Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений. Элементы теории устойчивости решений. Учебное пособие
.pdf
2)∂∂µx µ=0 = 19 t8 −1415 t5 +7t2 +2t −1;
3)∂∂µx µ=0 =e−2t − 225 te3t − 54 te−2t .
2.2. Метод малого параметра
Рассмотрим дифференциальное уравнение, правая часть которого зависит от некоторого малого параметра μ → 0:
x =f(t,x,µ) .
Необходимо найти частное решение, отвечающее начальным условиям, также зависящим от некоторого малого параметра μ:
x(t0 ) =a(µ) .
Предположим заранее, что функции f(t, x, μ) и a(μ) достаточно гладкие по своим аргументам и существует разложение x(t, μ) в ряд по степеням μ. Не ограничивая общности, будем считать, что разложение выполняется в точке μ = 0.
Решение задачи Коши x(t, μ) будем искать в виде суммы x(t,µ) =x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…+xn (t)µn +o(µn ) ,
где x0 (t),x1(t),x2 (t) – неизвестные функции. Продифференцируем
x(t,µ) =x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +… и подставим разложение в исходное уравнение
x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…=f(t,x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…,µ) и в начальные условия
x(t0,µ) =x0 (t9 ) +x1(t0 )µ+x2 (t0 )µ2 +…=a(µ) .
При этом функция f(t,x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…,µ) и функция a(μ) в силу достаточной гладкости могут быть представлены раз-
ложением по формуле Тейлора по степеням μ:
71
f(t,x (t) +x (t)µ+x (t)µ2 |
+…,µ) = |
|
|||||||||||
0 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∂f |
|
∂x |
|
|
|
∂f |
|
|
|
+…; |
=f(t,x (t),0) |
+µ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||
|
∂x |
∂µ |
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
∂µ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1(t)µ+x2 (t)µ +… |
|
|
|
|
µ=0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a(µ) =a0 +a1µ+a2µ2 +…+anµn +o(µn ) .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях μ справа и слева, при μ0, например, получим
x =f(t,x0,0), x0 (t0 ) =a0 ,
что является решением задачи Коши при μ = 0.
Последующие уравнения будут линейными дифференциальными относительно неизвестных функций x1(t),x2 (t) . Найденные функции подставляют в асимптотический ряд
x(t,µ) =x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +….
Замечание: данный алгоритм позволяет получить достоверное решение лишь на ограниченном промежутке [t0,T].
Найти первые члены разложения решения задачи Коши по степеням малого параметра.
Пример 2.9. x′=µt +sinx, x(1) = π−µ2, µ →0 .
Решение.
Решение будем искать в виде x(t,µ) =x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +… . I. Для отыскания x0(t) решаем задачу Коши при μ = 0:
x′=sinx, x(1) = π .
Решаем полученное уравнение с разделяющимися переменными:
|
dx – sin x dt = 0; |
|
|||||
dx |
|
|
|
dx |
−dt =0, |
||
|
|
|
|
||||
|
|
sinx |
|||||
sinx |
|
−dt |
=0 |
|
|
||
|
|
||||||
sinx |
|
|
|
|
=0. |
||
|
|
sinx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
72
Можно использовать любое решение, например sin x = 0, тем более что оно удовлетворяет начальному условию x = k π, x(1) = π, тогда x = π.
В результате получим x0(t) = π.
Ищем функцию x(t, μ) в виде ряда по степеням μ с неизвестными функциями x1(t),x2 (t) :
x(t,µ) = π+x1(t) µ+x2 (t) µ2 +….
Подставляем это разложение в исходное дифференциальное уравнение
x0 (t) +x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…=µt +sinx и условие однозначности
π+x1(1)µ+x2 (1)µ2 +…= π−µ2
Правые части.
В дифференциальном уравнении функцию g(x) = sin x необходимо представить в виде степенного ряда по x, а затем ввести разложение x по степеням μ. Выбор в качестве центра разложения x = π позволит упростить вычисления:
g(π) = sin π = 0;
g |
′ |
′ |
|
(x) =cosx, |
g (π) = −1; |
||
g |
′′ |
′′ |
|
(x) = −sinx, |
g |
(π) =0 ; |
|
g |
′′′ |
|
′′′ |
(x) = −cosx, g |
(π) =1 и т.д. |
||
Первые члены разложения по формуле Тейлора для функции g(x) имеют вид
sinx =0 −(x −π) +0 + 3!1 (x −π)3 +…= −(x −π) + 16 (x −π)3 +… . Подставим в это разложение ряд
x(t,µ) = π+x1(t)µ+x2 (t)µ2 +… .
иполучим
sinx = −(π+x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…−π) + 16 (π+x1(t)µ+x2 (t)µ+…−π)3 +…. Отсюда
73
µt +sinx =µt −(x1(t)µ+x2 (t)µ2 + +x3 (t)µ3 …) + 16 (x1(t)µ+x2 (t)µ+…)3 +….
Раскрываем скобки, удерживая слагаемые до μ3 включительно:
(x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…) (x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…)×
×(x1(t)µ+x2 (t)µ2 +…) =µ3 x13 +…,
тогда
µt +sinx =µ(t −x1) +µ2 (−x2 ) +µ3 (−x3 + 16 x13 ) +…. Окончательно дифференциальное уравнение (1) примет вид
x |
(t)µ+x |
(t)µ2 +x |
(t)µ3 |
+…=µ(t −x ) +µ2 |
(−x ) +µ3 |
(−x + |
1 |
x3 ) +…. |
|||
6 |
|||||||||||
1 |
|
2 |
|
3 |
|
1 |
2 |
3 |
1 |
||
|
В начальном условии (2) правую часть можно считать разло- |
||||||||||
женной по степеням μ: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
π−µ2 = π+0 µ−1 µ2 +0 µ3 +…. |
|
|
|
|||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x (1)µ+x (1)µ2 +…=0 µ−1 µ2 +0 µ3 +… . |
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях μ: |
||||||||||
|
1) |
x1′(t) =t −x1, |
|
x1(1) =0 ; |
|
|
|
|
|||
|
2) |
x2′(t) = −x2, |
|
x2 (1) = −1 ; |
|
|
|
|
|||
|
3) |
x′(t) |
= −x + |
1 |
x3, |
x (1) =0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
… |
3 |
3 |
6 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решаем каждую из полученных задач: |
|
|
|
|||||||
|
1) |
x1′(t) =t −x1, |
|
x1(1) =0 . |
|
|
|
|
|||
Уравнение перепишем в виде x1′(t) +x1 =t .
Это линейное дифференциальное уравнение может быть решено методом Бернулли:
x1(t) =u(t) b(t) ,
где неизвестные функции ищем в соответствии с алгоритмом, описанным в 2.4:
74
b(t) =e−∫dt =e−t .
Для u(t) имеем уравнение u′ e−t =t , откуда |
|||||||||
|
|
u(t) = ∫et tdt =t et −et +C . |
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|||||
|
|
x1(t) =e−t (t et −et +C)=t −1+Ce−t . |
|||||||
Находим константу С из начальных условий |
|||||||||
|
|
x (1) =1−1+Ce−1 =0 |
C =0 . |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
В результате получено решение x1(t) =t −1. |
|||||||||
2) x2′(t) = −x2, x2 (1) = −1 ; |
|
|
|
|
|||||
|
dx2 |
= −dt уравнение с разделяющимися переменными; |
|||||||
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ln |
|
x2 |
|
= −t +C ; |
||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
=e−t+C . |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
Находим константу из начального условия: |
|||||||||
|
|
x (1) = −1 |
x (t) = −e−t+C ; |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
x (1) = −e−1+C = −1 |
C =1 . |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
В результате получим x (t) = −e−t+1 . |
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x(t,µ) = π+(t −1)µ+−e−t+1µ2 +… .
Пример 2.10. Найти первые три члена разложения по степеням a:
y′= y +4a(y −ex ), y(0) =8a2 −2a, a →0 .
Решение.
Решение будем искать в виде y(x,a) = y0 (x) +y1(x)a +y2 (x)a2 + , I. Решаем задачу Коши при a0 = 0:
y′= y, y(0) = 0. Запишем уравнение в виде dy – y dx = 0.
75
Получили уравнение с разделяющимися переменными:
dy |
|
|
|
y =0, |
||||
|
|
|
|
|
||||
y |
|
−dx |
=0 |
|
|
dy |
−dx =0. |
|
y |
||||||||
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно использовать любое решение, например y = 0, которое удовлетворяет начальному условию y(0) = 0. Тогда y0 (x) =0 .
Подставляем разложение y(x,a) = y1(x)a +y2 (x)a2 + в исходное дифференциальное уравнение
y1′a +y2′a2 +y3′a3 + = y1a +y2a2 +y3a3 + + +4a (y1a +y2a2 +y3a3 + −ex )
и в начальное условие
y1(0)a +y2 (0)a2 +y3 (0)a3 + = −2a +8a2 +0 a3 + .
Замечание: в правой части дифференциального уравнения не требуется разложение функции ex в ряд, так как x – независимая переменная.
Для определения неизвестных функций y1(x), y2 (x) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях a:
1) |
a1 : |
y′ |
(x) = y −4ex, |
y (0) = −2 ; |
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
2) |
a2 : |
y′ |
(x) = y +4y , |
y (0) =8 ; |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
2 |
3) |
a3 : |
y′ |
(x) = y +4y , |
y (0) =0 и т.д. |
|
|
|
3 |
3 |
2 |
3 |
Решаем каждую из полученных задач:
1) y′ |
(x) −y = −4ex, |
y (0) = −2 . |
1 |
1 |
1 |
Линейное дифференциальное уравнение решаем методом Бернулли:
y1(x) =u(x)υ(x) ,
где υ(x) = ex.
Для определения u(x) составим уравнение: u′ex = −4ex ,
откуда
u = −4x +C y1(x) =ex (−4x +C) .
76
Находим константу С из начального условия
y (0) =C = −2 |
y (x) =ex |
(−4x −2) . |
|
1 |
|
1 |
|
2) y2′(t) = y2 +4y1, |
y2 (0) |
=8 ; |
|
Подставляем найденную y1(x) и записываем уравнение в виде |
|||
y′ |
(x) −y =(−16x −8) ex . |
||
2 |
|
2 |
|
Линейное дифференциальное уравнение решается методом Бернулли:
y2 (x) =u(x)υ(x) , где где υ(x) = e x. Для определения u(x) составим уравнение
u′ex =(−16x −8) ex u = −8x2 −8x +C .
Отсюда
y (x) =ex (−8x2 −8x +C) . |
|
|
2 |
Константу С найдем из начального условия: |
|
y (0) =C =8 y (x) =8ex (−x2 −x +1) . |
|
2 |
2 |
3) y3′(x) = y3 +4y2, |
y3 (0) =0 ; |
y′ |
(x) −y =32ex (1−x −x2 ) . |
3 |
3 |
Линейное дифференциальное уравнение решается методом Бернулли:
y3 (x) =u(x) υ(x) ,
где υ(x) = ex.
Для определения u(x) составим уравнение
u′ex =32ex (1−x −x2 ) u(x) =32x − 322 x2 − 323 x3 +C . Отсюда
|
y (x) =e |
x |
|
|
32x −16x |
2 |
− |
32 |
x |
3 |
+C |
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдем константу С: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(0) =C =0 |
y |
(x) =16xe |
x |
|
|
2 |
−x − |
2 |
x |
2 |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
77
Ответ: y(x,a) = −2ex (2x +1) a −8ex (1−x −x2 ) a2 +
|
x |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|
+16xe |
|
|
2 |
−x − |
|
x |
|
|
a |
|
+ . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.11. Найти первые три члена разложения по степеням a:
|
8 |
3 |
|
|
||
y′= |
−20ax |
2 |
, y(1) =16a2 |
−4, a →0 . |
||
y |
||||||
|
|
|
|
|
||
Решение.
Решение будем искать в виде
y(x,a) = y0 (x) +y1(x)a +y2 (x)a2 + . I. Решаем задачу Коши при a = 0:
y′= 8y, y(1) = −4 ; ydy −8dx =0 ;
y2 =8x +C y2 =16x +C ; 2
y = ±
16x +C .
Найдем константу
y(1) = −4 −
16x +C = −4 C =0 .
В результате y0 (x) = −4
x .
Подставляем разложение в исходное дифференциальное уравнение
y(x,a) = −4
x +y1(x)a +y2 (x)a2 +
и начальное условие
(−4
x +y1(x)a +y2 (x)a2 + )x=1 = −4 +0 a +16 a2 .
Тогда
y′(x,a) = − 2x +y1′(x)a +y2′(x)a2 + ,
78
3
|
|
|
|
|
y y′=8 −20ax |
2 |
y , |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(−4 x +y1(x)a +y2 |
(x)a2 |
+ ) − |
|
|
|
|
+y1′ |
(x)a +y2′ |
(x)a2 |
+ |
= |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
(−4 |
|
+y1(x)a +y2 (x)a2 + ). |
|
|
|||||||||
|
|
=8 −20ax |
2 |
x |
|
|
|||||||||||
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях а: 0) a0 : 8 =8 ,
1) a1 : − |
2 |
|
|
|
− |
4 |
|
y′ |
=80x2 , |
|
||||||
|
y |
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|||
2) a2 : −4 |
x |
y′ |
+y |
y′ |
− |
υ = −20x |
2 |
y . |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
x |
2 |
|
1 |
||
Начальные условия:
−4 +y1(1)a +y2 (1)a2 + = −4 +0 a +16 a2 ,
0)a0 : −4 = −4 ,
1)a1 : y1(1) =0 ,
2)a2 : y2 (1) =16 .
Решаем каждую из полученных задач: 1) − 2x y1 −4
x y1′ =80x2, y1(1) =0 . Перепишем уравнение в виде
3
y1′ + 21x y1 = −20x2 .
Линейное дифференциальное уравнение решается методом Бернулли:
y1(x) =u(x)υ(x) ,
где υ(x) = 1x ,
а для определения u(x) составим уравнение
79
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u′ |
= −20x |
2 |
|
u′= −20x2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x) = − |
20 |
x |
3 |
+C |
y |
(x) = |
1 |
|
|
− |
20 |
|
x |
3 |
+C |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найдем константу из начального условия y1(1) = 0:
|
|
|
y |
(1) = − |
20 |
+C =0 |
C = |
20 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В итоге получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
(x) = |
|
1 |
|
|
− |
20 |
x |
3 |
+ |
20 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) −4 |
x |
y′ |
+y y′ |
− |
y |
|
= −20x |
2 |
|
y , |
y (1) =16 . |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
1 1 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
||||
В результате преобразований легко получается линейное диф-
ференциальное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y2′ + |
1 |
y2 = , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение для которого ищем в виде |
y2 (x) =u(x)υ(x) , при этом |
||||||||||||||||||||||
υ(x) = |
1 |
|
, а для u(x) составляем уравнение |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
′ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
u |
|
|
|
x |
|
= |
|
u |
= . |
|
|
|
|
||||||
Продолжите решение самостоятельно. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
20 |
|
3 |
|
20 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ответ: y(x,a) = −4 x + |
|
|
|
− |
|
x |
|
+ |
|
a +y2 |
(x)a |
|
+ . |
||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2.12. xy′=µx2 +ln y, |
|
y(1) =1, µ →0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение будем искать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y(x,µ) = y (x) +y (x)µ+y (x)µ2 +… . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
80