Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений. Элементы теории устойчивости решений. Учебное пособие

Рассмотрим подобласть Ω, содержащую ноль: Это прямая x = 0, для точек которой выполняется

dVdt =2x4 >0 .

Y

G

Ω

G

Рис. 1.14

Функция V является функцией Четаева.

Вывод: существует направление в области, на котором производная положительна. По теореме Четаева нулевое равновесие неустойчиво.

Самостоятельно исследовать характер нулевого равновесия:

41

1.6.Устойчивость линейных систем

иуравнений с постоянными коэффициентами

Улинейных систем и уравнений либо все решения являются (асимптотически) устойчивыми, либо все решения являются неустойчивыми. Поэтому говорят об (асимптотической) устойчивости либо неустойчивости уравнения или системы в целом.

Исследование на устойчивость уравнения (системы) сводится

кисследованию нулевого решения соответствующего однородного уравнения (системы).

Напомним условия асимптотической устойчивости нулевого равновесия:

––для линейных систем: все собственные числа матрицы должны иметь отрицательные вещественные части;

––для линейных уравнений: все корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.

В обоих случаях приходится решать характеристические уравнения и находить корни многочленов n-го порядка, что не всегда возможно, особенно в случае существования комплексных корней. Поэтому разработан ряд критериев, позволяющих по коэффициентам многочлена определить, все ли его корни имеют отрицательные вещественные части или нет.

Рассмотрим многочлен с постоянными вещественными коэффициентами:

ankn +an−1kn−1 + +a1k +a0 =0, a0 >0 .

Критерий Раусса–Гурвица. Составим матрицу Гурвица размера n×n, в строках которой специальным образом размещаются коэффициенты многочлена:

42

Для того чтобы все корни многочлена имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы были положительны.

Исследовать на устойчивость решения дифференциального

Все миноры положительны, кроме последнего, поэтому не все вещественные части корней многочлена отрицательны и нулевое равновесие неустойчиво, а значит, неустойчивы и все решения этого уравнения.

Количество вычислений можно уменьшить при помощи условий Льенара–Шипара: для того чтобы все корни многочлена

43

имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно, чтобы:

1)все коэффициенты многочлена были положительны;

2)положительны главные миноры:

∆n−1 >0, ∆n−3 >0, ∆n−5 >0, (через один).

Пример 1.24. y(5) +4y(4) +7y(3) +8y′′+3y′+2y =f(x) .

Решение. Характеристическое уравнение k5 +4k4 +7k3 +8k2 +3k +2 =0 .

Замечание: все коэффициенты положительны. Матрица Гурвица (5×5):

Вывод: равновесие устойчиво.

Критерий Эрмита–Михайлова.

Все корни многочлена

ankn +an−1kn−1 + +a1k +a0 =0, a0 a1 >0

имеют отрицательные вещественные части, если у вспомогательных многочленов

P(ζ) =a0 −a2ζ+a4ζ2 −a6ζ3 +…=0 , Q(η) =a1 −a3η+a5η2 −a7η3 +…=0

44

все корни положительны, попарно различны и чередуются, начиная с ζ1 :

0 <ζ1 <η1 <ζ2 <η2 <ζ3 <η3 <….

Исследовать на устойчивость решения дифференциального уравнения.

Пример 1.25. y(5) +4y(4) +7y(3) +8y′′+3y′+2y =f(x) .

Решение. Характеристическое уравнение

Выпишем в ряд коэффициенты характеристического многочлена

1 4 7 8 3 2

исоставим вспомогательные многочлены:

1)P(ζ) =2−8ζ+4ζ2 =0 ,

2)Q(η) =3−7η+η2 =0 .

Найдем корни вспомогательных многочленов: 1) 4ζ2 −8ζ+2 =0 ,

2) η2 −7η+3 =0 ,

Все корни положительны, различны и чередуются, начиная с ζ1 =0,29 :

0,29 < 0,46 < 1,71 < 6,54.

Вывод: все корни характеристического многочлена имеют отрицательные вещественные части и решения дифференциального уравнения устойчивы.

45

Самостоятельно исследовать устойчивость решения:

1)3y(5) +5y(4) +y(3) +8y′′+2y′+4y =f(x) ;

2)y(5) +3y(4) +4y(3) +7y′′+3y′+2y =f(x) ;

3)y(5) +3y(4) +5y(3) +5y′′+3y′+2y =f(x) ;

4)5y(5) +3y(4) +2y(3) +5y′′+2y′+y =f(x) ;

5)4y(5) +2y(4) +3y(3) +4y′′+4y′+y =f(x) .

Ответы:1) неустойчиво; 2) устойчиво; 3) устойчиво; 4) устойчиво; 5) неустойчиво.

Определить, при каких значения параметров решение дифференциального уравнения асимптотически устойчиво.

Пример 1.26. ay(4) +4y(3) +y′′+y′+2y =f(x) .

Решение. Характеристическое уравнение

46

Решение. Характеристическое уравнение

Получили систему алгебраических уравнений:

b >0,

4b −3a >0,4ab −b2 −3a2 >0.

Заметим, что 4ab >b2 +3a2 a >0 .

>0

Кроме того, для последнего уравнения этой системы также имеем

b2 −4ab +4a2 −a2 <0 (b −2a)2 −a2 <0 ,

тогда

47

b −3a >0,b −a <0,

(b −3a)(b −a) <0 − <b 3a 0,

b −a >0.

Поэтому исходная система алгебраических уравнений равно-

Системы легко решаются графически, в результате получаем

(1): O,/

(2): 0 <a <b <3a.

Ответ: 0 <a <b <3a .

Самостоятельно определить, при каких значениях параметров равновесие устойчиво:

1)3y(4) +ay(3) +4y′′+y′+y =f(x) ;

2)2y(3) +ay(2) +y′+by =f(x) ;

3)y(4) +y(3) +2y′′+y′+ay =f(x) ;

4)y(4) +ay(3) +by′′+ay′+y =f(x) ;

5)y(3) +ay′′+by′+ay =f(x) .

48

2. ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ И НАЧАЛЬНЫХ

УСЛОВИЙ

2.1 Дифференцируемая зависимость от параметра

Дифференциальные уравнения, описывающие реальные процессы, почти всегда содержат некоторые параметры, которые измеряются с некоторой погрешностью, поэтому сами уравнения или их начальные условия известны лишь с некоторой степенью точности. Необходимо, чтобы решения дифференциальных уравнений непрерывно зависели от параметров, чтобы они мало изменялись при малых изменениях параметров.

Рассмотрим задачу Коши для одномерного пространства:

x = f(t, x, μ), x(t0) = a(μ), где μ – вещественный параметр.

Теорема о непрерывной зависимости решений от праметра.

Пусть G – область в пространстве (t, x, μ). Если функции f(t, x, μ) и ∂∂xf (t,x,µ) непрерывны в области G по совокупности перемен-

ных и точка (t0, x0, μ0) G, тогда решение задачи Коши x(t, μ) не-

прерывно по совокупности переменных (t, μ) в некоторой области t −t0 <δ, µ−µ0 <ε .

Теорема утверждает, что интегральные кривые уравнения образуют семейство кривых, проходящих через точку (t0, x0, μ0), и интегральные кривые, отвечающие близким значениям μ, близки.

Предполагаем, что функции f(x, t, μ), a(μ) непрерывны по своим аргументам.

Алгоритм решения предполагает следующие действия.

49

I. Решаем задачу Коши при μ = μ0. Пусть x(t) – решение этой задачи.

II. Составляем функцию

u(t) = ∂x(t,µ)

∂µ µ=µ0

и вспомогательное дифференциальное уравнение для ее определения:

dudt = ∂∂xf u + ∂µ∂f

с условием однозначности u(t0 ) = ∂∂µa µ=µ0 .

Частное решение этого уравнения есть решение поставленной задачи.

Найти производную решения по параметру в заданной точке.

50