂x1
…

u′		=		∂fn
u′		=		∂x
	n			∂x
			1

u	+…+		∂f1	u	+	∂f1	,
u	+…+	∂x		u	+	∂µ	,
1		∂x		n		∂µ
			n
u	+…+		∂f2	u	+	∂f2	,
u	+…+	∂x		u	+	∂µ	,
1		∂x		n		∂µ
			n
u	+…+		∂fn	u	+	∂fn	;
u	+…+		∂x	u	+	∂µ	;
1			∂x	n		∂µ
			n

u		(t	) = ∂a1				,
u		(t	) = ∂a1				,
	1	0		∂µ
				∂µ		µ=µ0
			∂a2

		=					,
u2		=	∂µ				,
			∂µ	µ=µ
				0

…
			∂an

u		=					.
	n		∂µ
					µ=µ0
					µ=µ0

Пример 2.5. Найти

∂x

для системы дифференциальных

уравнений

′

∂µ

µ=0

x(0) =0,

=4ty

=1+5µx;

y(0) =0.

y′

Решение.

I. Решаем задачу Коши при μ = 0:

′

x(0) =0,

=4ty

y(0)

=0.

y′=1;

Система может быть решена методом подстановки:

′

+C,C =0,

=4ty

x =t

=t;

y =t +C, y(0) =0 C =0;

y =t.

В результате получим

=t.

II. Вводим функции u

∂x

,u =

∂y

и систему для их

определения

∂µ

µ=0

∂µ

µ=0

u′

∂f1 u

+ ∂f1 u

+ ∂f1 =0 u

+2 4t y u

+0,

∂x

∂y

∂µ

∂f2 u +

∂f2 u

+ ∂f2 =5µ u

u′

+0 u +5x

∂x

∂y

∂µ

с начальными условиями u1(0) =0,u2 (0) =0 .

Подставляем x =t4, y =t,µ =0 .

u′

=8t2 u ,

u′

=8t2 u ,

=5t4;

=t5 +C,u

(0) =0 C =0.

u′

=8t2 t5,

u =t8 +C,u (0) =0 C =0,

u =t5;

u =t5.

Ответ:

∂x

=t8 .

∂µ

µ=0

∂x

= ∂x

Пример 2.6. Найти

для системы дифференци-

∂y

альных уравнений

∂µ

µ=2

x′

x(1) =3,

=xy +t

= y0 =µ.

2y′= −y2;

y(1)

Решение.

1 (

)

Обозначим

x(1) =3 =a

y(1) =µ =a (µ).

I. Решаем задачу Коши при μ = 2:

(1)

x(1) =3,

x′=xy +t

= −y2;

(2)

2y′

y(1) =2.

Найдем y(t) из уравнения (2):

y′= −

= −

dt ,

−

= −

+C ,

находим константу из начального условия y(1) = 2:

−

= −

+C C =0 .

В итоге y = 2t .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]