Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений. Элементы теории устойчивости решений. Учебное пособие

α1 , α2 – соответствующие им собственные векторы.

β1 β2

Вид общего решения поможет представить характер поведения решения в окрестности нулевой стационарной точки.

Классификация точек покоя системы.

I. k1, k2 R.

А. Cобственные числа различны: k1 ≠ k2.

Если k1 < 0, k2 < 0, то функции ek1t,ek2t очевидно будут стремиться к 0, а решение будет стремиться к нулевому. Стационарная точка называется устойчивый узел (рис. 1.1).

Если k1 > 0, k2 > 0, то функции ek1t,ek2t будут удаляться от нулевой точки, а решения бесконечно удаляться от нулевого. Стационарная точка называется неустойчивый узел (рис. 1.2).

k1 > 0

k2 < 0

11

Распределение кривых в окрестности стационарной точки при собственных значениях с разными знаками представлено на рис. 1.3. Точка покоя называется седло.

Б. Cобственные числа равны: k1 = k2.

Если k1 > 0, k2 > 0, то кривые образуют вырожденный неустойчивый узел (рис. 1.4).

Если k1 < 0, k2 < 0, то кривые образуют вырожденный устойчивый узел (рис. 1.5).

Рис. 1.5

II. k1, k2 C.

При комплексных собственных числах матрицы коэффициентов

k1 = α + i β, k2 = α – i β, β ≠ 0 общее решение системы будет иметь вид

Поведение решений будет зависеть от функций eαt cosβt,eαt sinβt . При ограниченности функций cosβt и sinβt рост или убывание решения определяет поведение eαt.

Поэтому если α < 0, то решение стремится к нулевой точке, которая называется устойчивый фокус (рис. 1.6). Если α > 0, то решение удаляется от нулевой точки, которая в этом случае называется неустойчивый фокус (рис. 1.7). Если α = 0, то решение представляет собой кривую, расположенную в некоторой окрестности точки покоя (рис. 1.8).

12

Ответы: 1) устойчивый фокус; 2) седло; 3) неустойчиво; 4) устойчивый фокус.

Обобщим результат для Rn .

Пусть задана система n линейных дифференциальных однородных уравнений с постоянными коэффициентами:

y1′ =a11 y1 + +a1nyn,

y2 =a21y1 + +a2nyn,

yn′ =an1 y1 + +annyn.

Точка покоя системы асимптотически устойчива, если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть. Если же хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то точка покоя неустойчива.

Пример 1.5. Исследовать на устойчивость точку покоя системы:

x =2x,

y =3x +2y,z =x +3y −z.

14

Решение.

(2−k)2 (−1−k) =0 ,

k1,2 =2,k3 = −1 .

Ответ: неустойчива.

1.3. Устойчивость по первому приближению

Рассмотрим автономную нелинейную систему дифференциальных уравнений:

y1′ =f1 (y1, , yn ),

y2′ =f2 (y1, , yn ),

yn′ =fn (y1, , yn ).

В пространстве Rn система имеет вид уравнения первого порядка: Y′= F(Y) .

Предположим вначале, что векторное поле F таково, что fk (0, ,0) =0 , т.е. векторное поле имеет нулевую стационарную точку, а система имеет нулевое решение.

Равновесие нулевой стационарной точки.

Предположим также, что функции fk (y1, , yn ) непрерывно дифференцируемы и допускают разложение по формуле Тейлора в окрестности нулевой точки. Рассмотрим первые два члена разложения для каждой функции fk (y1, , yn ) :

где R k (y1, , yn ) – остаточный член разложения.

15

Заметим, что первые слагаемые представляют собой линейную относительно неизвестных функций y1, y2,…, yn часть разложения с известными коэффициентами в виде частных произ-

Отбросив функции R k (y1, yn ) , получим систему однородных линейных дифференциальных уравнений, которую называют системой первого приближения, или линеаризованной системой (линеаризацией):

Очень важно знать, насколько эквиваленты векторные поля исходной и линеаризованной систем. Воспользуемся теоремой о линеаризации: дифференциальное векторное поле вблизи своей особой точки топологически эквивалентно своей линеаризации.

Топологическая эквивалентность полей вблизи некоторых своих точек означает, что существуют окрестности этих точек и непрерывное взаимнооднозначное отображение одной из этих окрестностей в другую, переводящее фазовые кривые этих полей одно в другое с сохранением движения по ним.

Поэтому тип особой точки векторного поля будем определять по типу особой точки линеаризованной системы.

Приведем формулировку теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

16

Пусть векторное поле F дважды непрерывно дифференцируемо в окрестности нуля. Тогда решение автономной системы Y′ = F(Y) асимптотически устойчиво, если все собственные значения матрицы линеаризации этого поля в нуле имеют отрицательные вещественные части. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то точка покоя неустойчива.

Определить тип нулевого равновесия системы.

x =5x +ycosy;

Пример 1.6.

y =3x +2y −y3ey.

Решение. Обозначим функции векторного поля: 5x +ycosy =f1(x,y) ,

3x +2y −y3ey =f2 (x,y) .

Непрерывно дифференцируемые функции векторного поля допускают разложение в ряд Тейлора в окрестности нуля:

Система первого приближения примет вид

x =5x +y;y =3x +2y.

17

Матрицу коэффициентов линеаризованной системы называ-

Найдем собственные значения матрицы коэффициентов, составив характеристическое уравнение

Собственные значения матрицы коэффициентов вещественны и положительны.

Ответ: нулевое равновесие системы неустойчиво.

x =ln(4y +e−3x );

Пример 1.7.

y =2y −1+ 31−6x.

Решение. Система имеет нулевое решение. Обозначим ln(4y +e−3x ) =f1(x,y) ,

2y −1+ 31−6x =f2 (x,y) .

Вычислим значения коэффициентов для матрицы линеаризации:

18

Матрица коэффициентоав системы первого приближения имеет собственные значения парные комплексные с отрицательной действительной частью.

Ответ: точка нулевого равновесия устойчива.

Решение. Система имеет нулевое равновесие. Вычислим коэф-

19

Пример 1.9. x =ex+3y −(6x +1)cosy;

y =sin(x +y) +ln(1−4x).

Решение

Система имеет нулевое решение. Коэффициенты линеаризо-

Ответ: Точка покоя устойчива. Вырожденный устойчивый узел.

Самостоятельно определить тип нулевого равновесия системы:

20