Дифференциальные уравнения. Устойчивость решений. Элементы теории устойчивости решений. Учебное пособие

X

M 0

x >0

y <0 x >0 y >0

Рис. 1.10

Вид кривой и направление движения по ней точки с координатами (x(t), y(t)) показывает, что при t → + ∞ точка стремится к нулевому равновесию для любой фазовой кривой, отвечающей произвольно выбранной начальной точке M0(x0, y0).

x =2x −2y,y =x +4y.

Решение. Предварительно оценим характер равновесия по параметрам матрицы коэффициентов линейного векторного поля:

trA =k1 +k2 =6, det A =k1 k2 =10 .

Собственные значения имеют одинаковый знак действительной части, причем сумма их положительна. Решение неустойчиво.

Преобразуем систему в дифференциальное уравнение: y′(x) = dxdy = xdtydt = xy ;

y′(x) = 2xx+−42yy .

31

Главные изоклины:

1) изоклина горизонтальных касательных: tg ϕ = 0, y′(x) = 2xx+−42yy =0 ,

x +4y =0 y = −14 x ;

2) изоклина вертикальных касательных: tg ϕ = 2р,

y′(x) = 2xx+−42yy =∞, 2x −2y =0 y =x .

Дополнительные касательные в точках пересечения фазовых

Изображаем найденные изоклины на координатной плоскости, отмечая углы наклона касательных к фазовым кривым (рис. 1.11).

Рис. 1.11

32

Направление движения по траектории x =2x −2y >0, y <x ; y =x +4y >0, y > −14 x (рис. 1.12).

Y

Рис. 1.12

Изображение кривой и направление движения по ней показывает, что при t → + ∞ точка бесконечно удаляется от нулевого равновесия для любой фазовой кривой, отвечающей произвольно выбранной начальной точке M0.

1.5. Функция Ляпунова и функция Четаева

Теорема об устойчивости по первому приближению не работает в случае вырожденной матрицы линеаризации системы в особой точке. Рассмотрим метод исследования устойчивости решений, связанный с построением специальных вспомогательных функций.

Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений, имеющую нулевое равновесие:

y1′ =f1 (y1, , yn ),

y2′ =f2 (y1, , yn ),

yn′ =fn (y1, , yn ).

33

Пусть M(y1, …, yn) – точка в n-мерном пространстве. Значения функций yk(t) будем рассматривать как координаты точки

Мв момент времени t.

Рассмотрим расстояние от точки M до начала координат:

ρ2 =(y1(t) −0)2 + +(yn (t) −0)2 = y1(t)2 + +yn (t)2 .

Обозначим расстояние V(t) =ρ2 (t) >0 , при этом V(t) = 0 только тогда, когда

y1(t) =0,

yn (t) =0,

т.е. когда точка находится в начале координат.

Если dVdt >0 , то расстояние V(t) возрастает, точка удаляется от нулевого равновесия, если dVdt <0 , то расстояние убывает,

точка приближается к нулевому равновесию.

Рассмотрим функцию со свойствами расстояния, определенную в фазовом пространстве системы.

Предположим, что в окрестности начала координат существует непрерывно дифференцируемая функция V(y1, …, yn), такая, что V(y1, …, yn) > 0 всюду в окрестности нуля за исключением самой точки ноль, при этом V(0, 0, …, 0) = 0.

Предположим, что векторное поле системы непрерывно дифференцируемо. Рассмотрим производную сложной функции V(y1(t), …, yn(t)):

Производной от функции V в силу системы Y′ = f(Y) называется функция

34

Если dVdt ≤0 всюду в окрестности нуля, то функция называется функцией Ляпунова автономной системы.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если в некоторой окрестности нулевого решения автономной системы существует функция Ляпунова, то положение равновесия Y = 0 является устойчивым по Ляпунову.

Если существует функция Ляпунова с отрицательно определенной производной dVdt <0 во всей окрестности кроме нуля, то положение Y = 0 является асимптотически устойчивым.

Теорема Ляпунова о неустойчивости. Если в некоторой окрестности нулевого решения автономной системы существует функция V(t) > 0 всюду в окрестности нуля, причем V(0, 0, ..., 0) = 0, обладающая производной в силу системы

dVdt ≥0 всюду в окрестности нуля, то положение равновесия

Y = 0 является неустойчивым.

Теорема Четаева о неустойчивости. Пусть в некоторой области G фазового пространства системы дифференциальных уравнений существует непрерывно дифференцируемая функция V(Y(t)) такая, что:

1)точка Y = 0 принадлежит границе области Ω;

2)V(Y) > 0 всюду в G за исключением границы, V(0, 0, …, 0) = 0

только на границе области.

Если в G найдется подобласть Ω, содержащая ноль, в которой

dVdt >0 , то решение Y = 0 является неустойчивым.

Заметим, что теорема Четаева допускает существование функции с положительно определенной производной не всюду в окрестности нулевого равновесия, а лишь в некоторой подобласти, содержащей это равновесие. И уже в этом случае утверждается неустойчивость этого равновесия.

35

Не существует общего метода построения функций Ляпунова или Четаева. Можно искать их в виде квадратичной формы.

При n = 2 функцию V(x, y) можно подбирать, например, в виде

V =ax2 +by2, V =ax4 +by4, V =ax2 +by4, V =ax4 +by2, .

Определить характер нулевого равновесия.

x = −x −y −x3 −y2,

y =x −y +xy.

Решение. Система автономна, так как не содержит явно независимой переменной t и обладает нулевым решением, устойчивость которого можно исследовать, подобрав функцию Ляпунова.

Будем искать функцию Ляпунова в виде V =ax2 +by2 . Найдем производную по времени в силу системы дифферен-

циальных уравнений:

= −2ax2 −2by2 −2ax4 −xy2 (2a −2b) −xy(2a −2b) .

Выберем параметры a и b так, чтобы

2a −2b =0 a =b =1.

Тогда производная примет вид

dVdt = −2(x2 +y2 +x4 ) <0 .

Данное строгое неравенство справедливо в любой точке трехмерного пространства, отличной от нулевой.

Ответ: по теореме Ляпунова об устойчивости нулевое равновесие системы устойчиво асимптотически.

Решение. Система также автономна и обладает нулевым решением.

Будем искать функцию Ляпунова в виде

V =ax2 +by2, a >0, b >0 .

36

Дифференцируем

dVdt =2ax x +2by y =2ax (y +x3 )+2by (−x +y3 )= =(2ax4 +2by4 ) +xy(2a −2b).

Выберем a = b = 1. Тогда неравенство

dVdt =2x4 +2y4 >0

выполняется всюду в окрестности нуля, кроме нулевого равновесия, в котором dVdt =0 .

Ответ: по теореме Ляпунова о неустойчивости нулевое решение системы неустойчиво.

Решение. Будем искать функцию Ляпунова в виде

V =ax2 +by2, a >0, b >0 . Дифференцируем

dVdt =2ax x +2by y =2ax (xy4 )+2by (−x4y)=2ax2y4 −2bx4y2 . Производная неинформативна, попробуем другой вид функции:

V =ax4 +by4,a >0,b >0 . Найдем производную:

dVdt =4ax3 x +4by3 y =4ax3 (xy4 )+4by3 (−x4y)=x4y4 (4a −4b) . Положим a = b = 1, тогда dVdt =0 . Это значит, что «расстоя-

ние» от нулевого равновесия до любой точки решения будет неизменным в любой момент времени.

Ответ: по теореме Ляпунова об устойчивости нулевое решение системы устойчиво, но не асимптотически.

37

=2axy −2ax2 +2ax2y +2bxy −2by2 −2bx2y −2by4 =

=−2(ax2 +by2 ) +xy(2a +2b) +x2y(2a −2b) −2by4 =

=a =b =1 = −2(x2 +y2 ) +4xy −2y4 =

= −2 (x2 −2xy +y2 +y4 ) = −2((x −y)2 +y4 ) <0 .

Ответ: при строгом неравенстве нулевое равновесие системы асимптотически устойчиво.

Решение. Предположим, что функция Ляпунова может иметь вид

V =ax2 +by2, a >0, b >0 ,

тогда

dVdt =2ax x +2by y = .

Продолжите вычисления самостоятельно. Возможно, потребуется проверить такой вариант:

V =ax4 +by4, a >0, b >0 , dVdt =4ax3 x +4by3 y = .

А также такой вариант функции:

V =ax4 +by2, a >0, b >0 ,

38

=4axy3 −2ax6 −4bxy3 −4by6 −4by8 =

=xy3 (4a −4b) −2ax6 −4by6 −4by8 = a =b =1 = −2x6 −4y6 −4y8 <0 .

Ответ: нулевое равновесие асимптотически устойчиво.

x = −x2 cosy +y3,

Пример 1.21.

y = −2y +xy2.

Решение. Составим функцию расстояния в виде V =ax2 +by2 .

Тогда

dVdt =2ax (−x2 cosy +y3 )+2by (−2y +xy2 )= = −2ax3 cosy +2axy3 −4by2 +2bxy3.

Функция V =x2 −y2 обладает свойствами расстояния только в области G : x ≥ y .

т.е. на границе области (рис. 1.13).

Рассмотрим подобласть Ω, содержащую ноль: x ≤ 0, y = 0. Это прямая в левой полуплоскости, для точек которой выполняется

dVdt = −2x3 >0 . Функция V является функцией Четаева.

39

Y

Рис. 1.13

Вывод: существует направление в области , на котором производная положительна. По теореме Четаева нулевое равновесие неустойчиво.

т.е. на границе области G (рис. 1.14).

40